关于pc集合的两种投影形态

关于pc集合的两种投影形态

反射等集的逆线集。[例10]例10表明PC集合4——Z15的两种形态,分别用A、B标记,集合B是集合A的一种倒影形式,以同音bE为轴。集合A音程的线性进行,完全按同样的关系倒影干集合B中,这种倒影方式,具有着传统的形态感觉。由于一个集合可以从另一集合的倒影关系中派生出来,因而二者相等。下而的例子同样展示了倒影相等的集合关系:[例11]例11中集合A、B并不象例10那样能在一个轴音上形成倒影,但二者的倒影关系却可以从音级整数的固定对应中产生。这种对应的原则必须以下列表格中的相互关系为依据,即使两个整数之和等于12(12=0mod12):表中的每一对数字都具有倒影关系,这种同定对应关系正是产生倒影相等集合的基础。更确切地说,0的倒影是其自身,11的倒影是1,2的倒影是10,以此类推。因此,例11中集合A、B的整数对应关系,恰好反映在下面的表格里:进一步而言,可将集合B视为集合A倒影的移位,t=0。然而,例11中集合G也是集合A倒影的另一种移位,t=1。只要将集合A、B与C排列起来进行比较,就不难看出这种关系:例表说明,只要在集合B的每一pc整数上加1便构成集合C。因为:集合B是集合A倒影的移位,t=0,而集合C与集合A同样构成倒影关系,且集合C是集合B的移位,t=1,所以,集合C是集合A倒影的移位,t=1。本文采用的倒影计算方法,应首先考虑pc的固定对应,以体现t=0的倒影移位关系,而后,再根据移位原则(如必须的话)进一步推算出集合的倒影移位关系。对例11,还有一个问题需说明:集合B是集合A的一个有序倒影(原理同有序移位),集合A的纵向音程关系,从下往上依次为ic3,ic2,ic6,在集合B中,所体现出来的音程关系完全一致,但进行的方向发生了变化(即从上往下)。基本型PrimeForm本文所给定的集合,正如以上举例那样,总是体现于一个标准序中,但集合的名称则往往依赖于一个更为基本的形态,而每个pc集合必然与之相对应。这种基本形态就是集合的基本型。集合基本型与标准序的区别在于:标准序仅仅是按递增音程关系排列起来的集合样式,而基本型,则需要在以上样式的基础上进一步简化,将集合中第一位整数始终置于0。总言之,集合基本型也就是220个集合在集合总表中正确的排列形式,因此,只有将一个集合简化为基本型,才能从集合总表中找到该集合的名称及位置。(集合总表见本文附录)简化方法如下:通过移位形成首位pc整数为0的排列形式;或者,先进行倒影(如必要的话),然后再移位仍使首位整数等于0。下面将例11中集合4——Z15的A、B两种形式简化为集合基本型,以说明上述方法。如果在集合的简化中,某一整数小于第一位整数,则仅仅需要加上该数的相反数(即倒影的固定对应关Z系mod12)即可完成简化。如:将集合[8、9、0、2]简化,结果为[0、1、4、6](集合4——Z15)。显然,A中0和2两个pc整数均小于第一位pc整数8,因此,在这两项pc整数上仅需要加4(8的相反数,mod12),即可得到B。包含关系(子集与母集)TheInclusionRelation(SubsetsandSupersets)集合的包含关系,可通过4——Z15的用法来证明:按集合论原理*,我们知道4——Z15包含了四个不同元素,或者说由四个不同的元素组成,即四个pc整数。换言之就是:集合4——Z15中包含着四个一元素子集。**在下面的例子里分别为pc6、pc2、pc8和pc3:[例12]从例12中,我们还可以知道集合4——Z15包含六个二元素子集,即构成该集合全部音程的每一对PC关系,例中依次为:、、、、和。同时集合4——Z15还包含四个三元素子集(trichords),其类型是:3—3、3—5、3—7、3—8。虽然,任何四元素集合都能产生四个三元素子集,但这些子集并非都以不同的面貌出现,也就是说,在同一结构的集合中,可能会重复出现完全一样的子集类型。[例13]例13的4—8集合,只能产生两种不同的三元素子集,3—4、3—5,另外两个子集则是它们的变形。读者可以自己从相同类型子集的倒影排列中,找出这种关系。当然,集合4一z15本身也可能是基数大于4的集合中的一个子集。如在集合5—32中就包含着子集4—z15在这里我们称集合5——32是含子集4——z15。的一个母集。[例14]以上我们讨论了有关pc集合中两个主要的变形原则,即移位和倒影。某些集合在变形之中,虽然要改变其中的一些pc,但另一些pc却仍然保持不动,这一现象就叫做集合的不变性。下面的例子说明,集合7—31的某些变形中,一些音级多次重叠,固定不变:[例15]例中两个集合均为7—31,B是A的一种移位形式,t=6,在两个集合(A、B)中有六个固定不变的音级,即8、9、11、2、3、5,以构成六元素子集(hexachord)6—30。通常,当集合7—31移位且t=6,集合6—30就是它的一个固定不变的子集。同样,当集合7—31移位且t=3,也有一个固定不变的六元素子集,但序号为6—27。值得注意的是,当集合7—31移位且t=9,不变子集仍然是6—27,当然,在具体的pc关系上(排列顺序)发生了一定的变化。这就能够说明,当一个集合进行移位,t值为倒影关系时,必然会产生相同的不变子集。一个pc集合的倒影形式,同样可以产生一个不变子集。例中表明,集合A有六个pc在集合B中仍然相同,这个不变子集是:6—Z23集合B是集合A倒影的移位,t=10。二者的倒影关系如下:对于集合不变性的研究和分析是很有意义的,就集合7—31而言,在移位条件下,最多能产生6个不变pc,即六元素子集,亦称为最大不变极值(maximuminvariance);而最少则能产生3个不变pc,即三元素子集,亦称最小不变极值(minimuminvariance)。在倒影条件下,集合7—31所能产生的最多不变pc仍有6个,并置于移位关系中;而所能产生的最少不变pc仅有2个,并且,t=0。因此,对集合的不同变形方式的选择,必然为其不变性关系的生成,带来不同的结果。[例17]互补关系TheComplementRelation例中集合A、B,分别标为7—32和5—32。集合B恰好由集合A中没有出现的五个音构成,这种关系称为集合的补。在所有的pc集合中,如果两个集合的序数相同且基数为倒影关系,二者必然构成互补关系。因此,例17的两个集合,正好符合这一原则,同样,4—Z15和8—Z15两个集合也具备这一性质。(六元素集合不包括在上述原则之中,详细情况将另作介绍)例17表明了理论上的互补关系,然而,对两个互为异补的pc集合,还可作变形(移位或倒影)处理,两个集合间内在的本质联系,并不会因此而损失。在这一情况下,两个pc集合就有可能构成重迭的形态,使基数小的集合完全包容于基数大的集合中。这一现象可称为相嵌补集(theembeddedcomplement)[例18]例18表明,集合5—32的pc,同时也是集合7—32的一个pc。六元素的非Z关系集合,为自身的补。如,集合6—27的补集同样也是集合6—27,不过这种互补关系只能从移位或倒影的变形中体现出来。[例19]六元素的Z关系集合,具有一种独特而有趣的现象,六元素的每对Z关系集合,音程向量完全相等,但却不能通过任何变形方式建立二者pc之间的联系,这样,便为互补关系的产生提供了必要的条件。事实亦如此,每对六元素的Z关系集合,互为补集。有关六元素Z关系集合与非Z关系集合之间,所存在的互补关系上的差异,还可通过集合总表的排列样式显示出来,如在集合表就无法找出集合6—27的补集(因其自身为补),而集合6—Z13的补集则完全能够找到,即与集合6—Z13相对应的Z关系集合6—Z14。当然,这种互补关系,仍体现于变形中。[例20]当然,在集合总表的排列样式上,同样也反映出了其它基数集合的互补关系。集合总表中,将互为异补的集合,按其基数与序数的顺序,从左往右排成一行,便于读者对照和查寻。(参见本文附录)复合集合型K与KhSetComplexesKandKh复合集合型是根据包含关系与单个集合(即称为连结集合)相联系的一组集合(thenexusset)。复合集合型可分为两种不同的类型:一种是规模较大、覆盖面宽的类型,用K表示;另一种是规模较小并受一定限制的类型,用Kh表示。给定一个集合A与其补集B,复合集合型K则由与二者之一(集合A或B),有包含关系的所有集合(子集与母集)组成。这些集合统称为与A或B相关的复合集合型K,或叫做连结A或B的复合集合型K*。假如需要查明,在与集合5—32相关的复合集合型K中,是否存在集合6—Z44,已知:集合6—Z44不是集合7—32的子集,但集合5—32是集合6—Z44的一个子集,因此,根据包含原则,可断定集合6—Z44属于与集合5—32/7—32相关的复合集合型K的结构成份之一。设一个集合为与集合A/B相关的复合集合型Kh的结构成份,其条件必须满足于在集合A和B中都能实现某种包含关系。例如,集合6—27既是集合7—32的子集,又是集合5—32的母集,因而完全有资格成为Kh(5—32/7—32)的一个结构成份。关于复合集合型K和Kh.还有一点需作补充:在与集合A/B相关的复合集合型中,不能产生与集合A/B基数相同的结构成份,如,在K(5—32/7—32)和Kh(5—32/7—32)中,就没有基数5和7的集合类型。当然,这并不意味着在分析过程中,对于基数5和7的集合之间所产生的包含关系不予考虑,而仅仅由于在复合集合型的结构内部自然要将与其相连接集合的同基数集合形态排除在外。下面的例子,提供了复合集合型K(5—32/7—32)和复合集合型Kh(5—32/7—32)中所包含的全部结构成份,这对于我们认识复合集合型的内部关系,具有一定的意义。[例21]例21表明,集合集合型K与Kh都具有对称性,在基数9和3、8和4的排列关系中,这一特点体现得尤为充分,每个九元素集合总是对应着其补集——三元素集合,八元素与四元素集合的关系,结果亦然。表中六元素的Z关系集合,用分离斜线(如6—Z19/44)表明前后两个集合互为补集。此外,从例21中还可看出K与Kh在其组合规模上的差别,这对于我们进一步搞清复合集合型的内涵关系,是很有意义的。复合集合型K共有76个集合,而复合集合型Kh则只有24个集合,显然,Kh较K有着更高的精确度,因而,在具体的分析中,其实用价值更大。相似关系SimilarityRelations到目前为止,关于pc集合之间的几种形式关系,已作了较系统的概述,归纳起来有以下几种:<1>依赖于移位或倒影的相等关系。最后,我们还要介绍另一种关系,即集合的相似关系。具体规定如下:在基数相同的不同集合之间,还存在着pc相似和ic相似的现象,亦称做集合的相似关系。这种关系可通过对集合基本型和音程向量的比较来进行测量和证明。给出集合5—16与5—32:例表说明,两个集合的音程向量有四项值可直接对应(即完全相等),这四个相等的音程向量是:ic2、ic3、ic4和ic6。在同基数的两个集合的音程向量中,最大的相似度就是保持四项相等的向量值,可称为集合音程向量的最大相似关系(maximallysimilar),用R1标记。在R1中,余下的两个非直接相等的音程向量值(如上表中的ic1、ic5),还可通过相互交换的方式,构成相等关系:住基数相同的两个集合中,若不能利用变形方式简化成同样的基本型,但二者间仍有可能潜在着相似关系,这种关系则需要通过两个集合的共同pc,或者说是包含关系中的共同元素来实现。例如,在两个五元素的集合里,就可能会产生一个共同的四元素子集。下面例子说明了在集合5—16与5—32中,都包含4—18这个共同的子集*。依赖于音高(pc)的这种相似关系,用Rp标记。[例22]由于例22中集合4—18的两种形态,并没有能在音高上构成一致关系(即5—32的子集4—18不是集合的基本型),这种Rp就叫做弱显示(weaklyrepresented),与此相反的现象便称为强显示(stronglyrepresented)。下面的例子恰好能够说明强显示的原理,在集合5—16与5—32中,二者的共同子集4—18均以的基本形态(4—18的基本型)出现:[例23]应该指出,集合的ic相似关系,必须在两个集合音程向量的总含量完全一致的前题下(即二者六项向量值之和相等)方可进行比较。按照这一规定,在两个集合的音程向量中,仅有四项向量值相等,而其余两项向量值不可进行交换的现象,也有可能发生。给出集合5—Z18与5—32:这里,有四项ic值即ic2、ic4、ic5和ic6是完全等同的,可形成两个集合间ic的直接对应关系,但ic1和ic3这两个向量,却无法通过交换方式使之相等。这种类型的音程相似关系,用R2标记。另外集合5—Z18与5—32同样也存在着Rp关系。由此可见,集合5—Z18与5—32在pc和ic中都具有最大的相似关系,而这种多重的相似关系,并不是在任何两个集合之间都可