2023年中考数学真题分项汇编专题28 动点综合问题（解析版）

专题28动点综合问题（32题）1．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点P为线段SKIPIF1<0上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作SKIPIF1<0于点M、作SKIPIF1<0于点N，连接SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】如图所示，过点C作SKIPIF1<0于D，连接SKIPIF1<0，先利用勾股定理的逆定理证明SKIPIF1<0是直角三角形，即SKIPIF1<0，进而利用等面积法求出SKIPIF1<0，则可利用勾股定理求出SKIPIF1<0；再证明四边形SKIPIF1<0是矩形，得到SKIPIF1<0，故当点P与点D重合时，SKIPIF1<0最小，即SKIPIF1<0最小，此时SKIPIF1<0最小值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点E的坐标为SKIPIF1<0．【详解】解：如图所示，过点C作SKIPIF1<0于D，连接SKIPIF1<0，∵在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是直角三角形，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0最小时，即SKIPIF1<0最小，∴当点P与点D重合时，SKIPIF1<0最小，即SKIPIF1<0最小，此时SKIPIF1<0最小值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴点E的坐标为SKIPIF1<0，故选：C．

【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键．2．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图1，在SKIPIF1<0中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中SKIPIF1<0长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则SKIPIF1<0的长为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．17 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据图象可知SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合，得到SKIPIF1<0，进而求出点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0运动到点SKIPIF1<0所需的时间，进而得到点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0运动到点SKIPIF1<0的时间，求出SKIPIF1<0的长，再利用勾股定理求出SKIPIF1<0即可．【详解】解：由图象可知：SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合，∴SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0运动到点SKIPIF1<0所需的时间为SKIPIF1<0；∴点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0运动到点SKIPIF1<0的时间为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0中：SKIPIF1<0；故选：C．【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出SKIPIF1<0的长，是解题的关键．3．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同时从SKIPIF1<0点出发，点SKIPIF1<0以每秒SKIPIF1<0个单位长度沿折线SKIPIF1<0向终点SKIPIF1<0运动；点SKIPIF1<0以每秒SKIPIF1<0个单位长度沿线段SKIPIF1<0向终点SKIPIF1<0运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为SKIPIF1<0秒，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0个平方单位，则下列正确表示SKIPIF1<0与SKIPIF1<0函数关系的图象是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，根据已知条件得出SKIPIF1<0是等边三角形，进而证明SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，根据三角形的面积公式得到函数关系式，【详解】解：如图所示，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，

菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，

∴SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当SKIPIF1<0时，函数图象是直线的一部分，故选：A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线SKIPIF1<0，射线SKIPIF1<0的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设点M运动的路程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，下列图像中能反映SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间函数关系的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先根据SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间函数关系式，再判断即可得出结论．【详解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间函数关系为二次函数，图像开口向上，SKIPIF1<0时，函数有最小值6，故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间函数关系式，再判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间函数类型．5．（2023·河南·统考中考真题）如图1，点P从等边三角形SKIPIF1<0的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，SKIPIF1<0，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形SKIPIF1<0的边长为（

）A．6 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】如图，令点SKIPIF1<0从顶点SKIPIF1<0出发，沿直线运动到三角形内部一点SKIPIF1<0，再从点SKIPIF1<0沿直线运动到顶点SKIPIF1<0．结合图象可知，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上运动时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上运动时，可知点SKIPIF1<0到达点SKIPIF1<0时的路程为SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，解直角三角形可得SKIPIF1<0，进而可求得等边三角形SKIPIF1<0的边长．【详解】解：如图，令点SKIPIF1<0从顶点SKIPIF1<0出发，沿直线运动到三角形内部一点SKIPIF1<0，再从点SKIPIF1<0沿直线运动到顶点SKIPIF1<0．结合图象可知，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上运动时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0为等边三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上运动时，可知点SKIPIF1<0到达点SKIPIF1<0时的路程为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，

即：等边三角形SKIPIF1<0的边长为6，故选：A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．6．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，直线SKIPIF1<0与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的SKIPIF1<0上两动点，且SKIPIF1<0，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，SKIPIF1<0面积的最大值是（

）

A．8 B．6 C．4 D．3【答案】D【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出SKIPIF1<0，确定SKIPIF1<0，再由题意得出当SKIPIF1<0的延长线恰好垂直SKIPIF1<0时，垂足为点E，此时SKIPIF1<0即为三角形的最大高，连接SKIPIF1<0，利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵直线SKIPIF1<0与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的底边SKIPIF1<0为定值，∴使得SKIPIF1<0底边上的高最大时，面积最大，点P为SKIPIF1<0的中点，当SKIPIF1<0的延长线恰好垂直SKIPIF1<0时，垂足为点E，此时SKIPIF1<0即为三角形的最大高，连接SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的半径为1，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：D．【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键．7．（2023·河北·统考中考真题）如图是一种轨道示意图，其中SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且SKIPIF1<0．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为SKIPIF1<0，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿SKIPIF1<0和SKIPIF1<0移动时，此时两个机器人之间的距离是直径SKIPIF1<0，当机器人分别沿SKIPIF1<0和SKIPIF1<0移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大．【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，设圆的半径为R，∴两个机器人最初的距离是SKIPIF1<0，∵两个人机器人速度相同，∴分别同时到达点A，C，∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；当两个机器人分别沿SKIPIF1<0和SKIPIF1<0移动时，此时两个机器人之间的距离是直径SKIPIF1<0，保持不变，当机器人分别沿SKIPIF1<0和SKIPIF1<0移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，故选：D．【点睛】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键．8．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为边作矩形SKIPIF1<0．动点SKIPIF1<0分别从点SKIPIF1<0同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿SKIPIF1<0向终点SKIPIF1<0移动．当移动时间为4秒时，SKIPIF1<0的值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据题意，得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，勾股定理求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可求解．【详解】解：连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0

∵点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为边作矩形SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得SKIPIF1<0的坐标是解题的关键．9．（2023·山东滨州·统考中考真题）已知点SKIPIF1<0是等边SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上的一点，若SKIPIF1<0，则在以线段SKIPIF1<0为边的三角形中，最小内角的大小为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，可得以线段SKIPIF1<0为边的三角形，即SKIPIF1<0，最小的锐角为SKIPIF1<0，根据邻补角以及旋转的性质得出SKIPIF1<0，进而即可求解．【详解】解：如图所示，将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，∴以线段SKIPIF1<0为边的三角形，即SKIPIF1<0，最小的锐角为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．10．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图1，正方形SKIPIF1<0的边长为4，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边的中点．动点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发沿SKIPIF1<0匀速运动，运动到点SKIPIF1<0时停止．设点SKIPIF1<0的运动路程为SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的函数图象如图2所示，则点SKIPIF1<0的坐标为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】证明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则当P与A，B重合时，SKIPIF1<0最长，此时SKIPIF1<0，而运动路程为0或4，从而可得答案．【详解】解：∵正方形SKIPIF1<0的边长为4，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边的中点，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当P与A，B重合时，SKIPIF1<0最长，此时SKIPIF1<0，运动路程为0或4，结合函数图象可得SKIPIF1<0，故选：C.【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键．11．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上的点（不与点SKIPIF1<0重合）．过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0；过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的点，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的点，SKIPIF1<0．若已知SKIPIF1<0的面积，则一定能求出（

）

A．SKIPIF1<0的面积 B．SKIPIF1<0的面积C．SKIPIF1<0的面积 D．SKIPIF1<0的面积【答案】D【分析】如图所示，连接SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，由已知得出SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，进而得出SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，结合题意得出SKIPIF1<0，即可求解．【详解】解：如图所示，连接SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，证明SKIPIF1<0是解题的关键．12．（2023·安徽·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是位于直线SKIPIF1<0同侧的两个等边三角形，点SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点．若SKIPIF1<0，则下列结论错误的是（

）

A．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0周长的最小值为6 D．四边形SKIPIF1<0面积的最小值为SKIPIF1<0【答案】A【分析】延长SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当SKIPIF1<0点与SKIPIF1<0重合时，则SKIPIF1<0三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解．【详解】解：如图所示，

延长SKIPIF1<0，依题意SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是等边三角形，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是平行四边形，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点如图所示，

设SKIPIF1<0的中点分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0点在SKIPIF1<0上运动时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上运动，当SKIPIF1<0点与SKIPIF1<0重合时，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0三点共线，SKIPIF1<0取得最小值，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离相等，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0此时SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的边长都为2，则SKIPIF1<0最小，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，或者如图所示，作点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0

此时SKIPIF1<0故A选项错误，根据题意可得SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0最小，此时SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故B选项正确；SKIPIF1<0周长等于SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0最小时，SKIPIF1<0周长最小，如图所示，作平行四边形SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0如图，延长SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是直角三角形，

在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最短，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0周长的最小值为SKIPIF1<0，故C选项正确；∵SKIPIF1<0∴四边形SKIPIF1<0面积等于SKIPIF1<0

∴当SKIPIF1<0的面积为0时，取得最小值，此时，SKIPIF1<0重合，SKIPIF1<0重合∴四边形SKIPIF1<0面积的最小值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故D选项正确，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当SKIPIF1<0点与SKIPIF1<0重合时得出最小值是解题的关键．二、填空题13．（2023·四川达州·统考中考真题）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在边SKIPIF1<0上有一点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】如图，作SKIPIF1<0的外接圆，圆心为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的垂直平分线于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径作圆；结合圆周角定理及垂径定理易得SKIPIF1<0，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内角和定理易得SKIPIF1<0，从而易证SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0勾股定理即可求得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中由三角形三边关系SKIPIF1<0即可求解．【详解】解：如图，作SKIPIF1<0的外接圆，圆心为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的垂直平分线于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径作圆；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外接圆的圆心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由作图可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的垂直平分线上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外接圆的圆心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0最小值为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．

【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，SKIPIF1<0角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边之间的关系；解题的关键是结合SKIPIF1<0的外接圆构造相似三角形．14．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E为SKIPIF1<0边上一点，以SKIPIF1<0为直径的半圆O与SKIPIF1<0相切于点D，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．P是SKIPIF1<0边上的动点，当SKIPIF1<0为等腰三角形时，SKIPIF1<0的长为_____________．

【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】连接SKIPIF1<0，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出SKIPIF1<0的长，勾股定理求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的长，分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种情况进行求解即可．【详解】解：连接SKIPIF1<0，

∵以SKIPIF1<0为直径的半圆O与SKIPIF1<0相切于点D，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0为等腰三角形，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，∵SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合，∴SKIPIF1<0，

不存在SKIPIF1<0的情况；综上：SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义．熟练掌握切线的性质，等腰三角形的定义，确定点SKIPIF1<0的位置，是解题的关键．15．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，边长为2的等边SKIPIF1<0的两个顶点SKIPIF1<0分别在两条射线SKIPIF1<0上滑动，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是_________．

【答案】SKIPIF1<0【分析】如图所示，取SKIPIF1<0的中点D，连接SKIPIF1<0，先根据等边三角形的性质和勾股定理求出SKIPIF1<0，再根据直角三角形的性质得到SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0可得当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0有最大值，最大值为SKIPIF1<0．【详解】解：如图所示，取SKIPIF1<0的中点D，连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是边长为2的等边三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0有最大值，最大值为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线确定当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0有最大值是解题的关键．16．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0的三等分点，SKIPIF1<0是对角线SKIPIF1<0上的动点，当SKIPIF1<0取得最小值时，SKIPIF1<0的值是___________．

【答案】SKIPIF1<0【分析】作点F关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0取得最小值，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线段，交SKIPIF1<0于点K，根据题意可知点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上，设正方形的边长为SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0的边长，证明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即可解答．【详解】解：作点F关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线段，交SKIPIF1<0于点K，

由题意得：此时SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上，且根据对称的性质，当P点与SKIPIF1<0重合时SKIPIF1<0取得最小值，设正方形SKIPIF1<0的边长为a，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0取得最小值时，SKIPIF1<0的值是为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．17．（2023·河南·统考中考真题）矩形SKIPIF1<0中，M为对角线SKIPIF1<0的中点，点N在边SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，SKIPIF1<0的长为______．【答案】2或SKIPIF1<0【分析】分两种情况：当SKIPIF1<0时和当SKIPIF1<0时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当SKIPIF1<0时，

∵四边形SKIPIF1<0矩形，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由平行线分线段成比例可得：SKIPIF1<0，又∵M为对角线SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，

∵M为对角线SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的垂直平分线，∴SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0矩形，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0的长为2或SKIPIF1<0，故答案为：2或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．18．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0在矩形的边上沿SKIPIF1<0运动．当点SKIPIF1<0不与点SKIPIF1<0重合时，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0对折，得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则在点SKIPIF1<0的运动过程中，线段SKIPIF1<0的最小值为__________．

【答案】SKIPIF1<0【分析】根据折叠的性质得出SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的弧上运动，进而分类讨论当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，即可求解．【详解】解：∵在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图所示，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，

∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的弧上运动，当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0最短，此时SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，如图所示，

此时SKIPIF1<0当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，如图所示，此时SKIPIF1<0

综上所述，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．19．（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形SKIPIF1<0中，E，F分别是SKIPIF1<0上的动点，M，N分别是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0的最大值为______．

【答案】SKIPIF1<0【分析】首先证明出SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，得到SKIPIF1<0，然后由正方形的性质和勾股定理得到SKIPIF1<0，证明出当SKIPIF1<0最大时，SKIPIF1<0最大，此时SKIPIF1<0最大，进而得到当点E和点C重合时，SKIPIF1<0最大，即SKIPIF1<0的长度，最后代入求解即可．【详解】如图所示，连接SKIPIF1<0，

∵M，N分别是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，∴SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0是正方形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0最大时，SKIPIF1<0最大，此时SKIPIF1<0最大，∵点E是SKIPIF1<0上的动点，∴当点E和点C重合时，SKIPIF1<0最大，即SKIPIF1<0的长度，∴此时SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．20．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点E在线段SKIPIF1<0上运动，点F在线段SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的最小值为__________．

【答案】SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0的中点为O，以SKIPIF1<0为直径画圆，连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点为点SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，可知点F在以SKIPIF1<0为直径的半圆上运动，当点F运动到SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点SKIPIF1<0时，线段SKIPIF1<0有最小值，据此求解即可．【详解】解：设SKIPIF1<0的中点为O，以SKIPIF1<0为