2020-2021学年高一数学专项测试和期中期末强化冲刺卷2

2020—2021高中必修二2019A专项冲刺卷（人教版）

专项2.3解答（30道）（期中篇）

（考试时间：120分钟满分：150分）

1.在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

csin2B=2。（豆cos4-sinBcosCj.

（I）求角A；

（II）若。=4,求AA8c的8C边的中线AD的取值范围.

【答案】（I）4=与；（II）（2,2^].

【分析】

（I）由已知三角函数恒等式，应用正弦边角互化、三角恒等变换及三角形内角性质，即可求角人

（II）根据余弦定理、基本不等式可得16<〃+,?432,设4位犯=6,应用余弦定理得

2

2AD-=b2+c2即可求AO的取值范围.

2

【详解】

（I）：csin2B=2〃（百cosA-sinBcosC）,

2csinBcosB=2>^Z?cosA-2Z?sinBcosC-

由正弦定理,W2sinCsinBcosB=2\/3sinBcosA-2sinBsinBcosC，

sinBsin（B+C）=V3sinBcosA,又sinBH0R.3+C=7i-A,

sinA=>/3cosA.即tanAu^，又Ae（0,4），

A=-.

3

（H）由（I）结合余弦定理，有〃+。2一]6=儿.

由力c>0,有入+。>16,

由基本不等式得：b2+c2-16=bc<^--^-，即幺上416

22

A16</?2+C2<32.

设ZADB=e,则/=(皆+AD2-a-ADcos0，=\j]+由一8ADcos(万—6)，

2

...由“=4,知：2A£)2=/+c2—幺=入2+/—8，W4<AD2<12>

2一一

AOW(2,2G].

【点睛】

关键点点睛：

(1)由正弦边角关系、三角恒等变换及三角形内角和性质化简三角函数式，求角.

(2)利用余弦定理、基本不等式得到〃+02,再应用余弦定理确定A。与"c的关系，进而求范围.

2.已知。，b,。分别是AABC内角A,B,。所对的边，且满足

a卜inA—gsin“=(sinC+sin5)(c-/?),若尸为边4B上靠近B的三等分点，CP=g，求：

(1)求cosC的值；

(2)求匕+勿的最大值.

【答案】(1)-；(2)ML

45

【分析】

(1)根据。卜nA-gsinB]=(sinC+sinB)(c-&),利用正弦定理化简得到/+〃-2='，

再利用余弦定理求解；

___1___9__

(2)根据屈=+]而，两边平方整理得到伍+2。)2=1+3",再利用基本不等式求解.

【详解】

(1)因为，(sinA—gsin3)=(sinC+sinB)(c-Z>),

由正弦定理得a(a-；4=(c+b)(c—b),

2i2?ab

即a+/r-c=—,

2

2r22i

所以由余弦定理得得cosC=a+"一。=1.

lab4

(2)由题意得。户=+2。月，

33

两边平方得

999334

整理得〃+4/+=1,即优+2a)2=\+3ab,

nil3ab=2<a)<=^(Z>+2t7)2>

于是他+2a)2«l+3(b+2a)2,

8

所以仅+2a)24|,即z,+2aK^^,

当且仅当b=2a=回取等号.

5

所以求8+2a的最大值是竺°

5

【点睛】

方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，

要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦

定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时,

则要考虑两个定理都有可能用到.解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.

7T-----1

3.在三角形ABC中，AB=2,AC=1,ZACD=-,。是线段上一点，且8。=—。。，F为

22

线段AB上一点.

（1）若％zi=x,后+），/,求了一丁的值;

（2）求丽.西的取值范围；

【答案】（1）（2）

3-叶

【分析】

—■2―■1—■

（1）根据平面向量基本定理，山题中条件，得到AO=—AB+—AC,从而可求出乂丁的值，进而

33

可求得x—y的值；

（2）根据题意先求出NC4B=?,BC=G，设|ZR|=X,再由平面向量数量积运算，即可求得结

果

【详解】

解：（1）因为有方=，反，所以,方—4月=■!■（/—A方），

22

—2—1—

得"）=—A8+—AC,

33

一—一21

因为AO=xA8+yAC，所以x=§,y=§,

所以x-y=§,

JT

（2）因为在三角形ABC中，AB=2,AC=\,ZACD=-,

2

所以/CAB=],BC=6,

所以瓯.丽=（画+而）•而=画.而+/.两，

I而卜无，由题意得xe[0,2],

所以方.丽=声•笛+/•阳=|国/丽kosNCAB-]南\

、2一

(x--\+—G-3,—

4；16L16

所以丽•丽的取值范围为-3,2

lo

4.若函数/(x)=2sin(&x+o)(0>0,0<^<|)的部分图象如图所示，其中/(0)=1,

(I)求函数/(力的单调递增区间；

(H)在AABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,b=6,且满足"3)=1,求AABC

面积的最大值.

【答案】(I)----卜k兀,—I-kjt,k^Z；(II)3"..

L36J4

【分析】

(1)利用/(o)=l，=结合。>0和0<°<1,可求得勿和。，从而确定函数的解

析式，进而求其单调区间；

(II)由/(B)=l,求得5,再由6=6,结合余弦定理和基本不等式求得ac的范围，进而可得

三角形面积的最大值.

【详解】

解：(I)由.f(o)=l,得2sin°=l,

___7V..71

又0<°<一,故°=一.

26

由信卜。，得2sin(吟+仆0,

即。•包+工=上万，keZ,

126

\2k2

解得G=--keZ.

由。>0,结合函数图象可知上•卫〉工，

26yl2

12

则0<口<（，故左=1,8=2,

因此函数/（x）=2sin（2x+?）.

兀

令2xH—G------\~2k兀,—F2&乃,keZ,

6L22_

JIn

则入£——+k/r,—+kjv,kwZ、

L36J

冗冗

故函数/（x）的单调增区间为-]+觊,%■+%»,keZ.

（II）由〃3）=1,得2sin[26+^）=l,

又Be（O,乃），所以8=2.

22

因为6=，由余弦定理得匕2=3=tz+c-2tzccosB=cr+c2-ac>lac-ac-ac（当且仅当

a=c时等号成立），

01.a石3百

8M=—acsm8<—x3x——=---,

△说2224

所以~46c面积的最大值为延.

4

5.已知△43C的内角A,8,C的对边分别是a,b,c,且4=〃十。2一帆.

（I）求角A的大小；

（H）若4=百/+c=36，求AABC的面积.

【答案】（I）A=。：（II）2月

【分析】

<1）将已知条件4=匕2+。2一根变形，借助于余弦定理cosA="+i可求得人的大小;

2bc

（II）山与b+c=3&解方程组可求得bc=8的值，进而利用三角形面积公式求

解即可.

【详解】

/T、/七日示在A+c2—a?be1

(I)依题息：cosA=--------------=-----=-

2bc2bc2

TV

.二A二—

3

(II)由余弦定理得:a2=b2+c2-2bc-cosA

即：a?=（b+c）2-2bc-bc,

,•.3A=S+C）2-Q2=24,即拉?=8

/.SgBe=gbe.sinA=2G

6.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.C=1,AB边上的高为

（1）若S-ABC=2C，求AABC的周长；

21

（2）求一+二的最大值.

ab

【答案】（1）2V10+4；（2）浮.

【分析】

（1）由三角形面积公式可得c=4,ab=8,结合余弦定理，可阳a+4=40,即可得AABC的

2sinf--/I|+sinA

周长；（2）由（1）和正弦定理可得，2।1=2smB+sinAI3J,转化为三

a厂6一下）

角函数以后利用辅助角公式化简运算，由0<A<T，根据三角函数的性质求解最大值.

【详解】

解：（1）依题意S^BC=g出1sinC=（oG=26，可得c=4.

TT

因为C=］，所以次?=8.由余弦定理得标+/一"=c，2,

因此（a+0）2=。2+3。。=40,即4+匕=2折.

故AABC的周长为2厢+4.

(2)由(1)及正弦定理可得,

212b+a2b+a2sinB+sinA2sin

--1—=------、斤sin(A+6),(其中6为

abab

6

锐角，且tan6=走)

2

27r21/oi

由题意可知0<A<—T,C因此，当A+e=一时，一+一取得最大值卫•.

32ab3

【点睛】

一般关于解三角形中的最值问题，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最

值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用求三角函数值域的方法求解最值.

7.如图，在平面四边形A3CQ中，8c=1,NABC=90",NBS=60°,NBAD=75°.

(1)若ZCBD=30°，求三角形ABD的面积;

⑵若AD=&乎,求NCBD的大小.

2

【答案】(1)9二；(2)NCBO=60°.

16

【分析】

(1)由三角形BCD是直角三角形求出BD,再在三角形ABD中利用正弦定理求出AD边长，再根

据三角形面积公式求出ABD的面积;

46-42

1

(2)在AABD、ABCD中，由正弦定理知,BD整理得到

~T_，sin/BBC-sin60

sinZABDsin75

sinZBDC=6cosZCBD，又根据sinZBDC=—cosZCBD+-sinNC8O.所以得到

22

tanNCBD=5由0°<NCB。<180°可得NC8O=60'.

【详解】

（1）在ABCD中，由NC3D=30,ZBCD=60,

nIWZBDC=90,BD=—

2

V6+V2

sin75=sin（45+30）=sin45cos30+cos45sin30

4

在△ABO中'由正弦定理知焉而二急,可得仞=吟囱.

所以S=，BQAQ・sinZAPB=」x@x3（"—e）sin4S=9—3b

222416

/7_5

（2）由AQ=v7,/BCD=60，

2BC=l

V6-V2

]BD

在AABD、ABCD中，山正弦定理知,_BD

，sinZBDCsin60

sinZABDsin75

又ZABC=90°，所以sinZABD=cosZCBD

1J3

从而有8DcosNC8D=-,BD-sinZB£>C=—,

22

两式相除可得sinNBDC=GcosNCBD

又由sinZBDC=sin（l80°—60°-NCBD）=sin（60°+NCBD）

。oJ31

=sin60cosZCBD+cos60sinZCB£>=——cosZCBD+—sinZCBD

22

因此有tanNCBD=6，由0°<NCBD<180°可得NCBD=60°

（延长R4,CD交与点E,在三角形E4）中计算同样给分）

【点睛】

解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角

形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求

最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.

8.在443c中，角A,B,C所对的边分别为。，b,。，且asinB+2>sinA=J^acos6.

（I）求角3的大小；

（H）若V7sinA=GsinB，且邑钻0=4百，求c.

【答案】（I）3=9；（II）c=8.

6

【分析】

（1）先用正弦定理将原式中角A用角B表示，再用同角三角函数关系求出tanB的值，进而求出

角8;

（II）先用正弦定理将角化为边，根据边的关系引入参数》表示〃，b的长，再结合（1）中结论

用余弦定理得到方程，从中解出C（用X表示），最后用三角形面积解出参数X的值，即可求出C的

长.

【详解】

解：（I）由正弦定理一乙=一丝得

sinAsinB

as\nB=bsinA,

所以asin5+2bsinA=6acosB可化为

3asinB=yj3acosB，

得tanB=—.

3

因为5£（0,兀），所以3=^.

6

（II）由正弦定理可将近sinA=gsinB化为、&=.

设。=Gx,b=y/lx»

根据余弦定理得（Gx）+c2-2C-A/3X-COS^=,

整理得4d+3c¥—c2=0,

解得c=4x,

所以S"BC=gX（4x）X（6,sin看=4G,

解得x=2,所以c=8.

h•cosc•R

9.在△A6C中，三个内角A3,C所对的边分别是。、b、C,且满足2a=3

cosAco”sA.

（1）求出角A的值；

（2）若a=2,试判断AABC的周长是否有最大值？若有，求出最大值：若没有，请说明理由.

JT

【答案】（1）A=§；（2）有最大值；最大值为6.

【分析】

（1）利用正弦定理，进行边角的转化，结合三角恒等变换即可求出角A的值；

(2)利用正弦定理，把匕、c表示出来，并得到b+c的表达式，化简整理后根据角的范围，即可

求出周长的最大值.

【详解】

(1)Q2a="°sC+.c，c°s',.-.2a-cosA=b-cosC+c-cosB^

cosAcosA

即2sinA-cosA=sinB-cosC+sinC-cos6=sin(6+C)=sin(4一A)=sinA.

]TC

vAG(0,ZT),则sinA>0，COSA=Q,A=]；

a_b_c_2_4

(2)根据正弦定理可得sinAsinBsinCsin乃百，

13

44

/.h——>='sinB,c-—f=sinC,

V3V3

44441、

sinB+sinC=-^=sinB+-^sin存B=-^sinB+cosB+—sinB

73>/3yJ3A/327

=26sinB+2cosB=4sin^B+^-j,

27rTCTCSTT7TTVTT

vO<B<——，则一<8+—<-，则当8+—=一，即8=一时，人+c取最大值4,

3666623

可知AABC的周长的最大值为6.

【点睛】

方法点睛：求三角形有关代数式的最值是一种常见的类型，主要方法有两类:

(1)找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解;

(2)利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.

sinB_cosC

10.已知△AHC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

2b

sinC+2cosc

(1)求的值;

2sinC-cosC

(2)若c=2«,A4BC的面积为5,求AABC的周长.

【答案】(1)y：(2)5+375.

【分析】

（I）由萼="，利用正弦定理可得tanC=2,然后利用商数关系求解;

2bc

（2）根据（1）结合sin?C+cos2c=1，解得sinC,cosC,再由人46。的面积为5,求得ab,

再利用余弦定理求解.

【详解】

“sin8_cosC

(1)由正弦定理-----=---及---其

sinBsinC

sinBcosC_—

得京方=萧’u即ritanC=2'

.sinC+2cosC_tanC+2_4

2sinC-cosC2tanC-13

(2)由(1)知"£=2,故Ce(0,工)，

cosC2

又因为sin?C+cos2C=l»解得sinC=m叵,cosC=^-

55

由58c-^sinC=-^—=5,得ab=54»

A4225

由余弦定理c、2=a2+6—2abcosC及c=2\[5，a2+b2=30-

/.(a+b)2=a?+/+2。〃=30+106，

1・〃+〃=5+石，

；・△ABC的周长为〃+/?+（?=5+3石•

【点睛】

方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，

要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦

定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时,

则要考虑两个定理都有可能用到.解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.

11.已知复数zi满足：|zi|=l+3?-z\.

（1）求Z|

（2）若复数Z2的虚部为2,且三是实数，求

Z1

_O

【答案】（1）zi=-4+3z；（2）z2—------2i.

一3

【分析】

（1）设zi=x+W（x,yGR）,代入E|=l+3i-zi,整理后利用复数相等的条件列式求得x,y的值，则

zi可求;

（2）令Z2=a+2i,aSR,由（1）知，Z1=-4+3/,代入三，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由

zi

虚部为0求得。值，则答案可求.

【详解】

解：(1)设zi=x+yi(x,yWR),

则+y2=]+3j_(x+yj)=(1_%)+(3—y)i，

2

x+/=l-x(解得,x=-4

故

1尸3

0=3-y

zi=-4+3z；

(2)令Z2=a+2i,aWR,

由(1)知，zi=-4+3z,

z?a+2z(a+2z)(—4—3z)—4a+63a+8.

则—=------=----------------

Z-4+3z(-4+3z)(-4-3z)2525

•••兔■是实数,

ZI

8

；.3a+8=0,即a--

3

/.z2=-|+2z,则2=_|一2九

12.已知关于x的方程px+25=0（pwR）在复数范围内的两根为七、x2

(1)若p=8,求X]、x2

(2)若％=3+4i,求。的值.

【答案】（1）XI=4+3i,x2=4-3z；（2）p=6.

【分析】

（1）利用求根公式即可求解.

（2）将％=3+4i代入方程即可求解.

【详解】

(1)由题意得，△=〃2-100=-36<0,

.8±7=368±V36F8±6Z….

222

/.%=4+3i,x2=4-3z.

（2）己知关于X的方程幺―座+25=0（〃€氏）的一根为西=3+47,

所以（3+4i『-p（3+4i）+25=（18-3p）+（24—4p）i=0,

所以18-3P=24-4P=0,解得p=6.

13.设复数zi=2+ai（其中Z2=3—4i.

（I）若Z1+Z2是实数，求Z]・Z2的值；

Z.

（2）若」是纯虚数，求㈤.

Z2

【答案】（1）22+4/；（2）

2

【分析】

（1）山已知求得4,再由复数代数形式的乘除运算求Z「Z2的值；

Z.

（2）利用复数代数形式的乘除运算化筒,，由实部为0且虚部不为0求得则|zj可求.

Z2

【详解】

解：（1）・・・Zi=2+出（其中。£氏），z2=3-4/,

/.4+Z2=5+(a—4)i,

由Z1+Z2是实数，得。=4.

/.Z)=2+4/,z2=3-4z,

则4.z2=(2+4Z)(3-4z)=22+4z；

⑵由冲＜黔6—4。3a+8.……，

三一十争-，是纯虚数,

6—4。=03

得《,即"一

3。+8。02

395

.•.|Z,H2+-Z|=j4+-=-.

14.已知复数Z［=2+7*2=2-3i.

(1)计算Z1•z?；

(2)求二；

zi

(3)若|z|=5,且复数z的实部为复数4―z2的虚部，求复数z.

【答案】(1)7-4/；(2)痘；(3)z=4+3i或z=4—3i.

5

【分析】

(1)由复数的乘法运算法则，即可求解；

(2)由复数的乘法运算法则，得到，■=展一再利用模的计算公式，即可求解；

Z155

(3)设2=。+万，由目=5和Z]-Z2=4i,根据题意求得。力的值，即可求得复数Z.

【详解】

(1)由题意，复数Z[=2+i*2=2-3i,

可得z/Z2=(2+i)(2_3i)=4_6i+2i—3“2=7—4i

z22-3z(2-3z)(2-z)18.Z2

(2)47=177=(2+j)(2-i)=］一］'，所以

Zl

(3)设z=a+bi(a,bGR),

因为忖=5,所以/+/=25,

由复数Z]-％2=(2+i)-(2-3i)=4i,所以复数-z2的虚部为4,

又因为复数z的实部为复数Z1-Z?的虚部，所以。=4,

又由a2+/?2=25,解得〃=±3,所以z=4+3，或z=4—3九

2

15.已知复数z=a+i(a>0,“6R),,•为虚数单位，且复数z+-为实数.

z

(I)求复数Z；

(2)在复平面内，若复数5+z)2对应的点在第一象限，求实数”?的取值范围.

【答案】(1)z=l+i；⑵(0,+8).

【分析】

(1)利用复数的四则运算以及复数的分类即求解.

(2)利用复数的四则运算以及复数的几何意义即可求解.

【详解】

(1)因为z=a+i(a>0),

22

所以zH—=a+i-\-----

za+i

2(a-Z)

a2+l

22

由于复数z+一为实数，所以1一一一=0,

z矿+1

因为〃>0,解得。=1,因此，z=l+i.

(2)由题意(m+z)2=(m+l+i)2

=(m+l)2—1+2(6+l)z=(/w2+2/n)+2(w+l)z,

m~+2m>0

由于复数的+z)2对应的点在第一象限，则仁/八八，解得20.

2(m+l)>0

因此，实数，”的取值范围是(0,+00).

16.”?为何实数时，复数z=(1+i)m2+(2i+l)/n-2-3i是:

(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？

【答案】(1)m=1或加=—3；(2)且〃2H—3；(3)-2

【分析】

先对复数z=(1+i)m2+(2i+1)加一2-3i整理得z=(利-1)(m+2)+(m-l)(m+3)i,

(1)要为实数，只要虚部为零，令(加-1)(加+3)=0即可;

(2)要为虚数,只要虚部不为零，令(加一1)(〃7+3)#0即可；

(m-1)(团+2)=0,

(3)要为纯虚数，只要实部为零，虚部不为零，由八,一八求解即可

(他-1)(加+3)±0,

【详解】

解：z=(1+i)m2+(2i4-l)/n-2-3i

=m2+nri+2mi+m-2—3i

=(m2+加-2)+(/疗+2m—3)i

=(m-l)(m+2)+(m-l)(m+3)i.

(1)由(加-1)(加+3)=。得m=1或加=一3,

即加=1或一3时，z为实数.

(2)由(加-1)(6+3)wO得加。1且-3,

即加且加工一3时，z为虚数.

(m-l)(m+2)=0,

得m=-2,

(m—l)(m+3)w0,

即相=-2时，z为纯虚数.

17.求tana使得复数z=cos2夕+(tan?tang-2)，是:

(1)实数

(2)纯虚数.

(3)零.

【答案】(1)2；(2)1；(3)-1.

【分析】

由复数的代数形式，结合其所代表的复数类型，列方程组求tan。即可;

【详解】

(1)由题意，tan28—tan。一2=0，得tan9=-l或tan6=2.

cos20=0cos20=sin20tan20=1

(2)由题意,<，即《

tan2O-tanB—2w0(tan0+l)(tan。-2)w0[(tan0+l)(tan6-2)w0

解得tan6=l

cos2。=0cos2^=sin20tan20=\

（3）由题意，《,得《,即《

tan2tan^-2=0(tan0+l)(tan6—2)=0(tan0+l)(tan6—2)=0

解得tan(9=—1.

18.己知复数Z]=-2+i,z2=-l+2z.

（1）求Z1一2；

（2）在复平面内作出复数4-Z2所对应的向量.

【答案】（1）-1-Z;（2）答案见解析.

【分析】

（1）根据复数的减法运算直接求解即可;

（2）根据复数的几何意义直接作图即可.

【详解】

（I）由复数减法的运算法则得：4—Z2=—2+i+1—2i=-1-i.

（2）在复平面内作复数Z1-Z2所对应的向量，如图中位.

7t

19.己知复数zi=〃?+(4—a2)i,Z2=2cose+(/l+3s，n0)i,X,/nGR,JW0,'，Z|=Z2,求2的取

值范围.

9

【答案】一77』,

16

【分析】

利用复数相等，建立方程，转化为4=4sin2。-3s,h仇利用sin。£[0,1],求/I的取值范围.

【详解】

m=2cosa

由zi=Z2,九可得＜

4-m2=2+3sin0.

(3丫9

整理，得2=4sin2。-3sin夕=4sin。——一--

I8j16

T乃C9

,：0G0,一,Asm[0,1],.*.z^----,1.

2216

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是利用实部和虚部对应相等后，得到％=4sin2。-3sin0,转化为关于sin。的

取值范围求4的取值范围.

20.已知虚数z满足|2z+l-i|=|z+2—2i].

（1）求目的值;

（2）若〃zz+'eR,求实数，”的值.

Z

【答案】（1）72；（2）m=-.

2

【分析】

（1）设虚数z=a+沅，a、beR，由题意列方程求出力+从的值，即可得出|z|；

（2）由mz+』e/?,列方程求出实数机的值.

z

【详解】

（1）设虚数z=a+"i（。、且人70）,

代入|22+1—4=2+2—2力得囚+1+（2/>—1川=卜+2）+仅一2川，

.•.（2〃+11+（2人-丁=（a+2『+e-2『，

即4a2+46?+4。-40+2=/+4。一48+8，可得。2+从=2，因此，|z|=72；

（2）ill（1）知，z=a+初其中。、b£R,且厉打），/+。2=2，

又知mER,/篦Z+—ER.

z

1/7•、1/.\a-bi/7.、a-bi

+—=帆（a+〃）+-----=机（a+〃7）+------—------=m\a+bi]-\--------

zv7a+biv7e+初）（。-砌（72

=[+,

I2jI2）

mz+—&R,:.mb——b-0,解得ni=一.

z22

【点睛】

关键点点睛：复数分类的关键：

（1）利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式,

求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式2=。+4（a/cR）时应先转化形式；

⑵注意分清复数分类中的条件：设复数z=a+砥则：

①z为实数ob=0；②z为虚数obwO；③z为纯虚数=。=0,匕刈；④z=0oa=Z>=0.

21.如图，S是以平行四边形ABC。的边为直径的半圆弧上一点，Zfi4D=60°,$4=46，

SD=4.DC=SB=8,且E为AD的中点.

（1）求证：平面SB£J_平面SAO；

（2）求二面角8—SO—C的正弦值.

4

【答案】（1）证明见解析；（2）y.

【分析】

（1）由已知证线面BE1平面SAD,进一步证面面垂直.

（2）建系算出二面角两平面的法向量，从而得出二面角3—SD—C的正弦值.

【详解】

（1）【证明】因为S是以平行四边形ABC。的边为直径的半圆弧上一点，

所以SDLSA,所以。。=JSTV+S。？=8.

因为E为的中点，所以SE=，AZ）=4.

2

由题可知AB=DC=8,所以AB=AD.

因为N&LD=60。，所以△A3。为正三角形，所以BE="AB=46，且6£J_AT）.

2

则SB?=8七2+552,所以

因为SEcAP=E，SE,A£>u平面皿），所以Ml平面皿）.

因为BEu平面SBE,所以平面SBEJ_平面SAD.

(2)【解】由(1)知，BE1平面SA。，BEu平面A8CO,

所以平面540,平面A8C0.以E为坐标原点，以E4，所所在直线分别为％轴，＞轴，以过点

E且与平面ABC。垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间宜角坐标系，

则6（0,40,0）,C（-8,473,0）,DM,0,0）,S（-2,0,273）,

所以方=修,0,2码,瓦=卜,4后0）,阮=（＜4后0）.

设平面SBD的法向量为4=(xp^,zj，

n.DS—0,2%+2cz、=0,

则[即＜

%-DB=0,4%+4&y=0,

取％=6，则,=4=_1,则

设平面SDC的法向量为4二(占,为，Z)),

n-DS=0,2X2+2Gz2=0,

则〈2即V

=

%.DC—0,—4x2+4-\/3%0,

取Xj=G，则%=1，Z2=~l'则4=（6,1,一。，

所以cos（晨％）=33

同同一石x65,

3

故二面角8—5。一。的正弦值为』1—

【点睛】

关键点睛:当二面角的平面角不易作出时，常通过建系求两面的法向量，再求法向量夹角的三角函数

值.

22.如图，在直三棱柱ABC-A4G中，底面ABC为等腰直角三角形，AB=BC=CG，点、E，

产分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BE.

C,

3AEB

(1)求证：\FVCXE.

(2)当三棱锥g-8EF的体积取得最大值时，求直线同尸与平面四后尸所成角的正切值.

【答案】(1)证明见解析；(2)生低.

65

【分析】

(1)设AB=2，AE=BF=x,过点。作CP〃AB，使CP=AB.连接BP，过P作PQ〃B尸，

且使PQ=BF,先证明四边形为4G。尸为平行四边形，通过勾股定理得CQ^GE，进而得结

果；

(2)如图建立空间直角坐标系，根据锥体体积公式以及二次函数性质得£,尸分别是棱A8,BC

的中点时合乎题意，通过向量法即可得到线面角的正切值.

【详解】

不妨设AB=2，AE=BF=x.

(1)如图，过点C作CP//AB，使CP=A3，连接,过P作PQ//BF,

且使PQ=8/，连接GQ，尸。.则四边形8PQF,ACPB为平行四边形，

故BP//QF//AC//A.Q,且BP=QE=AC=RG,故四边形为A^QF为平行四边形，

则.又GQ=A,?=V22+22+X2=yjs+x2，

GE=722+22+(2-X)2=712-4X+X2，

EQ=7(4-X)2+(2+X)2=,20-4x+2f,

所以GQ2+GE2=EQ2,即GQ^GE，则

(2)以3为坐标原点，BC，BA-8片所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角

坐标系，则尸0,0,0),男(0,0,2),E(0,2-x,0),49,2,2).

12

因为VB、-BEF=§SQBEFxBB[=—ShBEF,

所以当S.BKF取最大值时，三棱锥B]-BEF的体积取得最大值.

因为。=*2川=；—*一1)24

所以当x=l,即E，F分别是棱A3，的中点时，三棱锥耳-BE尸的体积取得最大值，此时

£(0,1,0),尸(1,0,0).

则行=(1,一2,-2),庭=(0,1,-2),EF=(l,-l,0).

设平面B}EF的法向量为比=(a,b,c),

方及后=0,优一2c=0,

m-EF=Q,[a-b^0,

取a=2,得8=2,c=l,则比=(2,2,1).

设直线\F与平面B.EF所成角为8,

则0in"辰佰，中)卜勒J，

所以tan”普

故直线A尸与平面与防所成角的正切值为生匝.

65

Cl

yAEB

【点睛】

关键点点睛：(1)设出AE=BE=x,通过勾股定理得出G。，GE；

(2)根据三棱锥的体积公式以及二次函数的性质得到E，/分别是棱AB，BC的中点，利用向

量法解决线面角问题.

23.(1)如图，平面四边形ABCO中，AB=AD^CD^l,BD=y[2>BD±CD,将其沿对角

线3。折成四面体A-3c£)，使平面A3£>_L平面BCD,若四面体A-3C。的顶点在同一个球面上,

求该球的表面积.

(2)已知矩形ABC。，AB=1,AD=母,E为A。的