八年级数学几何重难点知识及数学方法：专题10 等边三角形重难点知识（解析版）

专题10等边三角形重难点知识典例解析【知识点1：与动点及直角三角形30°角相关】例题1．（2021·浙江诸暨期中）已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（）A．15°或75° B．15° C．75° D．15°或30°【答案】A.【解析】解：（1）当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，BD=AB，可知顶角为30°，此时底角为75°；（2）当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图，可知顶角的邻补角为30°，此时顶角是150°，底角为15°．故答案为：A．例题2．（2021·吉林临江期末）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝______【答案】4.【解析】解：过点P作PH⊥MN于H，∵PM=PN，∴MH=NH=MN=1，∵∠AOB=60°，∴∠OPH=30°，∴OH=OP=5，∴OM=OH-MH=4，故答案为：4．例题3．（2021·辽宁兴城期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别为三角形内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6cm，ED＝2cm，求BC的长．【答案】8cm.【解析】解：如图，延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵BE=6，DE=2∴BM=6，DM=4∵AN⊥BC，∠DNM=90°∴∠NDM=30°∴MN=2BN=4，CB=2BN=8cm.例题4．（2021·山东临邑县期中）如图，在等边中，E、F分别为CB、AB边上的点，且，连接AE，CF，两条线段交于点N，做，交CF于点M，若，，那么______________．【答案】7.【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACE=∠B=60°，AC=BC，∴△ACE≌△CBF∴∠CAE=∠BCF∵∠ACN+∠BCF=60°∴∠ACN+∠CAE=60°∴∠ANM=∠ACE=60°∵AM⊥CF∴∠MAN=30°∴AN=2MN=6，∴AE=AN+NE=7故答案为：7．例题5．（2021·福建省罗源期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝30cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，当P点移动____________秒时，PA与△ABC的腰垂直．【答案】5或10.【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B=∠C=30°．①如图，当PA⊥AC时，∵∠C=30°．∴PC=2AP，∠APC=60°，∴∠B=∠BAP=30°，∴AP=BP，∴PC=2BP，∴BP=BC=×30=10cm，即P点移动了10÷2=5（秒）；②如图，当PA⊥AB时，∵∠B=30°．∴PB=2BP，∠APB=60°，∴∠C=∠CAP=30°，∴AP=CP，∴BP=2CP，∴BP=BC=×30=20cm，即P点移动了20÷2=10（秒）．例题6．（2021·吉林宽城期末）如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，点P从点A出发，沿折线A－B－C－A以每秒2个单位长度的速度向终点A运动．点Q从点B出发，沿折线B－C－A以每秒1个单位长度的速度运动．P、Q两点同时出发，点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．（1）当P、Q两点重合时，求t的值．（2）当△BPQ是以PQ为底边的等腰三角形时，求t的值．（3）当△BPQ是直角三角形时，直接写出t的值．

【答案】（1）4；（2）或；（3），5，1，6.【解析】解：（1）由题意得：追上的时间为t=4÷（2-1）=4s；（2）如图，当点P在边AB上，点Q在边BC上时，BP＝BQ，即4-2t=t，∴t=，如图，当点P、Q都在边AC上时，AP＝CQ，即12-2t=t-4，∴t=，综上所述，t的值为或；（3）①如图，当∠BPQ=90°时，点P在边AB上，点Q在边BC上时，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∠PQB=30°∴BQ=2BP∴2（4-2t）=t解得：t=，②如图，当∠BPQ=90°时，点P、Q都在边AC上时，同理，t=5③如图，当∠BQP=90°时，点P在边AB上，点Q在边BC上时，同理，4-2t=2t，解得：t=1，④如图，当∠BQP=90°时，点P、Q都在边AC上时，得：t=6综上所述，满足题意的t的值为，5，1，6．例题7．（2021·福建顺昌期中）如图，将一块含有30°的直角三角板放置在平面直角坐标系中，∠OAB=60°，已知点A的坐标为（3，0）．点P、Q分别是x轴和线段AB上的动点，它们同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度从点A向x轴的负方向运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B向点A运动，设运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示AP=；AQ=．（2）当t为何值时，△APQ是等边三角形；（3）若△APQ是直角三角形，求点P的坐标．【答案】（1）2t，6-t；（2）2；（3）P的坐标为（﹣3，0）或（，0）.【解析】解：（1）∵A(3，0)∴OA＝3，∵∠OAB＝60°，OA⊥OB，∴∠OBA＝30°，∴AB＝2OA＝6，由题意得：AP＝2t，BQ＝t，AQ＝AB－BQ＝6－t，故答案为：2t；6-t．（2）由（1）可知，AP＝2t，AQ＝6－t，若△APQ是等边三角形，则AP＝AQ，∴2t＝6-t即t＝2∴当t＝2时，△APQ是等边三角形；（3）若△APQ是直角三角形①当PQ⊥AB时，∠QPA=30°，如图AP＝2AQ，即2t=2(6-t)解得：t＝3，此时AP＝6＞3，点P在x轴的负半轴，∴OP＝AP－OA＝6－3＝3，∴P（﹣3，0），②当PQ⊥OA时，∠PQA＝30°，如图AQ＝2AP，即6-t＝2∙2t解得：t=，AP＝，点P在x的正半轴，OP＝OA－AP＝，此时P（，0），综上所述：当△APQ是直角三角形时，P的坐标为（﹣3，0）或（，0）．例题8．（2021·广西河池市宜州区期中）如图，在等边△ABC中，AB=6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，M、N两点重合；（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．当t为何值时，△AMN是直角三角形.【答案】（1）6秒；（2）或；（3）8秒.【解析】解：（1）设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，T+6=2t，解得：t=6.（2）当点N在AB上运动时，若∠AMN=90°，则2t=6-2t，解得：t=1.5若∠ANM=90°，2（6-2t）=t，解得：t=.【知识点2：与等边三角形性质、判定有关】例题9.（2021·浙江柯桥）如图，过边长为10的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为____．【答案】5.【解析】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，

∴AE=EF，

∵AP=PF，AP=CQ，

∴PF=CQ．

在△PFD和△QCD中，，

∴△PFD≌△QCD，∴FD=CD，∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE=AC，∵AC=10，∴DE=5．故答案为：5．例题10．（2021·内蒙古期中）如图，O为△ABC的外心，△OCP是等边三角形，OP与AC相交于点D，连接OA．若∠BAC=70°，AB=AC，则∠ADP的度数为_________．【答案】85°.【解析】解：∵O为△ABC的外心，∠BAC=70°，AB=AC，∴∠OAC=35°，AO=CO，∴∠OAC=∠OCA=35°，∴∠AOC=110°，∵△OCP为正三角形，∴∠COP=60°，∴∠AOP=∠AOC-∠COP=50°，∴∠ADP=∠OAD+∠AOD=85°．故答案为：85°．例题11．（2022·吉林桦甸期末）如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），作∠EDF＝60°，使角的两边分别交边AB，AC于点E，F，且BD＝CF．（1）如图1，若DE⊥BC，则∠DFC＝度；（2）如图2，D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），求证：BE＝CD；（3）如图3，若D是边BC的中点，且AB＝2，则四边形AEDF的周长为．【答案】（1）90；（2）见解析；（3）4.【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵DE⊥BC，即∠BDE=90°，∠EDF=60°，∴∠BED=∠CDF=30°，∴∠DFC=90°，故答案为：90；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，且∠EDF=60°，∴∠CDF=∠BED，在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CFD（AAS），∴BE=CD；（3）∵△ABC是等边三角形，AB=2，∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=2，∵D为BC中点，且BD=CF，∴BD=CD=CF=AF=1，由（2）知△BDE≌△CFD，∴BE=CD=1，DE=DF，∵∠B=60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE=DF=1，则四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF=4，故答案为：4．【知识点3：与旋转相关】例题12．（2021·湖南邵阳市）已知，在等边∆ABC中，点D是线段AB上一点，点E是射线CD上一点，且∠ACE＝2∠ABE．图（1）图（2）（1）如图（1）所示，求证：BC＝CE；（2）如图（2）所示，延长CE到点P，连接线段AP，BP，若AP＝AB，求∠BPC的度数.【答案】（1）见解析；（2）30°【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠ABE＝∠CBE－∠ABC＝∠CBE－60°，∵∠ACE＝2∠ABE，∴∠ACE＝2∠CBE－120°，∵∠EDB＝∠ADC，∠EDB＋∠E＋∠EBD＝∠ADC＋∠A＋∠ACD＝180°，∴∠E＋∠EBD＝∠A＋∠ACD，∴∠E＋∠CBE－60°＝60°＋2∠CBE－120°，∴∠E＝∠CBE，∴CB＝CE；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB，∵AP＝AB，∴AP＝AC，∠APB＝∠ABP，∴∠APC＝∠ACP，设∠APC=∠ACP=2∠ABE=2x则∠BAP=120°－4x∠APB=∠ABP=30+2x∴∠BPC=∠APB－∠APC=30°.例题13．（2021·黑龙江期末）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠AEB的度数；（3）探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM⊥DE于点M，连接BE①∠AEB的度数为②判断线段DM、AE、BE之间的数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）图1图2【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）①90°；②AE=BE+2DM.【解析】解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE.在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；（2）∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED=60°，∴∠ADC＝∠BEC＝120°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°（3）①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=90°-∠DCB=∠BCE.在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC，∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED=45°，∴∠ADC＝∠BEC＝135°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°故答案为：90°②∵△DCE为等腰直角三角形，CM⊥DE∴DE=2DM∵△ACD≌△BCE∴AD=BE∴AE=AD+DE=BE+2DM即AE=BE+2DM【知识点4：综合题型】例题14．（2021·湖南郴州市）如图，等边△ABC的边长为10cm，点D在边AB上，且AD=4cm，点P在线段BC上，以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上，由点C向点A运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．【答案】见解析．【解析】解：由题意得：AD=4cm，BD=6cm，BP=2t，CP=10-2t，∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°，当BP=CQ，BD=CP时，△BPD≌△CQP（SAS），即CQ=2t，10-2t=6，解得t=2，∴CQ=4，∴点Q运动的速度为2（cm/s）；当BP=CP，BD=CQ时，△BPD≌△CPQ（SAS），即2t=10-2t，CQ=BD=6，解得t=2.5，∴点Q运动的速度为6÷2.5=2.4（cm/s）；综上所述，当t=2s，点Q运动的速度为2cm/s；当t=2.5s，点Q运动的速度为2.4cm/s时，△BPD与△CQP全等．例题15．（2021·山东汶上期中）重新定义：1．如图1和图2中，点P平面内一点，如果或，称点P是线段AB的强弱点．2．我们都知道，在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．那么反过来，如果在一个直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角也为30°．启发应用：请利用以上材料完成以下问题：（1）如图2，在Rt△APB中，∠APB＝90°，∠A＝30°，判断点B是否是线段AP的强弱点？并说明理由；（2）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，B是线段AC的强弱点（BA＞BC），BD是Rt△ABC的角平分线，求证：点D是线段AC上的强弱点．【答案】见解析.【解析】（1）解：点B是线段AP的强弱点，理由是：如图1中，在Rt△PAB中，∠APB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2PB，∴，∴点B是线段AP的强弱点；（2）证明：如图2中，∵B是线段AC的强弱点（BA＞BC），∴AB＝2BC，∴Rt△ACB中，∠A＝30°，∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°＝∠A，∴AD＝BD，Rt△BCD中，BD＝2CD，∴＝2，∴点D是线段AC上的强弱点．例题16．（2021·江苏仪征期中）定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“和谐分割线”．（1）下列三角形中，不存在“和谐分割线”的是（只填写序号）．①等边三角形；②顶角为150°的等腰三角形；③等腰直角三角形．（2）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，直接写出△ABC被“和谐分割线”分得到的等腰三角形顶角的度数；（3）如图2，△ABC中，∠A＝30°，CD为AB边上的高，BD＝4，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM⊥l于M，DN⊥l于N．若射线CD为△ABC的“和谐分割线”．求CM+DN的最大值．【答案】（1）①；（2）20°，40°，60°，80°或100°；（3）8.【解析】解：（1）根据“友好分割线”的定义可知，如图，等腰直角三角形，顶角为150°的等腰三角形存在“友好分割线”．等边三角形不存在“友好分割线”．故答案为：①；（2）如图，当EC＝EA时，∠AEC＝60°，当FC＝FB时，∠BFC＝100°，当BC＝BG时，∠B＝40°．如图，当AC＝AR时，∠CAR＝20°，当CA＝CW时，∠C＝80°，如图，当BC＝BQ时，∠CBQ＝20°，综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：20°，40°，60°，80°或100°；（3）解：如图2中，作AG⊥l于点G．∵CD为AB边上的高，∴∠CDB＝∠CDA＝90°．∴∠ACD＝90°﹣∠A＝60°．∴△CDA不是等腰三角形．∵CD为△ABC的“友好分割线”，∴△CDB和△CDA中至少有一个是等腰三角形．∴△CDB是等腰三角形，且CD＝BD＝4．∵∠BAC＝30°，∴AC＝2CD＝8．∵DN⊥l于N，∴∠DNE＝∠AGE＝90°．∵E为AD的中点，∴DE＝AE．在△DNE和△AGE中，∴△DNE≌△AGE（ASA），∴DN＝AG．在Rt△AGF和Rt△CMF中，∠CMF＝∠AGF＝90°，∴CM≤CF，AG≤AF，∴CM+AG≤CF+AF，即CM+AG≤AC，∴CM+DN≤8，∴CM+DN的最大值为8．例题17．（2021