数学苏教版必修4互动课堂学案2.2.1向量的加法

互动课堂疏导引导已知向量a、b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的和向量，记作a+b，即a+b=+=.这种求两个向量和的方法叫做向量加法的三角形法则（如图所示）.疑难疏引①由向量求和的三角形法则可知，两个向量的和仍为向量.②向量求和的三角形法则的本质是两个加数向量的首尾相接，和向量是从一个向量的起点指向另一个向量的终点.③当两个向量共线（平行）时，向量加法的三角形法则同样适用.（1）对于零向量与任一向量a的和有a+0=0+a=a.（2）向量加法的交换律：a+b=b+a.简证如下：①若a、b不共线，作=a，=b，则A、B、C三点不共线，=a+b.作=b，连结D、C（如下图），由于=，∴四边形ABCD为平行四边形.∴DCAB，∴||=||=|a|，又与同向，∴=，此时有b+a=+=，即有a+b=b+a.②当a与b共线且同向时，a+b及b+a都与a同向，且|a+b|=|a|+|b|；|b+a|=|b|+|a|.a+b与b+a同向，故有a+b=b+a.③当a与b共线且反向时，不妨设|a|＞|b|，且|a+b|=|a||b|,b+c与a同向，且|a+b|=|a||b|，b+a与a同向，且|b+a|=|a||b|.故a+b与b+a同向，因此a+b=b+a.综合①②③知a+b=b+a.（3）向量加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）验证如下：如下图，（a+b）+c=+=，a+（b+c）=+=∴（a+b）+c=a+（b+c）.疑难疏引向量加法的运算律同实数加法的运算律一致，却满足交换律与结合律，由于向量的加法具有这两个运算律，因此，对于多个向量加法的运算就可以按照任意的次序与组合来进行了.已知两个不共线的向量a，b，作=a，=b，则A、B、D三点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量=a+b.这个法则叫做向量求和的平行四边形法则.疑难疏引当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的，当两向量为共线向量时，三角形法则同样适用，而平行四边形法则就不适合了.因此在选用两个法则进行向量求和时应熟练、灵活.已知n个向量，依次将这n个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量，此法则叫做向量求和的多边形法则.规律总结①向量求和的多边形法则实际上是三角形法则的推广；三角形法则是多边形法则的特例.三角形法则适用于两个向量的求和，而多边形法则适用于多个向量的求和，两个法则的共同点是将加数向量首尾顺次连接，和向量的起点是第一个向量的起点，终点是最后一个向量的终点.②首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链时，其各向量的和为0.③不论采用何种法则求向量的和，其最后的结果是相等向量.向量的加法在日常生产、生活中应用广泛，主要体现在求两个或多个向量的和向量，可选用灵活的法则解决.案例一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度.【探究】本题是用向量解决物理问题，可先用向量表示速度，再用向量的加法合成速度即可.【解】如右图，表示水流速度，表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，表示船实际航行的速度，∠AOC=30°，|OB|=5km/h.∵四边形OACB为矩形,∴||=||cot30°=，=10.∴水流速度大小为km/h，船实际速度为10km/h，与水流速度的夹角为30°.规律总结用向量解决实际问题的步骤为①用向量表示实际量；②进行向量运算；③回扣实际问题，作出回答.活学巧用【例1】已知a∥b，试用向量加法的三角形法则作出向量a+b.（1）（2）解析：a∥b时，也可用向量加法的三角形法则求出其和向量.（1）作=a，=b.则a+b=+=，如下左图所示.（2）作=a，=b.则a+b=+=如上右图所示.【例2】已知非零向量a、b，试说明|a+b|与|a|+|b|的大小.解析：解答本题可用向量加法的三角形法则作出图形辅助解决，并且要注意分类讨论.（1）当a、b不共线时，根据向量求和的三角形法则显然有|a+b|＜|a|+|b|.（2）当a、b方向相同时，有|a+b|=|a|+|b|.（3）当a、b方向相反时，有|a+b|＜|a|+|b|.综以上有|a+b|≤|a|+|b|.【例3】在矩形ABCD中，等于（）A.+B.+C.+D.+解析：画出图形，帮助分析.若对向量求和的本质理解深刻了，也可直接按照向量加法的交换律运算.显然，D选项中，+=+=.而其他的选项运算的结果不是.答案：D【例4】化简下列各式.（1）++；（2）++；（3）++++.分析:根据向量加法的运算律，对于多个向量求加法时，可以按照需要将向量组合，使之构成首尾相接，进行运算，第（1）个可以使用结合律转化为求++的和；第（2）个则可以直接运算；第（3）个各向量首尾相接，恰好构成一个向量链，因此，可直接计算.解：（1）++=++=.（2）++=0.（3）++++=.【例5】如图，在ABCD中，已知有以下4个等式，其中正确式子有__________个（）①+=；②++=；③++=；④++=0.B.2解析：本题要结合图形及向量加法的运算律对选项中的等式一一验证.①+=+=，故①正确；②++=++=≠.故②不正确；③++=+=≠，故③不正确；④++=++=+=+=0.故④正确.答案：B【例6】在正六边形中，若=a，=b，试用向量a、b将、、表示出来.分析:如右图所示，在正六边形中，有很多菱形、三角形，这就为使用向量求和的三角形法则或平行四边形法则创造了条件.解：设正六边形的中心为P，则=+=（+）+=a+b+a.=+=+=a+b+a+b.由对称性知：=+=b+b+a.【例7】如图甲所示，已知向量a、b、c，试求作向量a+b+c.解析：如图乙所示，首先在平面内任取一点O，作向量=a，然后再作=c，再后作=b，由向量求和的多边形法则可得=++=a+c+b=a+b+c，即为所求向量.【例8】已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证:+=+.证明：如右图，在平面内取点O，连结、、、、、，则=+=+++，=+，=+=+++++.∵E、F是AD、BC的中点，∴=，=.∴+=+++++++=+++++++=（+）+（+++）=+.【例9】轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置.分析:解决本题画图非常关键，要求轮船与A港的相对位置，即求位置向量的大小与方向