2023-2023年东城数学试题及答案

2024-2024年东城数学试题及答案北京市东城区

2024届高三上学期期末考试

数学（文）试题

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，则

A.B.C.D.

（2）下列函数中为偶函数的是

A.B.

C.D.

（3）直线与圆相交于两点，，则“”是“”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件,

（4）执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为

A.8

B.19

C.42

D.89

（5）已知向量a，b，c，

若(2a-b)c，则实数

A.B.C.D.

（6）已知，则

A.B.C.D.

（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为

A.B.C.D.

（8）再一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和。丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的挨次排列为

A.甲、丁、乙、丙

B.丁、甲、乙、丙

C.丁、乙、丙、甲

D.乙、甲、丁、丙

其次部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）复数.

（10）双曲线的渐近线方程为.

（11）若满意，则的最大值是.

（12）在中，，则，的面积为.

（13）函数当时，的值域为；当有两个不同零点时，实数的取值范围为.

（14）设命题已知，满意的全部点

都在轴上.能够说明命题是假命题的一个点的坐标为.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）

已知是等差数列，是等比数列，且.

（Ⅰ）数列和的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列前项和.

（16）（本小题13分）

已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值与最小值；

（Ⅱ）当的图像经过点时，求的值及函数的最小正周期.

（17）（本小题14分）

“砥砺奋进的五年”，首都经济社会进展取得新成就.自2024年以来，北京城乡居民收入稳步增长.随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收入快速增长，人民生活品质不断提升.下图是北京市2024-2024年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图（例如2024年，北京城镇居民收入实际增速为7.3%，农村居民收入实际增速为8.2%）.

（Ⅰ）从2024-2024五年中任选一年，求城镇居民收入实际增速大于7%的概率；

（Ⅱ）从2024-2024五年中任选一年，求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率；

（Ⅲ）由图推断，从哪年开头连续三年农村居民收入实际增速方差最大？（结论不要求证明）（18）（本小题13分）

如图，在四棱锥中，是等边三角形，为的中点，四边形为

直角梯形，.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求四棱锥的体积；

（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？说明理由.

（19）（本小题14分）

已知函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）若对于任意，都有，求实数的取值范围.

求证：“”是“函数有且只有一个零点”的充分必要条件.

（20）（本小题13分）

已知椭圆的右焦点与短轴两个端点的连线相互垂直.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点为椭圆的上一点，过原点且垂直于的直线与直线交于点，求面积的最小值.

东城区2024-2024学年第一学期期末教学统一检测

高三数学参考答案及评分标准（文科）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C（2）D（3）A（4）C

（5）A（6）D（7）B（8）A

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）（10）

（11）（12），

（13），或

（14）

（点的坐标只需满意，

或，）

三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由于，所以．

解得．

又由于，所以．

所以，，．……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．

因此

数列前项和为．

数列的前项和为．

所以，数列的前项和为，．………13分（16）（共13分）

解：（Ⅰ）当时，

.

由于，

所以．

所以，当，即时，取得最大值，

当，即时，取得最小值为.………6分（Ⅱ）由于，

所以．

由于的图象经过点，

所以，即．

所以．

所以．

由于，

所以．

所以的最小正周期．……13分

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）设城镇居民收入实际增速大于为大事，由图可知，这五年中有

这三年城镇居民收入实际增速大于，所以

.……5分

（Ⅱ）设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超为大事，这五年中任

选两年，有，，，，

，，，，，

共种状况，其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超

过的为前种状况，所以.………10分（Ⅲ）从开头连续三年农村居民收入实际增速方差最大.………13分

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）由于，，，

所以平面．

由于平面，

所以平面平面．………5分

（Ⅱ）连接．

由于△为等边三角形，为中点，

所以．

由于平面，

所以．

由于，

所以平面．

所以．

在等边△中，，

，

所以．………9分（Ⅲ）棱上存在点，使得∥平面，此时点为中点．

取中点，连接．

由于为中点，

所以∥．

由于平面，

所以∥平面．

由于为中点，

所以∥．

由于平面，

所以∥平面．

由于，

所以平面∥平面．

由于平面，

所以∥平面．………14分

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）由于函数，

所以,

.

又由于，

所以曲线在点处的切线方程为.………4分（Ⅱ）函数定义域为，

由（Ⅰ）可知，.

令解得.

与在区间上的状况如下：

所以，的单调递增区间是；

的单调递减区间是.………9分（Ⅲ）当时，“”等价于“”.

令，，

，.

当时，，所以在区间单调递减.

当时，，所以在区间单调递增.

而，

.

所以在区间上的最大值为.

所以当时，对于任意，都有.………14分（20）（共13分）

解：（Ⅰ）由题意，得

解得．

所以椭圆的方程为．