广东省佛山市郑裕彤中学2021年高三数学理模拟试题含解析

广东省佛山市郑裕彤中学2021年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合，则（

）A.B.C.D.参考答案：A2.下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B3.已知函数，则

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.过点的直线与圆相切于点，则（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C由圆得，半径．∵过点的直线与圆相切于点，∴∴，所以选C．另：本题可以数形结合运用向量投影的方法可求得结果。5.函数的定义域为，则=（

）A．0

B．1

C．2

D．4参考答案：B6.已知等差数列的前n项和为，若，则的值为

A．

B．

C．

D．参考答案：C7.设为实系数三次多项式函数.已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕11313

关于的极小值﹐试问下列（）选项是正确的﹖A．

B．

C．

D．不存在参考答案：C知识点：方程的根与函数的关系；函数的极值.解析：解：方程式的相异实根数等价于函数与直线两图形的交点数﹒依题意可得两图形的略图有以下两种情形﹕(1)当的最高次项系数为正时﹕

(2)当的最高次项系数为负时﹕因为极小值点位于两水平线与之间﹐所以其坐标（即极小值）的范围为﹒故选C﹒思路点拨：方程式的相异实根数等价于函数与直线的交点数，然后画图形即可.8.已知函数在区间上的函数值大于0恒成立，则实数的取值范围是

(

）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.

．参考答案：

31

略10.“”是“”成立的A.充要条件

B.充分不必要条件C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是___________.参考答案：略12.设实数x?y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为

．参考答案：26【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（4，6）．此时z的最大值为z=2×4+3×6=26，故答案为：2613.已知等比数列{an}（n＝1，2，3）满足an+1＝2﹣|an|，若a1＞0，则a1＝_____．参考答案：1或2+或2﹣【分析】由已知可知，a2＝2﹣|a1|＝2﹣a1，a3＝2﹣|a2|＝2﹣|2﹣a1|＝，结合等比数列的性质可求．【详解】解：等比数列{an}满足an+1＝2﹣|an|，且a1＞0，a2＝2﹣|a1|＝2﹣a1，则a3＝2﹣|a2|＝2﹣|2﹣a1|＝，由等比数列的性质可知，，若a3＝a1，则，解可得，a1＝1，此时数列的前3项分别为1，1，1，若a3＝4﹣a1，则，解可得a1＝2，当a1＝2-时，数列的前3项分别为2-,，2+，当a1＝2+时，数列的前3项分别为2+，，2﹣，故答案为：1或2+或2﹣．【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的简单应用，体现了分类讨论思想的应用．14.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值是

.参考答案：23执行程序框图，依次得到，符合条件，输出，其值为23.15.在边长为1的正三角形中，设，则

．参考答案：．因为，所以为的中点即，∵，∴，∴．16.已知集合，若2∈A，3不属于A，则实数a的取值范围是_______.参考答案：略17.设Sn是等差数列{an}的前n项和，S5=3（a2+a8），则的值为．参考答案：【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】在等差数列中，下标数成等差数列的项也成等差数列，所以s5=a1+a2+…+a5=5a3，a2+a8=2a5，．【解答】解：∵{an}是等差数列，∴s5=a1+a2+…+a5=5a3，a2+a8=2a5，又S5=3（a2+a8），∴5a3=3×2a5，∴故答案为三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知=（sinωx+cosωx，cosωx），=（cosωx﹣sinωx，2sinωx）（ω＞0），函数f（x）=?，若f（x）相邻两对称轴间的距离不小于．（1）求ω的取值范围；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=2，当ω最大时，f（A）=1，求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；余弦定理．【分析】（1）函数f（x）==（sinωx+cosωx）（cosωx﹣sinωx）+2cosωx?sinωx=cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+），由f（x）相邻两对称轴间的距离不小于，则，解得ω的范围；

（2）当ω=1时，，求得A，由余弦定理、不等式的性质，得bc的最大值，【解答】解：（1）函数f（x）==（sinωx+cosωx）（cosωx﹣sinωx）+2cosωx?sinωx=cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+），f（x）相邻两对称轴间的距离不小于∴T≥π，则，解得0＜ω≤1；

（2）∵当ω=1时，，且A∈（0，π），∴，，∴b2+c2=bc+4，又b2+c2≥2bc，∴bc+4≥2bc，即bc≤4，当且仅当b=c=2时，bc=4，∴．

…19.（15分）（2015?杨浦区二模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，线段PQ为抛物线C的一条弦．（1）若弦PQ过焦点F，求证：为定值；（2）求证：x轴的正半轴上存在定点M，对过点M的任意弦PQ，都有为定值；（3）对于（2）中的点M及弦PQ，设，点N在x轴的负半轴上，且满足，求N点坐标．参考答案：【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）设出直线PQ的方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1x2的值，由抛物线的定义分别表示出|FP|，|FQ|，代入整理得到定值，最后验证斜率不存在时的情况；（2）设出直线PQ的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和两点的距离公式，化简整理，即可求得定点M和定值；（3）运用向量共线的坐标表示和向量垂直的条件，化简整理即可求得定点N．（1）证明：抛物线的焦点为F（，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣）（k≠0），代入抛物线方程，消去y，得k2x2﹣p（k2+2）x+=0，由根与系数的关系，得x1x2=，x1+x2=p+，由抛物线的定义，知|FP|=x1+，|FQ|=x2+．+=+===为定值．当PQ⊥x轴时，|FA|=|FB|=p，上式仍成立；（2）证明：设M（m，0），当PQ⊥x轴时，令x=m，可得y2=2pm，|MP|=|MQ|=，有+为定值．当PQ斜率存在时，设PQ：x=ty+m，代入抛物线方程可得，y2﹣2pty﹣2pm=0，设P（，y1），Q（，y2）则y1+y2=2pt，y1y2=﹣2pm．即有|MP|2=（m﹣）2+y12=+y12=（1+t2）y12，同理|MQ|2=（m﹣）2+y22=（1+t2）y22．即有+=?，存在m=p即有定点M（p，0）时，上式为?=为定值；（3）解：，可得=，，可得（+λ）?（﹣λ）=0，即为NP2=λ2NQ2，由P（，y1），Q（，y2），M（p，0），设，则y1=﹣λy2，①p﹣=λ（﹣p），②又设N（n，0）（n＜0），则（n﹣）2+y12=λ2[（﹣n）2+y22]，即为﹣n=λ（﹣n），③将①平方可得，y12=λ2y22，④，将④代入②③，化简可得n=﹣p．则N（﹣p，0）．【点评】：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的关系．同时考查向量垂直的条件和向量共线的坐标表示，注意运用韦达定理和抛物线的定义是解题的关键，具有一定的运算量，属于中档题．20.已知函数，，其中.（1）设函数，求函数的单调区间；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.参考答案：（1）函数的定义域为，①当，即时，，故在上是增函数；②当，即时，时，；时，；故在上是减函数，在上是增函数；（2）由（1）令，，①当时，存在（…）使得成立可化为，计算得出；②当时存在（），使得成立可化为，计算得出，；③当时存在（），使得成立可化为，无解；④当时存在（），使得成立可化为，计算得出，；综上所述，的取值范围为21.（本小题满分12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：

甲：82

81

79

78

95

88

93

84

乙：92

95

80

75

83

80

90

85（1）用茎叶图表示这两组数据，并写出乙组数据的中位数；（2）经过计算知甲、乙两人预赛的平均成绩分别为，甲的方差为，现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加较合适？请说明理由；（3）现规定80分以上为合格成绩，90分以上为优秀成绩，从甲的合格成绩中随机抽出2个，则抽出优秀成绩的概率有多大？参考答案：（3）设所求事件为A甲的合格成绩有6个，从中随机抽2个，结果如下：（81,82），（81,84），（81,88），（81,93），（88,95），（82,84），（82,88），（82,93），（82,95），（84,88），（84,93），（84,95），（88,93），（88,95），（93,95）共有15个，………………9分其中抽出优秀成绩的情况有：（81,93），（88,95），（82,93），（82,95），（84,93），（84,95），（88,93），（88,95），（93,95），共9个…10分则………………12分略22.如图，在多面体中，△是等边三角形，△是等腰直角三角形，，平面平面，平面，点为的中点,连接.

(1)求证：∥平面；