高中数学第8章成对数据的统计分析8.2一元线性回归模型及其应用课件新人教版选修3

8.2一元线性回归模型及其应用课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练素养•目标定位目标素养1.结合具体实例,了解一元线性回归模型的含义,了解模型参数的统计意义,了解最小二乘法的原理,掌握一元线性回归模型参数的最小二乘法估计方法,会使用相关的统计软件.2.针对实际问题,会用一元线性回归模型进行预测.3.通过学习,提升数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养.知识概览课前·基础认知1.一元线性回归模型一元线性回归模型的完整表达式为

其中Y称为

因变量

或

响应变量

,x称为自变量或

解释变量

;a,b为模型的未知参数,e是Y与bx+a之间的

随机误差

.2.一元线性回归模型参数的最小二乘估计

(2)对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到的

称为预测值,观测值减去预测值称为残差

.

(4)经验回归方程的性质:微训练(1)若y与x之间的一组数据为则y关于x的经验回归直线一定经过的点是

.

答案:(2,4)所以y关于x的经验回归直线一定经过的点是(2,4).(2)若一组观测值(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)之间满足yi=bxi+a+ei(i=1,2,…,n),且ei恒为0,则R2为

.

答案:1课堂·重难突破一

线性回归分析典例剖析1.某种产品的广告费用支出x(单位:百万元)与销售额y(单位:百万元)之间有如下的对应数据:(1)画出散点图;(2)求经验回归方程;(3)试预测广告费用支出为10百万元时的销售额.解:(1)散点图如图所示:(2)列出下表:(3)根据(2)中求得的经验回归方程,当广告费用支出为10百万元时,=6.5×10+17.5=82.5(百万元),即广告费用支出为10百万元时,销售额大约为82.5百万元.规律总结1.求经验回归方程前必须判断两个变量是否线性相关,如果两个变量本身不具备相关关系,或者它们之间的相关关系不显著,那么即使求出经验回归方程也是毫无意义的.学以致用1.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(单位:吨)与相应的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对照数据:(1)请画出散点图;(2)请根据表中的数据,用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程;(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的经验回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤?(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)解:(1)由题设所给数据,可得散点图如图所示.(3)由(2)的经验回归方程及技术改造前生产100吨甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗为90-(0.7×100+0.35)=19.65(吨标准煤).二

残差分析典例剖析2.已知某种商品的价格x(单位:元)与需求量y(单位:件)之间的关系有如下一组数据:求y关于x的经验回归方程,并说明模型拟合效果的好坏.规律总结刻画拟合效果的三个方法(1)残差图法:残差点比较均匀地落在水平带状区域内说明选用的模型比较合适.学以致用2.为了研究黏虫孵化的平均温度x(单位:℃)与孵化天数y之间的关系,某课外兴趣小组通过试验得到如下6组数据:组号123456平均温度15.316.817.41819.521孵化天数16.714.813.913.58.46.2他们分别用两种模型①y=bx+a,②y=cedx进行拟合,得到相应的经验回归方程并进行残差分析,得到残差图如图所示:(1)根据残差图,比较模型①,②的拟合效果,应选择哪个模型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)残差绝对值大于1的数据被认为是异常数据,需要剔除,剔除后应用最小二乘法并根据(1)的判断结果及表中数据建立y关于x的经验回归方程.(系数精确到0.1)解:(1)根据题意知,应该选择模型①.(2)剔除异常数据,即组号为4的数据,三

非线性回归分析典例剖析3.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)的数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的经验回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的经验回归方程.(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:①当年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预测值是多少?②当年宣传费x为何值时,年利润的预测值最大?解:(1)由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的经验回归方程类型.(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y的预测值

故年宣传费为46.24(单位:千元)时,年利润的预测值最大.规律总结求非线性经验回归方程的步骤(1)确定变量,作出散点图.(2)根据散点图,选择恰当的拟合函数.(3)变量置换,通过变量置换把非线性经验回归问题转化为经验回归问题,并求出经验回归方程.(4)分析拟合效果,通过计算R2或画残差图来判断拟合效果.(5)根据相应的变换,写出非线性经验回归方程.学以致用3.若一函数模型为y=ax2+bx+c(a≠0),将y转化为关于t的线性经验回归方程,需作变换t=(

)答案:C随堂训练1.相关变量x,y的样本数据如表所示.x12345y2021m2627经回归分析可得y与x呈线性相关,并由最小二乘法求得相应的经验回归方程为

=1.9x+17.9,则表中的m=(

)

A.23.6 B.23 C.24.6 D.24答案:D2.甲、乙、丙、丁四名学生在建立变量x,y的回归模型时,分别选择了4种不同模型,计算可得它们的决定系数R2分别如下表:学生甲乙丙丁R20.980.780.500.85则建立回归模型拟合效果最好的同学是(

)A.甲

B.乙

C.丙

D.丁答案:A解析:决定系数R2越大,表示回归模型的拟合效果越好.元,那么年支出预计不会超过(

)A.10亿元

B.9亿元

C.10.5亿元 D.9.5亿元答案:C4.已知某产品的销售额y(单位:万元)与广告费用x(单位:万元)之间的关系如表:x01234y1015203035若求得其经验回归方程为,则预计当广告费用为6万元时的销售额为(

)A.42万元

B.45万元

C.48万元

D.51万元答案:C5.某工厂为了对新研发的一种产品