第七章线性空间与线性变换

PAGEPAGE124第七章线性空间与线性变换第三章在向量与线性运算的基础上引入了n维向量空间的概念。本章我们把向量空间推广到更一般的情形，得到线性代数的一个基本概念——线性空间；然后介绍线性空间中的一种最基本变换——线性变换。§1线性空间的定义与性质首先引入数域的概念。定义1：设P是包含0和1的数集，如果P中任意两个数的和、差、积、商(除数不为零)均在P内，则称P为一个数域。显然有理数集Q、实数集R和复数集C都是数域。定义2：设V是一个非空集合，P是一个数域。在集合V的元素之间定义加法运算，即对于V中任意两个元素与，在V中有唯一的元素与它们对应，称为与的和；且该加法运算满足：(1)(交换律)(2)(结合律)(3)(零元素)存在元素0，对V中任一元素，都有(1.1)(4)(负元素)对V中每一个元素，存在的负元素，使在集合V的元素与数域P的数之间定义数乘运算，即对于V中任一元素与P中任一数k，在V中有唯一的元素与它们对应，称为k与的数乘；该数乘运算满足：(5)(向量加法分配律)(6)(数量加法分配律)(7)(结合律)(1.2)(8)(单位元)以上规律中是V中的任意元素，是P中的任意数。则称V为数域P上的线性空间；满足上述规律的加法和数乘运算统称为线性运算。线性空间V的元素也可以称为向量，此时它的含义要比第三章中的向量含义更广泛。下面列举一些线性空间的例子。例1全体n维实向量依照向量的加法和向量与实数的数乘构成实线性空间，称为n维向量空间，记为。例2设为所有阶实矩阵构成的集合，对于矩阵的加法运算及任意实数与矩阵的数乘运算，构成实数域上的线性空间，称为矩阵空间。例3设表示实数域R上次数小于n的x多项式集合，在通常意义的多项式加法和实数与多项式乘法的运算下，构成一个实数域R上的线性空间。例4设为实矩阵，记(1.3)则构成实数域R上的线性空间，称为齐次线性方程组的解空间，也称为矩阵A的核或零空间。例5设为实矩阵，记(1.4)则构成实数域R上的线性空间，称为矩阵A的值域空间。例6全体实函数，按照函数加法和函数与实数的乘法，构成一个实数域上的线性空间。由定义可以推出线性空间的一些简单性质：性质1线性空间V的零元素是唯一的。证设和是V的两个零元素，即对任何，均有性质2线性空间V中任一元素的负元素是唯一的。证设V的元素有两个负元素和，即，。于是由于负向量的唯一性，我们可以将的负向量记为。性质3，，。证因为，所以；而，于是；又由于，，即。性质4若，则有或者。证假设，则；另一方面，有，即有。在例4中，给出了线性方程组的所有解构成的线性空间，显然这个线性空间是的一个子集合，一般地可以引入子空间的概念。定义3：设V是数域P上的线性子空间，W是V的一个非空子集，若W对于V上的加法和数乘运算，也构成一个线性空间，则称W为V的一个线性子空间(简称子空间)。每个非零线性空间V至少有两个线性子空间，一个是它自身V，另一个是仅由零向量构成的子集合，称为零子空间。一个非空子集满足什么条件才可构成子空间？W既然是V的子集合，那么W中的元素满足定义2中的条件(1)、(2)和(5)~(8)是显然的，因此只要W满足条件(3)、(4)同时对线性运算封闭即可。于是我们有定理1线性空间V的非空子集W构成V的一个子空间的充分必要条件是：W对于V上的线性运算封闭。例7设线性空间中次数小于r()的多项式全体，构成的一个线性子空间。例8设是线性空间V中一组向量，其所有可能的线性组合的集合(1.5)非空，并且对线性运算是封闭的，因此构成的V的线性子空间(1.6)称为是由向量组生成的生成子空间。§2线性空间的维数、基与坐标在线性空间中同样可以引入线性组合、线性相关性、极大线性无关组等概念，并得到与向量空间中类似的结论。在此基础上可以定义线性空间的基、维数与坐标等概念。定义1：设线性空间V中的n个向量满足：(1)线性无关；(2)任意的都可由线性表示，即存在一组有序数，使(2.1)则将向量组称为线性空间V的一组基；向量组所含向量数n称为线性空间V的维数，记为。维数为n的线性空间称为n维线性空间，记为。由定义1可见，线性空间的维数就是它的一组基所含的向量个数。当确定了一组基之后，线性空间中的任一向量在该组基下的表示就是唯一的。设为线性空间的一组基，则对任意的元素，都有一组有序数，使(2.1)式成立；并且可以证明，这组有序数是唯一的。反之，任给一组有序数，总有唯一的元素可以由线性表示，即同样成立(2.1)式。由此可知，如果是线性空间的一组基，对任一元素，都可以表示为(2.2)这样，的元素与有序数组之间存在着一种一一对应关系，因此可以用这有序数组来表示元素。于是我们有定义2：设是线性空间的一组基，对于任一元素，有且仅有一组有序数，使(2.1)式成立，则称该有序数组为元素在基下的坐标，并记元素的坐标为(2.3)例1在§1的例3中次数小于n的实多项式构成的线性空间是一个n维线性空间，可以选取它的一组基这时对于任何一个次数小于n的实多项式，均可表示为因此它在该组基下的坐标为。如果在中另取一组基则根据f在处的泰勒展开式，可得f在基下的坐标为例2在n维线性空间中，它的一组基为，，…，对于任一向量，有所以向量在基下的坐标为。而在的另一组基，，…，下，向量可以表示为向量在基下的坐标为。引入了线性空间中向量坐标的概念后，不仅将抽象的向量与具体的数组向量联系在一起；同时也将线性空间中抽象的线性运算与具体的数组向量的线性运算联系在一起。设，(2.4)，规定如下的向量之间的线性运算：(2.5)(2.6)总之，在给定n维线性空间的一组基后，不仅中的向量与n维数组向量空间中的向量之间有一个一一对应的关系，而且这个对应关系还保持线性运算的对应。因此，n维线性空间与n维数组向量空间有相同的结构，我们称与同构。一般地，我们有定义3：如果两个线性空间满足下面的条件：(1)它们的元素之间存在一一对应关系(2)这种对应关系保持线性运算的对应则称这两个线性空间是同构的。同构是线性空间之间的一种关系。显然任何一个n维线性空间都与同构，即维数相等的线性空间都同构，这样线性空间的结构就完全由它的维数决定。§3基变换与坐标变换在n维线性空间中，任何含有n个向量的线性无关组都可以作为该线性空间的一组基，所以线性空间的基不唯一；因为同一向量在不同的基之下的坐标一般是不同的，所以需要讨论基向量组发生改变时，向量的坐标如何发生变化。定义1：设和是线性空间的两组不同的基，并且满足(3.1)或者写成(3.2)其中矩阵(3.3)称为从基到基的过渡矩阵；并将(3.3)式称为基变换公式。由于向量组和都是线性无关的，所以过渡矩阵P是可逆的。定理1设中元素，在基下的坐标为；在基下的坐标为；且基之间满足关系式(3.2)，则有坐标变换公式，或者(3.4)(证明作为习题，请读者自行推导)定理1的逆命题也成立，即若线性空间中任一元素在两组基下的坐标满足坐标变换公式(3.4)，则这两组基一定满足基变换公式(3.3)。例1设线性空间中的向量在基下的坐标为，若另一组基可以由基表示，有求向量在基下的坐标。解从基到基的过渡矩阵为，其逆矩阵根据定理1，在基下的坐标即。例2在线性空间中取两组基分别为求坐标变换公式。解为了求出从基到的过渡矩阵，先将它们与另一个基联系起来：于是则坐标变换公式为或§4欧氏空间在线性空间中，向量的基本运算仅有加法运算和数乘运算两种，无法反映出向量的长度、夹角、正交等度量性质，局限了线性空间理论的应用。下面我们在内积运算的基础上，将向量的长度等度量概念引入线性空间，得到欧氏空间。定义1设V是实数域R上的线性空间，，。对V中任意两向量和，定义一个满足下列条件的实值函数：(1)(对称性)(2)(齐次性)(3)(分配律)(4.1)(4)(非负性)，当且仅当时称函数为向量与的内积；称上述定义了内积的线性空间V为欧几里得空间，简称欧氏空间。欧氏空间实际上就是定义了内积的实线性空间，是一个特殊的线性空间，也可称为内积空间。对于同一个线性空间，规定了不同的内积形式后，就可以得到不同构造的欧氏空间，向量的数量积是最常见的内积形式。欧氏空间比解析几何中的几何空间意义更广泛。例1在中，对，通常定义内积为(4.2)可以验证，上面定义的内积满足上面定义1的条件(1)(4)。例2在实线性空间中，可以定义和的内积为(4.3)线性空间对于规定的内积运算，构成一个欧氏空间。在欧氏空间中我们同样可引入长度概念。定义2设V是欧氏空间，对于，将非负实数称为向量的长度，记为。特别地，将长度为1的向量称为单位向量。对任意的非零向量，由内积的性质可知，是单位向量，这样得到单位向量的方法称为向量的单位化。为了引入向量夹角概念，先证明下面的不等式。例3证明：对于欧氏空间中任意两向量和，有(4.4)其中等号仅在与线性相关时成立。证若与线性相关，则有，根据向量长度的定义，成立于是知命题中的等式成立。若与线性无关，则对任意实数t，，因而上式右边是关于t的二次多项式，且对任何实数t，它都大于零，所以它的判别式必定小于零，即得(4.5)亦即。证毕。不等式(4.4)称为柯西-许瓦兹(Cauchy-Schwartz)不等式。下面给出两向量夹角的概念。定义3设V是欧氏空间，对非零的，定义与的夹角为(4.6)特别地，当时，称向量与是正交的，记为。在欧氏空间中零向量与任何向量均正交；非零向量与正交即表示它们是相互垂直的。一般我们将非零且两两正交的的向量组称为正交向量组。不难证明，正交向量组是线性无关的。在n维欧氏空间中，我们将由n个正交向量构成的一组基称为正交基；进一步将由n个正交的单位向量构成的基称为标准正交基。类似于第4章中向量空间的正交化方法，从n维欧氏空间V的任意一组基出发，也可以利用施密特(Schmidt)正交化方法，构造出欧氏空间的一组标准正交基。施密特正交化方法设给定n维欧氏空间V的一组基(4.7)第1步(正交化)：令，(4.8)………………容易验证，得到的是欧氏空间V中的正交向量组。第2步(单位化)：令(4.9)则向量组是欧氏空间V的一组标准正交基。在本节的最后，我们讨论向量内积的计算，为此先引入度量矩阵的概念。定义4设是n维欧氏空间V的一组基，记(4.10)则称n阶矩阵为基的度量矩阵。显然，欧氏空间中的度量矩阵G是n阶实对称矩阵；如果为欧氏空间V的一组标准正交基，则其度量矩阵G是n阶单位矩阵。设是n维欧氏空间V的一组基，将其度量矩阵记为G，任意给定V中两向量和，则它们的内积为：(4.12)其中，。特别地，当为n维欧氏空间V的一组标准正交基时，因为度量矩阵是n阶单位矩阵，所以，即向量的内积可以用坐标来表示。§5线性变换线性变换是线性空间映射到自身的一种特殊映射，它保持了加法与数乘运算的对应关系，是一种最基本的映射。本节介绍线性变换的基本概念和性质，在下一节将讨论线性变换与矩阵之间的联系。定义1设V是数域P上的线性空间，T是V上映射到自身的一个映射，如果对，，该映射均保持线性运算的对应，即(1)(2)(5.1)则称映射T为线性空间V上的线性变换。例1设V是数域P上的线性空间，k是数域P中的一个常数，定义变换T：(5.2)可以验证映射T是线性变换，通常称为数乘变换。特别地，当时，该变换称为恒等变换；当时，变换称为零变换。例2设变换将xoy平面上的向量绕原点按逆时针方向旋转角度，即对任意的记由平面解析几何可知记(5.3)则(5.4)容易证明，是一个线性变换，称为旋转变换。例3设是上一个变换，对任意的，定义，可以验证是上的线性变换。在几何上，变换将向量投影到xoy平面上，称为投影变换。线性变换T具有下述基本性质：性质1，(5.5)性质2(5.6)性质3若线性相关，则也线性相关；这3条性质请读者自行证明。注意性质3的逆命题不一定成立，即线性变换可能将线性无关的向量组变成线性相关的向量组。性质4线性变换T的象集合是线性空间V的一个线性子空间，称为线性变换T的值域。证显然是V的一个非空子集合，要证明是V的一个线性子空间，根据本章第一节的定理1，只须证明中的元素对线性运算封闭即可。设，则有，使从而所以非空子集合对V上的线性运算封闭，故是V的一个线性子空间。证毕。性质5使的全体(5.7)也是V的一个子空间，称为线性变换T的核。证显然，且是V的一个非空子集合。类似性质4的证明，只须它对线性运算封闭即可。设，即，则由可知；又由可得。所以是V的一个子空间。证毕。如果规定线性变换的加法、数乘和乘法分别为(5.8)(5.9)(5.10)可以证明，经过上述运算得到的变换仍然是线性变换。§6线性变换的矩阵表示线性空间V上的线性变换T将V中任意一个向量变换到它的象，而也是线性空间V中的向量。如果是V的一组基，则向量和都可以用它们在该组基下的坐标表示，我们自然要问，它们的坐标之间有什么关系？设是n维线性空间V的一组基，T是线性空间V上的线性变换，那么对于V中的向量(6.1)根据线性变换的性质，有(6.2)这表明我们只要知道，就可以得到V上任何一个向量的象。即只要确定线性变换在一组基下的象，就可以完全确定线性变换T。定义1设n维线性空间V的一组基在线性变换T下的象为(6.3)记矩阵(6.4)并引入形式(6.5)则基向量的象可以写成(6.6)矩阵A称为线性变换在基下的矩阵表示。特别地，恒等变换的矩阵表示为单位矩阵I；零变换的矩阵表示为零矩阵。注意到在基下的坐标是唯一的，从而在线性空间V中取定一组基后，V上的线性变换T就完全被一个矩阵所确定。也就是说由线性变换T可以唯一地确定一个矩阵A，反之由一个矩阵A也可以唯一地确定一个线性变换T。现在用线性变换在一组基下的矩阵来描述向量与它的象的坐标间的联系。定理1设是n维线性空间V的一组基，V中线性变换T在该组基下的矩阵表示为A，记向量和它的象在下的坐标分别为，(6.7)则。证由向量的坐标，有。根据线性变换保持线性关系不变的性质，所以再由象的坐标形式，知。证毕。例1已知中的一组基为(6.8)线性变换T将分别变到(6.9)求：(1)线性变换T在下的矩阵表示A；(2)求向量以及在基下的坐标。解(1)由，得到矩阵方程：利用矩阵的求逆运算，可得(6.10)(2)设在基下的坐标为，那么即解得于是在基下的坐标为(6.11)由于线性变换的矩阵表示依赖于基的选取，同一个线性变换在不同基对下的矩阵表示是不同的，因此需要讨论线性变换在不同基对下的矩阵表示间的关系。定理2设和是n维线性空间V的两组基，V中线性变换T在这两组基下的矩阵表示分别为A和B，且从基到基的过渡矩阵为P，则矩阵A和B相似，即。证已知(6.12)(6.13)(6.14)于是(6.15)因为线性变换T在基下的矩阵表示是唯一的，所以。证毕。例2设D是线性空间上的求导变换，可以证明D是一个线性变换，请写出它在基下的矩阵表示A；并求D在基下的矩阵表示B。解因为，所以从基到基的过渡矩阵为所以求导变换在基下的矩阵表示B为：(6.16)习题七1.检验以下集合对于所指定的加法和数乘运算是否构成线性空间：(1)数域P上全体n阶对称矩阵(或者反对称矩阵，下