2021年吉林省、内蒙古金太阳高考数学联考试卷（理科）

2021年吉林省、内蒙古金太阳高考数学联考试卷（理科）（4

月份）

一.选择题（每小题5分）.

I.已知集合4=&片-2%-8<0},8={-4,-2,0,2,4},则AA8=（）

A.{-2,0}B.{-4,-2,0,2}C.{0,2}D.{-2,0,2,4}

2.已知复数z=-l+&i,贝！Jz?=（）

A.-2-2^B.-2+2眄C.4-2仃D.4+2制

3.设等差数列｛。〃｝的前n项和为设且。3+。9=的+5,则等3=（）

A.35B.65C.95D.130

TT

4.函数f（x）=）图象的对称中心是（）

兀L八几

A.（加■—-,（依Z）B.（ATTH■—―,0）（依Z）

9v9

当工

C.（"二胃，娓）（依Z）D.，0）（依Z）

39

5.青少年近视问题己经成为我国面临的重要社会问题.已知某校有小学生3600人，有初中

生2400人，为了解该校学生的近视情况，用分层抽样的方法从该校的所有学生中随机抽

取120名进行视力检查，则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是（）

A.24B.48C.72D.96

6.已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是4m则该圆柱的体积是（）

A.2irB.4iiC.8TID.12n

7.在等比数列｛小｝中，。2,。8是方程X2-10x+9=0的两个根，则。5=（）

A.3B.3或』C.—D.±3

33

8.2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦

娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全

着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定

了坚实基础.若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式旦计算

m

火箭的最大速度v（mis）,其中vo（加s）是喷流相对速度，相（依）是火箭（除推进剂

外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，更称为“总质比”.若A型火箭的

m

喷流相对速度为lOOO/n/5,当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（）Uge

亡0.434,/g240.301)

A.4890/n/sB.5790，”/sC.6219w/.vD.6825/nA

2

O

9.已知Q,尸2是椭圆C：三_+)2=l的左、右焦点，点。在椭圆C上，ZF1DF2=120,

4

点O为坐标原点，则|0。|=()

A.1B.豆C.返D.—

222

10.已知函数/(x)=log2(-f-g+16)在[-2,2]上单调递减，则m的取值范围是()

A.[4,+8)B.(-6,6)C.(-6,4]D.[4,6)

22

11.已知双曲线C：t-%=1(4>°，b>0)的左、右焦点分别为人，尸2,过人作与其

中一条渐近线平行的直线与C交于点A,若为直角三角形，则双曲线C的离心

率为()

A.V5B.MC.近D.2

-^-x^+3x+~+l>x<0

12.已知函数f(x)=«3x，若关于X的方程/(x)4/(-X)=0有4

21nx+x,x>0

个不同的实数根，则实数。的取值范围为()

919

A.(-1,0)B.(--,0)C.(0,—)D.(0,—)

323

二.填空题(每小题5分).

13.已知向量!=(2,/»),E=(1，-3),若(2^-则”?=.

x-y>1

14.设x,y满足约束条件<x+2y-2?0,则z=2x+y的最大值是.

3x+y《ll

15.桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年

都会迎来无数游客.甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游

船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩.已知“印象刘三姐”的门

票为195元/位，“象山景区”的门票为35元/位，其他2个景点的门票均为95元/位，

则甲同学所需支付的门票费的期望值为元.

16.某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，已知该三棱锥的各顶点都在球O的球面上，过

该三棱锥最短的棱的中点作球。的截面，截面面积最小为

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，

每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60

分

17.某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该

公司的服务质量进行打分.已知这200位顾客所打的分数均在［25,100］之间，根据这些

数据得到如下的频数分布表：

顾客所打分数[25,40)[40,55)[55,70)[70,85)[85,100]

男性顾客人数46103050

女性顾客人数610244020

（1）估计这200位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）.

（2）若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所

打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意.根据所给数据，完成下列

2X2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与

性别有关？

满意不满意

男性顾客

女性顾客

附.v=.n(ad-bc)2______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(照2A)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2bcosA=2c-a.

（1）求角8；

(2)若a=4,6=2祈，求边BC上的中线A。的长.

19.如图，在四棱锥P-ABCO中，PAL平面A8CD,底面ABCD是菱形，/4BC=60。.点

E,尸分别在棱BC,PD上(不包含端点)，且「尸：DF=BE：CE.

(1)证明：EF〃平面PAB.

(2)若尸4=扬8,求二面角B-PC-D的余弦值.

20.已知抛物线C：W=2py(p>0)的焦点为尸，点P为抛物线C上一点，点尸到F的距

离比点P到x轴的距离大L过点P作抛物线C的切线，设其斜率为ko.

(1)求抛物线C的方程；

(2)直线/：y=fcv+〃与抛物线C相交于不同的两点A,B(异于点尸)若直线AP与直

线3尸的斜率互为相反数，证明：k+ko=O.

2_1

21.设函数/(x)=2\I«GR.

ex

(1)若函数/(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围.

(2)证明：当“22时，/(x)+弋+加20.

e

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中在选一题作答.如果多做，则按所做的第一

题计分.［选修4・4；坐标系与参数方程

22.在直角坐标系xOy中，曲线。的参数方程是1(a为参数)，以坐标原点为

ly=sind

极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为pcose-2psin0=3&.

(1)求直线/的直角坐标方程和曲线C的普通方程；

(2)若点尸在曲线C上，求点P到直线/的距离的最大值.

［选修4-5：不等式选讲］

23.设函数/(x)=|x+«l+k-3|.

(1)当。=2时，求不等式/(x)W7的解集;

(2)若/(x)求。的取值范围.

参考答案

一.选择题（每小题5分）.

1.已知集合A={xW-2x-8<0},B={-4,-2,0,2,4},贝ijACB=()

A.{-2,0)B.{-4,-2,0,2}C.{0,2}D.{-2,0,2,4)

解:'：A={^-2<x<4},B=[-4,-2,0,2,4},

...ACB={0,2}.

故选：C.

2.已知复数z=-则z2=()

A.-2-2^B.-2+2«iC.4-2介D.4+2«i

解：由题意可得，z2=(-l+ai)2=l-2gi+(gi)2=-2-2^L

故选：A.

3.设等差数列｛斯｝的前几项和为S〃，且。3+49=恁+5,则S13=)

A.35B.65C.95D.130

解：根据题意，等差数列｛〃〃｝中，〃3+。9=。5+5,

贝!]6+他)-〃5=m+6d=5,即ci7=5,

(a1+aiq)X13

贝|J$3=--------------=13^7=13X5=65,

2

故选：B.

TT

4.函数f（x）二十^cos（3x十图象的对称中心是()

兀LK

A.(ZnrH---,(依Z)B.(/fkn+--,0)(依Z)

99

C.(-^-+—,娓)(keZ)D.(西工,0)(依Z)

39v39

TT

解：函数f(x)=V5cos(3x+-^-)»

jrjr71k兀

令兀，k《Z,解得x=1F,k£Z,

所以/（X）的对称中心为（Xp卷，0）（keZ）.

故选：D.

5.青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题.已知某校有小学生3600人，有初中

生2400人，为了解该校学生的近视情况，用分层抽样的方法从该校的所有学生中随机抽

取120名进行视力检查，则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是（）

A.24B.48C.72D.96

解:由题意得：抽样比为:120_1

3600+2400-50

二小学生应抽取的人数为：36OOX±=72,

50

初中生应抽取的人数为：2400X±=48,

50

二小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是：72-48=24,

故选：A.

6.已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是4m则该圆柱的体积是（）

A.2nB.4ITC.8TTD.12TT

解：设圆柱的高为〃，底面圆的半径为八则力=2%2m7Z=4TT,从而，r=l,〃=2,

故该圆柱的体积为：nr2h=2n.

故选：A.

7.在等比数列｛小｝中，痣，制是方程l（k+9=0的两个根，则恁=（）

A.3B.3或』C.—D.±3

33

解：根据题意，“2,"8是方程/-10x+9=0的两个根，

则a2a8=9,

则有（的）2=9,解可得“5=±3,

故选：D.

8.2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦

娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全

着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定

了坚实基础.若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=W•勿旦计算

m

火箭的最大速度v（m/s）,其中vo（m/s）是喷流相对速度，m（依）是火箭（除推进剂

外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，旦称为“总质比”.若A型火箭的

m

喷流相对速度为1000〃加，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（）（Ige

*0.434,/g2=0.301）

A.4890/77/5B.5790加sC.6219m/sD.6825祖/s

1;g50C31g

解：根据题意，v=voln—=1000XZn500=1000X-=1000X~"-^6219m/s,

mIgeIge

故选：C.

2

9.已知Q,F2是椭圆C：的左、右焦点，点。在椭圆C上，ZF,DF2=120°,

4

点O为坐标原点，则|。。|=()

A.1B.近C.返D.—

222

解：\DF2\^m,由椭圆的定义可得|。人|=4-加，

由余弦定理可得IB尸2F=|QFIF+|£>尸2。-2|。由余弦|COSNBOF2,

X(2)=12,

即〃於+(4-w)2-2m(4-m)即m2-4*4=0,解得m=2,

所以|DQ|=|OF2|=2,即点。与椭圆C的上顶点重合，所以|OD|=L

故选：A.

10.已知函数/(X)=log2(-A2-mx+16)在［-2,2］上单调递减，则m的取值范围是()

A.［4,+8)B.(-6,6)C.(-6,4］D.(4,6)

解：,函数f(x)=log2(-JC2-znr+16)在［-2,2］上单调递减,

・・j(x)在［-2,2］上单调递减，且大于零，故有J2f,

-4-2m+16>0

求得4Wm<6,

故选：D.

22

11.已知双曲线C:t-%=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为人，尸2,过尸1作与其

中一条渐近线平行的直线与C交于点A,若为直角三角形，则双曲线C的离心

率为()

A.V5B.MC.V2D.2

解：设HQ|=m|AB|=",由题意过Fl作与其中一条渐近线平行的直线与C交于点A,

若△4QF2为直角三角形，

故选：4.

w、/

t।)

•-x^+3x+~+l9x<0

12.已知函数/(x)=i3x,若关于x的方程f(x)V(-x)=0有4

21nx+x,x>0

个不同的实数根，则实数。的取值范围为()

9I9

A.(-1,0)B.(--,0)C.(0,—)D.(0,—)

323

解：设g(X)=/(x)V(7)，则g(X)的定义域为｛x^WO｝，且g(-x)=g(x),

即g(X)是偶函数，

故关于X的方程g(X)=0有4个不同的实数根等价于g(x)在(0,+8)上有2个零

点，

当x>0时，g(x)=2/m:+—x2-2x-旦+1,则g(x)=0等价于a=2xlnx+—xi-2x2+x,

3x3

令h(x)=2x//ir4--x3-iv+x,贝ljhf(x)=2bvc-4x+x2+3,令m(x)=2lnx-4x+/+3,

3

WJm'(x)=2-4+2x22^/"^-4=0,

x

：.m(x)在区间(0,+8)上单调递增，又机(1)=0,

：.h(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+8)上单调递增，

9

即〃(%)在x=1处取得极小值/?(1)=-—,当X-0时，h(x)f0,当+8时，h

o

(x)f+8,

：.h（x）的大致图象如下,

o

当-■!<“<（）时・，关于X的方程力（X）=4在区间（0,+8）上有两个不同的实数根,

即关于X的方程/（X）+/（-X）=0有4个不同的实数根.

故选：B.

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.

13.己知向量之=(2,m),芯=(1，-3),若(2之-1)_1_3，则一=-1

解：根据题意，a=(2,m),芯=(1,-3),则2r1=(3,2/n+3),

若(2二1)±b,则(2；-*工=3-3(2〃z+3)=0,

解可得：加=-1,

故答案为：-L

x-y^l

14.设x,y满足约束条件<x+2y-2>0，则z="+y的最大值是8.

3x+y411

解：由约束条件作出可行域如图，

x-y=l

x~v=1

联立Jy，解得A(3,2),

3x+y=ll

由z=2x+y,得y=-2x+z,由图可知，当直线y=-2x+z过A时，

直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2X3+2X1=8.

故选答案为：8.

15.桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年

都会迎来无数游客.甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游

船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩.已知“印象刘三姐”的门

票为195元/位，“象山景区”的门票为35元/位，其他2个景点的门票均为95元/位，

则甲同学所需支付的门票费的期望值为210元.

解：由题意可知，甲同学所需支付的门票的期望为《X(230+290+290+190+130+130,

=210元.

故答案为：210.

16.某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，已知该三棱锥的各顶点都在球O的球面上，过

该三棱锥最短的棱的中点作球。的截面，截面面积最小为.7T.

俯视图

解：由正视图和俯视图在长方体中还原出三棱锥的直观图如图所示，该三棱锥的各顶点

在球0的表面积上，

即球。的半径为R,则（2R）2=22+22+42=24,解得R=捉，

由三棱锥的直观图可得最短棱BC,设BC的中点为E,则22=

O£=1A1B=1^2+4V5>

当截面面积最小时，OE_L截面，设截面圆的半径为r,

则/+。序=/?2,解得，=］,此时截面面积为亿

故答案为：K.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，

每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60

分

17.某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该

公司的服务质量进行打分.已知这200位顾客所打的分数均在［25,100］之间，根据这些

数据得到如下的频数分布表：

顾客所打分数[25,40)[40,55)[55,70)[70,85)[85,100]

男性顾客人数46103050

女性顾客人数610244020

（1）估计这200位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）.

（2）若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所

打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意.根据所给数据，完成下列

2X2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与

性别有关？

满意不满意

男性顾客

女性顾客

附.依=n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2》％)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解：(1)由题意知，计算(10X空16X晅+34X卫殳+70X^^+70X型工)

20022222

=75.55,

所以估计这200位顾客所打分数的平均值约为75.55.

(2)根据题意，填写列联表如下:

满意不满意合计

男性顾客8020100

女性顾客6040100

合计14060200

根据表中数据’计算心=2嗨霁祗。;煞震=等324,

因为9.524>6.635,

所以有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关.

18.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为小b,c,且2%cos4=2c-a.

(1)求角&

(2)若a=4,6=2有，求边8C上的中线4。的长.

解：(1)因为28cosA=2c-〃，

222

所1以2bx也_t_2_N—=2c-a,

2bc

整理得，屏+°2一拄=g

2上2“21

由余弦定理得，cos8=M.*±=±,

2ac2

因为OVBVn,

jr

所以8=勺；

(2)因为。2+d一〃2=ac,

所以16+c2-28=4c,

解得c=6,

△ABO中，AB=6,BD=yBC=2，ZABD=60°,

则ACP=AB2+BD2-2AB«BDcosZABD=36+4-2X6X2Xy=28,

故AO=2j7

19.如图，在四棱锥P-ABC。中，PAL平面4BCD,底面ABC。是菱形，4BC=60°.点

E,F分别在棱8C,PDh（不包含端点），且PF：DF=BE：CE.

（1）证明：EF〃平面PAB.

（2）若R4=&AB,求二面角8-PC-。的余弦值.

解：（1）证明：过点F作，?〃A。，HFHPA=H,连接

：._PF

'HF//AD,••面—市

PRBE.HFBE

,:PF：DF=BE：CE,；»•二i1,

PDBCADBC

,四边形ABC。是菱形，：.BC//AD,KBC=AD,

:.HF//BE,J.HF=BE,

四边形ABC。是菱形,J.BC//AD,且BC=AD,

：.HF//BE,J@.HF=BE,四边形BEFH是平行四边形，...EFaBH,

「BHu平面RW,EFu平面PA8,二七/〃平面PAB.

（2）解：以A为原点，过A作垂直的直线为x轴，AD,下的方向为y，z轴的正方

向，

建立如图所示的空间直角坐标系A-x），z,

设A8=2,则B（遮，-1,0）,C（«,1,0）,。（0,2,0）,P（0,0,2加），

.•.前=（0,2,0）,pc=（退，1,-2M），而=（-«,1,0）,

设平面P8C的法向量;=（x,y,z）,

则［丁色油〜2岳=0,取户2M,得走⑦瓜0,如），

n*BC=2y=0

设平面PCD的法向量7=（小b,c）,

r/m,PCW§a+b-26c=0,zra_「

则，—,>取”=2,得1r=（2,,

m,CD=-V3a+b=0

设二面角B-PC-。为仇由图可知。为钝角，

4/2+0+3V2___7_

..COS0=-|cos<n,ir>l=-IJ=

InI•ImI7nx症―H

20.已知抛物线C：（=2py（p>0）的焦点为凡点?为抛物线C上一点，点P到尸的距

离比点P到x轴的距离大1.过点P作抛物线C的切线，设其斜率为ko.

（1）求抛物线C的方程；

（2）直线/：与抛物线C相交于不同的两点A,8（异于点P）若直线A尸与直

线BP的斜率互为相反数，证明：k+ko=0.

【解答】（1）解：设点P（沏，”），由点P到F的距离比点P到x轴的距离大1,

所以Pb=yo+1,即了0号=了。+1，

所以p=2,即抛物线C的方程为r=4），；

（2）证明：设4（X”%），B（及，”），直线AP的斜率为心P,直线BP的斜率为依”

y「y。丫2~0

则kAP(x!7tx)'62沪X。），

xl-x00

因为直线AP与直线BP的斜率互为相反数，

所以kAp--kep,即-------=--------,

xrxox2-xo

又点A(XI,州)，B(X2,y2)均值抛物线上，

2222

X1XQx2x0

所以4-44-4,化简可得乃+初=-2A”,

-

x-x0x2-x0

2

因为x/=4yi，x2=4y2)

所以X12-x22=4(y[-y2)，

丫「丫2xi+x2

x0

2

因为N=4y,所以yn/x?

故y，9X,故女。亭0,

所以k+fc)=0.

41

21.设函数/(x)=月X了,“6R.

(1)若函数/(x)在R上是增函数，求实数。的取值范围.

(2)证明：当a22时，/(x)+弋+42().

【解答】(1)解：因为/(x)=-生昂J,所以/(x)=发且:咤

ee

2

-ax+2ax+l

因为函数/Cr)在R上是增函数，所以，(x)20恒成立,

即-0^+2^+120恒成立，

当。=0时，120恒成立，符合题意；

_(-a>0

当〃WO时，要使-OX2+2OY+120恒成立，只需，,解得-IWaVO,

4a'+4a<0

综上可得，实数。的取值范围是[-1,0].

(2)证明：当。22时，令g(x)=/(x)+弋+«，

e

,,、-ax2+2ax+l_l-x(ax+1)(x-2)

g8=------x-----+x=-x,

eee

令g'(X)=0,可得Xl=-上，X2=2,

a

因为。22,所