2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛 一试仿真模拟卷1详细解析

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛一试仿真模拟卷1详细解析1．．解：令，原方程化为，求出．方程无实根等价于，或，则N的面积为．2．．解：令，则，从而，所以．3．．解：当时，，即时，；时，；时，．画出时的图象，再利用奇函数的对称性，画出时的图象，如图所示；则直线，与的图象有5个交点，则方程共有五个实根，最左边两根之和为，最右边两根之和为6．因为时，，所以．又，所以．故中间的一个根满足，即，解得．所以所有根的和为．4．．解：设，，，则，故，则，O到直线AB的距离故．5．．解：由题意得，，．因为，所以，阿波罗尼斯圆知P到直线CD的最远距离为圆的半径．设，，，则由，得．因此三棱锥P-ABC体积的最大值为．6．．解：设表示染白色的好的染法，表示不染白色的好的染法，则为好的染法的总数．由的定义可知：，，所以．注意到，代入上式得．易知：，，特征根法即得．7．由，有，即．因为、为锐角，且，所以，．所以，．由．令，设，则有，即．这说明在上单调递增．故．8．．解：由，把这些数表示成如下数表的形式：将此表按主对角线对称地补成一个n×n的数表：数表中第一行的和为．第二行的和为……第n行的和为．设所求的和为S，则故．9．（1）将函数化为．由算术–几何平均不等式，于是有．所以．如果，那么，从而有，．所以，当时，的最大值是，的最小值是1．如果，那么，从而有，．所以，当时，的最大值是1，最小值是．综上所述，的最大值与最小值的乘积的值．（2）若存在实数k，能使对每三个实数a、b、c，都存在一个三角形具有边长、和，当且仅当中的实数k能满足．如果，那么上式等价于，即；如果，那么上式等价于，即；故所求的所有实数k为．10．设方程的3个正根为．再设方程有3个根为．由韦达定理得 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥由②③知，，因此方程的系数恰好正负相间．这说明方程不可能有负数根和零根．由于方程是三次方程，故它必有一实根，此根只可能是正根．为证方程还有一对共轭虚根，只需证明它不可能有3个正根，以下应用反证法．假设，，．由④⑥知．所以 ． ⑦由⑤知．同理可得，所以，从而，即，与⑦矛盾．故命题得证．11．（1）直线AB、AC、BC的方程依次为，，．点到AB、AC、BC的距离依次为，，．依题设，，得，即，或．化简得点P的轨迹方程为圆与双曲线．（2）由（1）知，点P的轨迹包含两部分：圆S： ①与双曲线T： ②因为和是符合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点．△ABC的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上．直线l经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，l的斜率存在，设l的方程为 ．③（i）当时，与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明l与双曲线T有不同于D的两个公共点，所以l恰好与点P的轨迹有3个公共点．（ii）当时，l与圆S有两个不同的交点．这时，l与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：情况1：直线l经过点B或点C，此时1的斜率，线l的方程为．代入方程②得，解得或．表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F．故当时，l恰好与点P的轨迹有3个公共点．情况2：直线l不经过点B和点C（即），因为与S有两个不同的交点，所以l与双曲线T有且只有一个公共点．即方程组