双曲线性质有关性质推论归纳共92条(高三数学)

双曲线1.IIPFI-1PF11=2a122.x2y2.标准方程：---=1

a2b23.1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角..PT平分△PFJ2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点..以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交..以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切..设A1、A2为双曲线的左、右顶点，则△PFJ2在边PF2(或PF1)上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2(或A1).TOC\o"1-5"\h\zx2 y29双曲线区一卷=1(a>0，b>0)的两个顶点为外-a，0)，42(a，0),与y轴平行的直线交双曲线于pi、p2时x2 y2A1P1与廿2交点的轨迹方程是a+不=1x2y2 xxyy.若P(x,y)在双曲线一-2-=1(a>0,b>0)上，则过P的双曲线的切线方程是--2=1.000 a2b2 0 a2 b2x2y2.若P(x,y)在双曲线一-J=1(a>0,b>0)外，则过Po作双曲线的两条切线切点为p、P,，则切点000 a2b2 1 2弦PP,的直线方程是XoX-yoy=1.12 a2 b2x2y2 b2.AB是双曲线一--—=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则k-k=—.a2b2 OM4Ba2x2y2 xxyyx2y2.若P(x,y)在双曲线一一丁=1(a>0,b>0)内，则被Po所平分的中点弦的万程是+-广=。-产.TOC\o"1-5"\h\z000 a2b2 a2b2 a2 b2x2y2 x2y2xxyy.若P(x,y)在双曲线一-2-=1(a>0,b>0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是一-J=-一了.000 a2b2 a2b2 a2b2x2y2 1 1 1 1.若PQ是双曲线一--—=1(b>a>0)上对中心张直角的弦，则一+一=一- (r=IOPI,r=IOQI).a2b2 r2r2a2b21 212x2y2.若双曲线——J=1(b>a>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为4x+By=1(AB丰0),则(1)a2b2114n, 2ja4A2+b4B2TOC\o"1-5"\h\z---=A2+B2;(2)L= .a2b2 Ia2A2-b2B2I_ , _ ,a2+b2八 -.给定双曲线C：b2x2-a2y2=a2b2(a>b>0),C：b2x2-a2y2=( —ab)2,则(i)对C上任意给定1 2 a2-b2 1_一 a2+b2 a2+b2的点P(x,y)，它的任一直角弦必须经过C上一定点M((--x,---y).000 2 a2-b20 a2-b20(ii)对C上任一点P'(x',y')在C上存在唯一的点M，，使得M，的任一直角弦都经过P，点.2 000 1 0x2 y218.设P(x,y)为双曲线一---=1(a>0,b>0)上一点，PP,为曲线C的动弦，且弦P.PVP.P?斜率存在，记000 a2 b2 12 0102

-- 1+mb2为埠k，则直线PR通过定点M(mx0,-myo)(m丰1)的充要条件是鼠上=—-a.x2y2©过双曲线-二1(a>0，b>o)上任一点4x0,yo)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B工两点，b2x则直线BC有定向且k=-一0(常数).BC a2y0x2y2TOC\o"1-5"\h\z.双曲线一-J=1(a>0,b>o)的左右焦点分别为F,F，点P为双曲线上任意一点/FPF=丫，则双

a2b2 1 2 1 2Y ~a' ,Vb2 丫、曲线的焦点角形的面积为s =b2coU-,P(-\：c2+b2tan21,_cotL).%pf2 2c\ 2c2/PFF=a12 ,/PFF=a12 ,.若P为双曲线瓦-加=1(»°,40)右(或左)支上除顶点外的任一点斤F2是焦点,c—a aB/PFFc—a aB/PFF=B,则U =tan—cot—2i c+a 2 2(或c-aBa=tancot—)2 2x2y2TOC\o"1-5"\h\z.双曲线——--=1(a>0,b>o)的焦半径公式：(F(—c,0),F(c,0)a2b2 1 2当M(x,y)在右支上时，IMF1=ex+a,IMF1=ex—a.00 1 0 2 0当M(x,y)在左支上时，IMFI=—ex+a,IMFI=—ex—a.00 1 0 2 0x2y2.若双曲线——--=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为FjF.，左准线为L,则当a2b2 1 21<eW%；'2+1时，可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.x2y2.P为双曲线——丁=1(a>0,b>0)上任一点,FVF?为二焦点，A为双曲线内一定点，则a2b2 12IAF21—2a<IPAI+IPqI,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.x2y2 (a2+b2)2.双曲线———=1(a>0,b>0)上存在两点关于直线l：y=k(x—x)对称的充要条件是x2> ——.a2b2 0 0 a2—b2k2.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直..过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.TOC\o"1-5"\h\z「x=asec3 1.P是双曲线< 7 (a>0,b>0)上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是e2=； .[y=btan3 1—tan2中x2y2 x2y2.设A,B为双曲线———=k(a>0,b>0,k>0,k丰1)上两点，其直线AB与双曲线—---=1相交于a2b2 a2b2P,Q，则AP=BQ.1_(x2_y2)1—( - ) x2y2 a2b2 -， b2x2.在双曲线—一4=1中，定长为2m(m)0)的弦中点轨迹方程为m2= a-b—，其中tana=———a2b2 cos2asin2a a2y2b2ab2当y=0时,a=90.TOC\o"1-5"\h\zx2 y2.设S为双曲线——j-=1(a>0,b>o)的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线上移动，记|AB|=l,a2b2a2l cM(x,y)是ab中点，则当l2①S时，有(x) =一+—(c2=a+b2,e=—);当l〈①S时，有0 0 0minc2e a

(x) -a—<4b2+12.0min2bx2y2.双曲线一---=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2<C2.a2b2(x-x)2 (y-y)2.双曲线-——二-uJ-1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是a2 b2A2a2-B2b2<(Ax+By+C)2.00x2y2sina±(siny-sinP).设双曲线a2-正=1(a>0,b>0)sina±(siny-sinP)中，记/FPF-a,/PFF-P,/FFP-y，则有TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 2 12 12x2y2.经过双曲线--J=1(a>0,b>0)的实轴的两端点A和A的切线，与双曲线上任一点的切线相交于a2b2 1 2P和P，则IPAI-IPA1=b2.12 1 2x2y2.已知双曲线—---=1(b>a>0),O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且0P，OQ.(1)a2b21 1 1 1 4a2b2 a2b2+ =-- ;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为^ ;(3)S 的最小值是^ .IOP|2IOQ|2a2b2 b2-a2 △0PQ b2-a2x2y2.MN是经过双曲线--j=1(a>0,b>0)过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平a2b2行于MN的弦，则IABI2-2aIMNI.x2y2.MN是经过双曲线一--=1(a>b>0)焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦0P工MN,a2b22 1 11贝U - ————aIMNIIOPI2a2b2x2y2.设双曲线--J=1(a>0,b>0),M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直a2b2a2线与双曲线相交于P、Q两点，则直线A/、A2Q(A1A2为两顶点)的交点N在直线1：x=—上..设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFXNF..过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1>A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MFXNF.x2y2.设双曲线方程一-f-=1，则斜率为k(kW0)的平行弦的中点必在直线1：y=kx的共轭直线y=k'x上，而a2b2b2且kk'=一.a2x2y2.设A、B、C、D为双曲线一一二=1(a>0,b>o)上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为a,P，直线a2b2IPAI•IPBI b2cos2P-a2sin2PAB与CD相交于P,且P不在双曲线上，则 = .IPCI-IPDIb2cos2a-a2sin2ax2y2.已知双曲线一--=1(a>0,b>0),点P为其上一点F,F‘为双曲线的焦点，/FPF的外(内)角平

a2b2 1 2 1 2分线为1，作［、F2分别垂直1于R、S,当P跑遍整个双曲线时，R、S形成的轨迹方程是

x2+y2=a2({a3b(x-c)[(a2+b2)x-b2c]}2+[a4c2(x-c)y]2=(ab3c2y2)2).则CD与双曲线r相切的充要条件是D为EF的中点.BC于E和F,又D为l上一点，则CD与双曲线r相切的充要条件是D为EF的中点.BC于E和F,又D为l上一点，x2y246.过双曲线一--=1a2b2|PF|e线交x轴于P,则=-.|MN|2(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分x2y2 b2x.设A(%吊)是双曲线--J=1(a>0,b>0)上任一点，过A作一条斜率为一的直线L,又设d是11 a2b2 a2y1原点到直线L的距离,〈,1分别是A到双曲线两焦点的距离，则反d=ab.x2 y2 x2y2.已知双曲线--J=1(a>0,b>0)和—一—，(0<^<1)，一条直线顺次与它们相交于A、B、a2 b2 a2b2x249.已知双曲线一-

a2a2x249.已知双曲线一-

a2a2+b2则x> 或x<-0a 0y2TOC\o"1-5"\h\zJ=1(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x,0),b2 0a2+b2x2y2.设P点是双曲线--j=1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点儿、F,为其焦点记/FPF=0,则1(1)a2b2 12 12 2b2 VIPFIIPF1= -.(2)5 =b2cotL.1 21-cos0 呼F2 2设过双曲线的实轴上一点B(m,o)作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴的左顶点，连结APa-ma2和AQ分别交相应于过B点的直线MN：x=n于M,N两点，则/MBN=90O =-- —.a+m b2(n+a)2x2y2L是经过双曲线——=1(a>0,b>0)焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是双曲线实轴的两个焦点，ea2b21 1 ab是离心率，点PeL，若/EPF=a，则a是锐角且sina<一或a<arcsin (当且仅当IPHI=一时取等号).ee cx2y2L是经过双曲线一--—=1(a>0,b>0)的实轴顶点A且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线的准线与xa2b211轴交点，点PeL,e是离心率，/EPF=a,H是L与X轴的交点c是半焦距，则a是锐角且sina<—或a<arcsin—eeab(当且仅当IPAI=一时取等号).cx2y2L是双曲线--J=1(a>0,b>0)焦点F且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线准线与x轴交点，H是La2b2 111与x轴的交点，点PeL,/EPF=a，离心率为e,半焦距为c,则a为锐角且sina<—或a<arcsin—(当e2 e2.—.b- 且仅当IPFI=-aa2+c2时取等号).1cx2y2已知双曲线--j=1(a>0,b>0),直线L通过其右焦点F„且与双曲线右支交于A、B两点，将A、Ba2b2 2，「一，一一，(2a2+b2)2与双曲线左焦点F连结起来，则IFAI-IFBI>^ L(当且仅当AB±x轴时取等号).1 1 1 a2

x2y2.设A、B是双曲线一-^-=1(a>0,b>0)的长轴两端点，P是双曲线上的一点，/PAB=。,/PBA=0,a2b22ab21cosaI/BPA=y,c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有⑴IPA1= -.(2)tanatan0=1-e2.⑶Ia2-c2cos2y|SAPAB2a2b2 coty.SAPABb2+a2x2y2.设A、B是双曲线--J=1(a>0,b>0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的区域)、外部的两点，a2b2且x、x的横坐标x-x=a2,(1)若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则/PBA=/QBA；(2)AB AB若过B引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则/PBA+ZQBA=180.x2y2.设A、B是双曲线一—1=1(a>0,b>0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的区域)，外部的两点，a2b2(1)若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，(若BP交双曲线这一支于两点，则P、Q不关于x轴对称)，且/PBA=/QBA,则点A、B的横坐标x、x满足x•x=a2；(2)若过B点引直线与双曲线这一支相交于P、AB ABQ两点，且/PBA+ZQBA=180，则点a、b的横坐标满足x-x=a2.ABx2y2.设A,A是双曲线—-2-=1的实轴的两个端点，QQ'是与AA'垂直的弦，则直线AQ与AQ'的交点px2y2的轨迹是双曲线一+y-=1a2b2x2y260.过双曲线一--—=1a2b2x2y260.过双曲线一--—=1a2b2(a>0,b>0)x2y2.到双曲线一--=1a2b2圆(x土ec)2+y2=(eb)2.(a>0,b>0)x2 y2.到双曲线一--=1a2 b2是姊妹圆(x土a)2+>2=b2.(a>0,b>0)x2 y2.到双曲线一--=1a2 b2(a>0,b>0)的右焦点尸作互相垂直的两条弦AB、皿则正-MAB1+1°|c-a两焦点的距离之比等于—(c为半焦距)的动点M的轨迹是姊妹c-a的实轴两端点的距离之比等于(c为半焦距)的动点M的轨迹c-a的两准线和x轴的交点的距离之比为(c为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆(x土a)2+y2=(b)2(e为离心率).ex2y2.已知P是双曲线--J=1(a>0,b>0)上一个动点，A',A是它实轴的两个端点，且AQLAP,AQ1AP,a2b2x2b2y2则Q点的轨迹方程是—--=1.a2 a4.双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.x2y2 b2x.设双曲线一-"=1(a>0,b>0)实轴的端点为A,A',P(x,y)是双曲线上的点过P作斜率为一1的直a2b2 11 a2y1线l，过A,A分别作垂直于实轴的直线交l于M,M'，则IAMIIA，M'I=b2.(2)四边形MAA’M，面积的最小值是2ab.x2y2.已知双曲线一一丁=1(a>0,b>0)的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线a2b2相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BC1x轴，则直线AC经过线段EF的中点.，…(X-a)2y2OA、OB是双曲线 --—=1(a>0,b>0,且a丰b)的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则(1)a2 b22ab2直线AB必经过一个定点(^ ,0).(2)以OA、OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是b2-a2ab2 ab2(X—~ )2+y2-(: )2(X00).b2-a2 b2-a2(X-a)2y2P(m,n)是双曲线1——-—=1(a>0,b>0)上一个定点，PA、PB是互相垂直的弦，则(1)直线a2 b2,2ab2+m(b2-a2)n(a2+b2)、AB必经过一个定点(——一 -,-- -).(2)以PA、PB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是b2-a2 b2-a2/ab2-a2m、 / b2n、 a2[b4+n2(a2+b2)](x- )2+(y- )2= (x丰m且y丰n).b2-a2 b2-a2 (b2-a2)2TOC\o"1-5"\h\z如果一个双曲线虚半轴长为b,焦点F、F,到直线L的距离分别为d_,、d,，那么(1)dd=b2，且F、F1 2 1 2 12 1，在L同侧o直线l和双曲线相切，或L是双曲线的渐近线.(2)dd>b2，且F、F,在L同侧O直线L和双曲2 12 1 2线相离，(3)dd<b2，或F_,、F9在L异侧O直线L和双曲线相交.12 1 2x2y271.AB是双曲线一-—=1(a>0,b>0)的实轴，N是双曲线上的动点，过N的切线与过A、B的切线交a2b2于C、D两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是X2-4a2y2=1(y丰0).x2y2.设点P(X,y)为双曲线一—-1(a>0,b>0)的内部((含焦点的区域))一定点，AB是双曲线过定点00 a2b2P(X,y)的任一弦.00(b2X2-a2y2)-a2b2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"(1)如a>b，则当弦AB垂直于双曲线实轴所在直线时(IPAI•IPBI)= 0 4 .min a2(b2X2-a2y2)-a2b2\o"CurrentDocument"(2)如a<b，则当弦ab平行(或重合)于双曲线实轴所在直线时,(IPAI-IPBI)=--0一-V .min b2.双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切..双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点..双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与a-c..双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c..双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点..双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e..双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项..双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例..双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例..双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行..双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲