三轴磁力计的校正矩阵校正方法研究

三轴磁力计的校正矩阵校正方法研究

0曲线拟合方法三轴磁强计精确、可靠是实现高精度地震地震导航的基础。由于受自身制造工艺影响,不可避免会存在零位偏差、灵敏度误差和三轴不正交误差,因此在使用前必须先进行严格的标定。目前公开报道的国内外文献主要集中在椭圆拟合法,该方法要求载体运动在一个平面上,不适用于飞行器导航和坡度路面的车辆导航。近年来,逐渐开始进行椭球拟合法的研究。曲线拟合的主要方法有几何距离法和代数距离法。椭球拟合时基本都采用代数距离法,该方法计算量小,容易实现。拟合的原理是利用最小二乘最优估计算法,寻找一组椭球参数,使测量数据集中所有的数据点到该椭球面的代数距离平方和最小。文献直接利用9组测量数据确定待定的9个椭球参数,容易受随机误差影响。由于测量过程中不可避免地存在一些误差较大的样本点(粗差点)。较多粗差点,或少数但较显著的粗差点,对测量精度影响很大。如果直接将包含这些粗差点在内的所有样本点直接用最小二乘法进行椭球拟合,拟合误差比较大。本文采用了平差理论中的“权”作为求极值时更准确的表达式,利用上一次拟合后的残差大小来定权,为残差较大的粗差点定较小的权值,从而逐步减小粗差对拟合精度的影响。1传统椭圆球的调整1.1地磁场矢量校准模型受制造工艺和加工精度影响三轴磁强计存在零位偏差、灵敏度误差和不正交误差。这导致真实地磁场He和三轴磁强计输出Hm之间的关系如下:Ηm=Κs×Κnor×Κb(Ηe+Ηp)+Η0=Μ×(Ηe+Ηp)+Η0(1)其中,H0和Ks是由于制造工艺原因产生的零点偏差和灵敏度不一致误差;Knor是传感器加工过程中产生的三轴不正交误差;Kb为软磁干扰矩阵,由于存在软磁材料引起的感应磁场影响,Kb为主对角线接近1,其他元素均接近零的畸变矩阵(软磁干扰中的轴间干扰均较小);Hp为传感器周围铁磁材料被地磁场磁化产生相应的固定磁场。由(1)式可得地磁场矢量校准模型为:Ηe=Μ-1×(Ηm-Η0)-Ηp=G×(Ηm-Η0)-Ηp(2)对(2)式取He的模的平方并整理为曲面的二次型形式:ΗΤmGΤG∥Ηe∥2Ηm-2ΗΤ0GΤG+ΗpΤG∥Ηe∥2Ηm+ΗΤ0GΤGΗ0+2ΗpΤGΗ0+ΗpΤΗp∥Ηe∥2=1(3)式(1)中,Ks为对角阵,Knor和Kb均为严格对角占优矩阵(不正交角度和感应磁场轴间干扰都很小),所以误差矩阵M及其逆矩阵G严格对角占优,能够保证(3)式中GTG严格对角占优,为正定矩阵。因此三轴磁计测量数据Hm的三个分量Hmx、Hmy、Hmz满足一个二次型椭球面方程。把(3)式写成二次曲面方程一般形式有:F(σ,Ηm)=aΗ2ma+bΗ2my+cΗ2mz+dΗmxΗmy+eΗmxΗmz+fΗmyΗmz+pΗmx+qΗmy+rΗmz+s=0(4)其中σ=(a,b,c,d,e,f,p,q,r,s)T。1.2约束条件的分析椭球拟合就是寻找一组椭球参数,使测量数据集中的所有数据点到该椭球面的代数距离平方和最小,如(5)式所示,也可写成(6)式矩阵的形式。一旦利用最小二乘法完成椭球拟合,求出椭球参数也就确定了误差矩阵M和校正矩阵G。minσ∈R∑Νi=1∥F(σ,Ηmi)∥2(5)minσ∈RσΤDΤDσ(6)其中为了保证拟合结果为椭球面,引入Fitzgibbon提出的简化后等式约束条件4ac-b2=1。约束条件4ac-b2=1可表示为矩阵的形式:σΤCσ=1(7)其中联立(6)式和(7)式,引入拉格朗日乘子,椭球拟合转变为求约束条件下函数G(σ)=σTDTDσ+λ(1-σTCσ)的条件极值。对函数求G(σ)一阶导数,并令一阶导为零,可得:DΤDσ=λCσ(8)文献证明(8)式的特征值中仅有一个为正,该特征值对应的特征向量即为待定的椭球参数向量σ。另外,为分析方便(3)式可简化为:XΤAX-2XΤ0AX+XΤ0AX0=1(9)其中,椭球系数矩阵,椭球球心。对比(3)式和(9)式可得:{GΤG=∥Ηe∥2*AΗp=G(X0-Η0)(10)当对磁强计进行标定时,‖He‖2可由标量质子磁力仪确定;当对航向角计算进行标定时,‖He‖2不要求取真实地磁场值,因为航向角计算仅依赖于地磁场在x轴和y轴投影的比值。对(10)式进行正交分解求出校准矩阵和硬磁偏差后代入(2)式得:Ηe=G*(Ηm-X0)(11)由(11)式即可实现对三轴磁强计的误差校准。2以最小二乘法确定残差各数据点的权重在文献中,均直接采用代数距离平方和最小原则来确定椭球参数向量。然而由于测量过程中不可避免地存在一些误差较大的样本点(粗差点)。如果直接将包含粗差点在内的所有样本点用最小二乘法进行椭球拟合,会带来较大的拟合误差。文献采用平差理论中的“权”更新隧道断面检测的椭圆拟合准则,取得了较好的效果。本文首先利用传统拟合方法求出椭球参数向量σ。根据(9)式可求出矩阵A和椭球球心坐标Y0。令σ0=σ/(XT*A*X0-σ(10)),椭球拟合的残差如(12)式所示,residual为包含N个数据点的向量。residual=D*σ0(12)然后,根据残差的大小确定残差所对应数据点在用最小二乘法求代数距离最小和时的权重。引入权矩阵P=A2(P为对角阵),各数据点的权值为:diag(Ρ)={1,residual(i)≤k0m0e-esidual(i)2/2m20residual(i)＞k0m0(13)式中m0=√residualΤ*Ρ*residual/(n-t)为椭球拟合的中误差,n为观测点个数,t为确定拟合参数需要的必要观测点数,此处为10。(13)式的求解需迭代进行,第一次迭代时取P为单位矩阵,K0取2。一般从第4次迭代开始K0取4,之前都取零。K0取值大小决定剔除的粗差点偏离程度大小。引入权矩阵P后,各数据点不再直接平等的参与代数距离平方和最小的极值运算,而是先乘上各自的加权系数后再参与。权重不同,数据点在椭球拟合中所作的贡献也不同。新的拟合准则由原来(6)式变为:minσ∈RσΤ(AD)Τ(AD)σ=minσ∈RσΤDΤΡDσ(14)联立(14)式和(7)式,并同理引入拉格朗日乘子,求其在(7)式约束下函数G′(σ)=σTDTPDσ+λ(1-σTCσ)的条件极值。对函数G′(σ)求一阶导并令一阶导为零,可得:DΤΡDσ=λCσ(15)根据(15)式重新计算椭球参数向量σ和残差向量residual,循环迭代直到中误差m0不再减小,即m0(k+1)≥m0(k)。则第k次计算得到的椭球参数向量σ′和校正矩阵G′即为所求。3传统较优条件的拟合标定为证实椭球算法改进的实际效果,在磁场环境相对较好的北京郊区进行实验。首先,把三轴磁强计固定在三自由度无磁转台上,然后依次绕x轴、y轴和z轴旋转共测得80组地磁场数据。利用传统椭球拟合法,各数据点直接参与求代数距离平方和最小运算时,标定误差结果如图1所示。标定前测得地磁场强度最大最小绝对误差为1310nT,均方根误差为350nT;标定后地磁场强度最大最小绝对误差为100nT,均方根误差21nT。根据平差理论引入权矩阵后,共剔除19个粗差点。利用改进的椭球拟合算法,标定误差结果如图2所示。标定后地磁场强度最大最小绝对误差为29nT,均方根误差6nT。求解过程发现第一次迭代运算权值都为1.0时,中误差m0(1)=0.000848,残差大于2倍中误差的数据点共3个;第二次迭代时3个粗差点的权重减小,中误差m0(2)=0.000682,残差大于2倍中误差的数据点增加为7个……如此循环下去,中误差m0不断减小,剔除的粗差点增多。直到迭代到第8次时,和第7次相比m0不再明显减小,迭代结束。为了更清楚地反映传统椭球拟合和改进椭球拟合标定效果的差别,图3把两者放在一起进行对比。对比时采用的都是剔除粗差点后的61点数据,采用传统拟合方法得到椭球参数向量σ和校正矩阵G,校正后误差如图3绿色实线所示,地磁场强度最大最小绝对误差为51nT,均方根误差12nT;利用改进的椭球拟合法得到椭球参数σ′和校正矩阵G′,校正后误差如图3虚线所示,地磁场强度最大最小绝对误差为29nT,均方根误差6nT。为验证一般性,将上述传统椭球拟合算法和改进椭球拟合算法求出的校正矩阵G和G′分别用来校正另一组包含65个数据点的数据集。该组数据校正前最大最小绝对误差1567nT,均方根误差367nT。校正过程不再进行剔除粗差点的迭代运算,直接应用已标定好的矩阵G和G′进行。矩阵G校正的结果如图4实线所示,最大最小绝对误差130nT,均方根误差23nT;矩阵G′校正的结果如图4虚线所示,最大最小绝对误差58nT,均方根误差17nT。4--还原酶去除粗时差传统椭球拟合时,各数据点权重相同,粗差点也平等的参与求代数距离平方和最小的极值运算,并起同样的作用,造成拟合结果误差较大。根据平差理论引入权矩阵,可以有效的剔除粗差点,得到的椭球参数向量σ′和校正矩阵G′精度更高,校正后的