最优化模型与算法-基于Python实现 教案 ch03 凸优化模型

第三章凸优化模型1．考虑优化问题 (3.7.1)描述其可行集。对下面的每个目标函数，计算最优解集和最优值。(a)(b)(c)可行集：1.直线

4x1+x2=22.直线

x1+3x2=13.点(0,0)请注意，由于第三个约束等式与第二个约束等式相同，它们在平面上重合。绘制出这些直线和点后，可行集将位于这些曲线和点之间。具体来说，可行集将位于由这些曲线和点围成的区域内部。（a）最优解集是（511，2最优值是12（b）最优解集是（511，2最优值是2（c）最优解集是（511，2最优值是1042．调用Python包cvxopt求解二次规划 (3.7.2)的最优解，其中 进一步证明近似满足最优性条件。略。3．处理凸等式约束。凸优化问题只能含有线性等式约束。但是，在一些特殊的情况下，有可能处理凸等式约束函数，即具有形式的约束，其中是凸函数。我们将在这个问题中研究这一思想。考虑优化问题 (3.7.3)其中和是定义域为的凸函数。除非是仿射的，这不是一个凸优化问题。考虑相关的问题 (3.7.4)其中，凸等式约束已经被放松为凸不等式。当然，这个问题是凸的。假设我们可以保证凸问题(3.7.4)的任意最优解都有，即不等式在解处总是起作用的。那么，我们可以通过求解凸问题(3.7.4)来求解(非凸)问题(3.7.3)。说明下标满足l

关于单调递增l

关于非减l

关于单调递减时就会发生这种情况。略。4．考虑Lasso模型 (3.7.5)其中，，，，将其转化为等价的线性规划问题，设置，的数值并编程求解等价的线性规划问题得到Lasso模型的解。要编程求解这个等价的线性规划问题，你可以使用线性规划库，如Python中的scipy.optimize.linprog或MATLAB中的linprog函数。根据具体的编程语言和库的要求，你需要将问题转化为相应的输入格式，并调用相应的函数来求解。5．设有若干二分类问题的观测样本，考虑线性支持向量机模型： (3.7.6)其中，为参数，为样本点的经验损失，对应于Hinge损失函数，函数为判别函数。(1)下载通用的二分类数据集，并对样本特征进行标准化处理；(2)将线性支持向量机模型化为凸二次规划模型，并调用通用的二次规划软件包求解；(3)使用模型训练得到的判别函数对样本点进行分类，计算分类准确率。、略。6．考虑下面的QCQP问题 (3.7.7)其中，证明最优解，是非线性等式的最大解。略。7．将下面的管道流量问题建模为几何规划：温度为(高于环境温度)的加热液体在固定长度且圆形截面半径为的管道中流动。管道周围有一层厚度为的保温层，以减少通过管壁的热量损失，。本问题的设计变量为。热量损失(近似)与成比例，因此在固定的寿命内，损失的能量成本为。管壁厚度一定，其成本与总材料近似成正比，为。绝缘材料的成本也近似与总绝缘材料成比例，即()。总成本是这三种成本之和。沿管道向下的热流完全是由于液体的流动，流动速度一定，即。常数都是正数，变量也是正数。现在的问题是：受总成本上限和约束条件的限制，最大限度地提高管道的总流量。 (3.7.8)将问题建模为几何规划的一般步骤如下：(1)确定目标函数(2)确定约束条件(3)确定变量类型及取值范围根据问题描述，我们可以得到以下信息：目标：最大化管道的总流量约束：a.总成本不能超过一个上限。b.管道外层半径不能超过一个给定值。c.液体在管道中的速度不超过一个给定值。d.管道剩余空间应保证绝缘材料和管道壁厚度的要求。(3)变量类型及取值范围：a.管道内径，为常数。b.管道壁厚度，为常数。c.管道外层半径，为变量，取值范围为[管道内径,给定最大值]。d.绝缘材料厚度，为变量，取值范围为[0，管道外层半径-管道内径]。e.流体速度，为常数。设管道外层半径为，绝缘材料厚度为。那么，管道总长度为，管道壁与绝缘层之外半径为。绝缘材料和管道壁厚度需满足以下条件：绝缘材料厚度不得小于0绝缘材料和管道壁厚度之和不能超过管道外层半径与管道内径之差将目标函数、约束条件及变量类型总结如下：(1)目标函数：最大化管道总流量(2)约束：总成本不能超过一个上限。管道外层半径不能超过一个给定值。液体在管道中的速度不超过一个给定值。管道剩余空间应保证绝缘材料和管道壁厚度的要求。(3)变量类型及