考研数学（三）历年真题与模拟试题详解

第一部分历年真题及详解2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）1设函数f（x）在区间[－1，1]上连续，则x＝0是函数的（）。A．跳跃间断点B．可去间断点C．无穷间断点D．振荡间断点【答案】B查看答案【考点】函数间断点的类型【解析】首先利用间断点的定义确定该点为间断点，然后利用如下的间断点的类型进行判断。第一类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与均存在，则称x＝x0为函数f（x）的第一类间断点，其中：①跳跃型间断点：②可去型间断点：第二类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与之中至少有一个不存在，则称x＝x0为函数f（x）的第二类间断点，其中：①无穷型间断点：与至少有一个为∞；②振荡型间断点：或为振荡型，极限不存在。由于题设中g（0）不存在，故x＝0是函数g（x）的可去间断点。2如图1，曲线段的方程为y＝f（x），函数f（x）在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分等于（）。图1A．曲边梯形ABOD的面积B．梯形ABOD的面积C．曲边三角形ACD的面积D．三角形ACD的面积【答案】C查看答案【考点】积分的几何意义【解析】而表示曲边梯形OBAD的面积，故表示曲边三角形ACD的面积。3已知则函数在原点偏导数存在的情况是（）。A．fx′（0，0），fy′（0，0）都存在B．fx′（0，0）不存在，fy′（0，0）存在C．fx′（0，0）存在，fy′（0，0）不存在D．fx′（0，0），fy′（0，0）都不存在【答案】B查看答案【考点】二元函数的偏导数的定义【解析】由偏导数的定义知不存在；存在。4设函数f（x）连续，其中区域Duv为图2中阴影部分，则∂F/∂u＝（）。图2A．vf（u2）B．vf（u2）/uC．vf（u）D．vf（u）/u【答案】A查看答案【考点】利用极坐标变换计算二重积分【解析】利用极坐标，得所以∂F/∂u＝vf（u2）。5设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3＝O，则（）。A．E－A不可逆，E＋A不可逆B．E－A不可逆，E＋A可逆C．E－A可逆，E＋A可逆D．E－A可逆，E＋A不可逆【答案】C查看答案【考点】矩阵可逆的判定【解析】A3＝O⇒A3＋E＝E⇒（A＋E）（A2－A＋E）＝E，则A＋E可逆，A3＝O⇒A3－E＝－E⇒（E－A）（A2＋A＋E）＝E，即E－A可逆。6设，则实数域上与A合同的矩阵是（）。A．B．C．D．【答案】D查看答案【考点】矩阵合同的判定【解析】由题意易知为实对称矩阵，进而得A的特征值为－1，3，则xTAx的正负惯性指数分别为1，1。可以求出选项中各矩阵的特征值，的特征值为－1，－3；的特征值为1，3；的特征值为1，3；的特征值为－1，3，知只有D项中矩阵符合。7设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F（x），则Z＝max{X，Y}的分布函数为（）。A．F2（x）B．F（x）F（y）C．1－[1－F（x）]2D．[1－F（x）][1－F（y）]【答案】A查看答案【考点】求分布函数【解析】由X，Y独立同分布知，Y的分布函数也为F（x）。记Z的分布函数为FZ（x），则FZ（x）＝P{max{X，Y}≤x}＝P{X≤x，Y≤x}＝P{X≤x}P{Y≤x}（X与Y独立）＝F2（x）8随机变量X～N（0，1），Y～N（1，4），相关系数ρXY＝1，则（）。A．P{Y＝－2X－1}＝1B．P{Y＝2X－1}＝1C．P{Y＝－2X＋1}＝1D．P{Y＝2X＋1}＝1【答案】D查看答案【考点】相关系数及其性质【解析】方法一：由X～N（0，1），Y～N（1，4）知EX＝0，DX＝1，EY＝1，DY＝4。由于ρXY＝1，所以存在常数a，b，使得P{Y＝aX＋b}＝1，从而EY＝aEX＋b，得b＝1，而得a＝2，故应选D项。方法二：本题利用排除法。由ρXY＝1，可知X，Y正相关，排除A、C、B项。若Y＝2X－1，由EX＝0，得到EY＝－1，排除B，可知应选D。二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在题中横线上。）9设函数在（－∞，＋∞）上连续，则c＝______。【答案】1查看答案【考点】函数连续性的判定【解析】由题意知，f（c）＝c2＋1，若则c＝1。10设函数f[x＋（1/x）]＝（x＋x3）/（1＋x4），则______。【答案】（ln3）/2查看答案【考点】积分的计算方法【解析】由得11设D＝{（x，y）|x2＋y2≤1}，则______。【答案】π/4查看答案【考点】二重积分的计算【解析】由于积分区域D关于x轴，y轴对称，所以有12微分方程为xy′＋y＝0满足条件y（1）＝1的解y＝______。【答案】1/x查看答案【考点】微分方程的求解【解析】由题意得，xy′＋y＝0⇒y′/y＝－1/x，两边积分得y＝C/x，C为待定常数，将y（1）＝1代入得C＝1，即y＝1/x。13设三阶矩阵A的特征值是1，2，2，E为三阶单位矩阵，则|4A－1－E|＝______。【答案】3查看答案【考点】矩阵的特征值与行列式之间的关系【解析】由于A－1的特征值是1，1/2，1/2，从而4A－1－E的特征值是3，1，1，即|4A－1－E|＝3×1×1＝3。14设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X＝EX2}＝______。【答案】1/（2e）查看答案【考点】泊松分布及其概率分布【解析】服从参数为1的泊松分布的概率分布为：P{X＝i}＝e－1/i！。又EX2＝DX＋（EX）2＝1＋1＝2，故P{X＝EX2}＝P{X＝2}＝（e－1）/2＝1/（2e）。三、解答题（15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）15（本题满分9分）计算【考点】极限的求解方法（洛必达法则）解：利用下列等价无穷小由16（本题满分10分）设x＝z（x，y）是由方程x2＋y2－z＝φ（x＋y＋z）所确定的函数，其中φ具有二阶导数，且φ′≠1。（Ⅰ）求dz；（Ⅱ）记u（x，y）＝（∂z/∂x－∂z/∂y）/（x－y），求∂u/∂x。【考点】多元函数的微分计算解：（Ⅰ）在方程x2＋y2－z＝φ（x＋y＋z）两端求微分得2xdx＋2ydy－dz＝φ′（x＋y＋z）（dx＋dy＋dz），即dz＝[（2x－φ′）dx＋（2y－φ′）dy]/（φ′＋1）。（Ⅱ）17（本题满分11分）计算，其中D＝{（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2}。【考点】二重积分的计算解：曲线xy＝1将区域D分成如图3所示的两个区域D1和D2。则有图318（本题满分10分）设f（x）是周期为2的连续函数。（Ⅰ）证明：对任意的实数t，有（Ⅱ）证明：是周期为2的周期函数。【考点】积分函数的计算证明：（Ⅰ）对任意实数t都有而又因为所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知任意实数t都有记则则对任意的z，有故G（x）是周期为2的周期函数。19（本题满分10分）设银行存款的年利率为r＝0.05，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10＋9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？【考点】级数的求和解：设An为用于第n年提取（10＋9n）万元的贴现值，则An＝（1＋r）－n（10＋9n），故设x∈（－1，1），所以S[1/（1＋r）]＝S（1/1.05）＝420（万元）。故A＝200＋9×420＝3980（万元），即至少应存入3980万元。20（本题满分12分）设n元线性方程组Ax＝b，其中矩阵x＝（x1，x2，…，xn）T，b＝（1，0，…，0）T。（Ⅰ）证明行列式|A|＝（n＋1）an；（Ⅱ）当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1；（Ⅲ）当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。【考点】行列式的计算，方程组有解的判定及其解的情况解：（Ⅰ）由题意知现用数学归纳法证明|A|＝（n＋1）an：当n＝2时，显然成立；假设n≤k时，Dk＝（k＋1）ak，则当n＝k＋1时，有Dk＋1＝2aDk－a2Dk－1＝2a（k＋1）ak－a2kak－1＝（k＋2）ak＋1。综上可得，|A|＝（n＋1）an。（Ⅱ）|A|＝（n＋1）an≠0，即a≠0，方程组有唯一解，设将A的第一列用b替换后所得矩阵为A1，根据克莱姆法则，得x1＝|A1|/A1＝Dn－1/[（n＋1）an]＝nan－1/[（n＋1）an]＝n/[（n＋1）a]。（Ⅲ）当a＝0时，方程组有无穷多解，此时则Ax＝0的同解方程组为易求得Ax＝0的基础解系为（1，0，…，0）T。又则（0，1，…，0）T是Ax＝b的特解，从而Ax＝b的通解为x＝k（1，0，…，0）T＋（0，1，…，0）T，其中k为任意常数。21（本题满分10分）设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1，1的特征向量，向量α3满足Aα3＝α2＋α3。（Ⅰ）证明：α1，α2，α3线性无关；（Ⅱ）令P＝（α1，α2，α3），求P－1AP。【考点】向量组的相关性判定和矩阵的运算解：（Ⅰ）设存在数k1，k2，k3，使得k1α1＋k2α2＋k3α3＝0①。由已知条件知Aα1＝－α1，Aα2＝α2。用矩阵A分别乘式①的左右两边，得－k1α1＋k2α2＋k3（α2＋α3）＝0②。式①－②得2k1α1－k3α2＝0。由于α1，α2为A的分别属于－1，1的特征向量，所以α1，α2线性无关，即k1＝k3＝0，代入①得k2α2＝0。因为α2是A的特征向量，α2≠0，得k2＝0，即k1＝k2＝k3＝0，所以α1，α2，α3线性无关。（Ⅱ）由题意有因为α1，α2，α3线性无关，所以矩阵P可逆，得22（本题满分11分）设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X＝i}＝1/3（i＝－1，0，1），Y的概率密度为记Z＝X＋Y。（Ⅰ）求P{Z≤1/2|X＝0}；（Ⅱ）求Z的概率密度fZ（z）。【考点】求概率和概率密度函数解：（Ⅰ）（Ⅱ）设Z的分布函数为F（z），则其值域非零时z的区间为[－1，2]。当z＜－1时，FZ（z）＝0；当z＞2时，FZ（z）＝1；当－1≤z＜2时，FZ（z）＝P{Z≤z}＝P{X＋Y≤z}＝P{X＋Y≤z︱X＝－1}P{X＝－1}＋P{X＋Y≤z︱X＝0}P{X＝0}＋P{X＋Y≤z︱X＝1}P{X＝1}＝[P{Y≤z＋1}＋P{Y≤z}＋P{Y≤z－1}]/3＝[