2021 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学（北京卷）参考答案第页（共7页）2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）D （3）A （4）A （5）B（6）C （7）D （8）B （9）C （10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）-4 （12）5 （13）0 3 （14）（答案不唯一）（15）①②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理及，得.因为，所以.又因为，所以.（Ⅱ）选条件②：△ABC的周长为．由（Ⅰ）知，.所以△ABC是顶角为，底角为的等腰三角形．所以．由题设，(2+)a=4+2．所以a=2．设BC边上中线的长为d．由余弦定理得.所以.故．选条件③：△ABC的面积为由（Ⅰ）知，.所以△ABC是顶角为，底角为的等腰三角形．所以a=b．由题设，.所以．设BC边上中线的长为d．由余弦定理得所以.故.（17）（共14分）解：（Ⅰ）在正方体中，因为CD//，且平面，所以CD//平面．因为平面平面，所以CD//EF．所以//EF．因为E为的中点，所以F为的中点．（Ⅱ）不妨设正方体的棱长为2．如图建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，C(0,2,0)，F(1,2,2)．所以(0,2,0)，=(1,0,2).设平面CDE的法向量为m=(x1,y1,z1)，则 即.令，则，.于是m=(-2,0,1)．由题设，存在，使得所以．所以.设平面MFC的法向量为，则 即令，则.于是.由题设，，所以.所以.（18）（共13分）解：（Ⅰ）（ⅰ）依题意，如果感染新冠病毒的2人在同一组，则该组需要检测11次，其他9个组都只需要检测1次，所以检测总次数为20．（ⅱ）由（ⅰ）知，当感染新冠病毒的2人分在同一组时，检测的总次数是20．当感染新冠病毒的2人分在不同组时，可以求得检测的总次数是30．所以随机变量X的可能取值为20,30．因为感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为所以感染新冠病毒的2人分在不同组的概率为．所以随机变量X的分布列为：X2030P故随机变量X的数学期望.（Ⅱ）．（19）（共15分）解：（Ⅰ）当a=0时，.所以=1，．所以曲线在点(1,f(1))处的切线方程为，即．（Ⅱ）由得.由题意知，所以.故.当时，，.与的情况如下：x(-,-1)-1(-1,4)4(4,+)+0-0+↗1↘↗因此，的单调递增区间是(-,-1)和(4,+)，单调递减区间是(-1,4)．所以在区间(-,4]上的最大值是．又因为当(4,+)时，<0，所以是的最大值．同理可知，是的最小值.（20）（共15分）解：（I）.所以.所以椭圆E的方程为.（Ⅱ）直线BC的方程为．由得.由，得.设，，则.直线AB的方程为.令，得点M的横坐标为.同理可得点N的横坐标为.由题设，，所以.所以同号.所以.由题设，5|k|≤15．所以1<|k|≤3．所以k的取值范围是．（21）（本小题15分）解：（I）数列不可能为数列.理由如下：因为，所以，.因为.所以数列不满足性质③.（Ⅱ）根据数列的定义，可知满足：；；或.或，以及，可知.所以.由或或，以及，可知.由或，以及，可知.（III）假设数列是满足“恒成立”的数列.因为或，且，所以.由，可知.从而或.又因为，所以.因为，且，所以.又因为，所以.因为，且，所以.因为，所以.由可知，所以.由及，可知.由可知，所以.综上可知，若数列是满足“恒成立”的数列，则.当时，考虑数列；.下面验证数列满足性质①②③．由可知.因为，所