§1电子的自旋§2电子的自旋算符和自旋波函数§3简单塞曼课件

§1电子的自旋§2电子的自旋算符和自旋波函数§3简单塞曼效应§4两个角动量耦合§5光谱精细结构§6全同粒子的特性§7全同粒子体系波函数 Pauli原理§8两电子自旋波函数§9氦原子（微扰法）第七章自旋与全同粒子§1电子的自旋第七章自旋与全同粒子（一）Stern-Gerlach实验

(二）光谱线精细结构（三）电子自旋假设（四）回转磁比率§1电子的自旋（一）Stern-Gerlach实验§1电子的自旋（1）实验描述Z处于S态的氢原子（2）结论I。氢原子有磁矩 因在非均匀磁场中发生偏转II。氢原子磁矩只有两种取向 即空间量子化的S态的氢原子束流，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。NS（一）Stern-Gerlach实验（1）实验描述Z处于S态的氢原子（2）结论I。氢原子有磁（3）讨论磁矩与磁场之夹角原子Z向受力分析若原子磁矩可任意取向，则cos

可在（-1，+1）之间连续变化，感光板将呈现连续带

但是实验结果是：出现的两条分立线对应cos

=-1和+1，处于S态的氢原子

=0，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。（3）讨论磁矩与磁场之夹角原子Z向受力分析若原子磁矩可任3p3s5893Å3p3/23p1/23s1/2D1D25896Å5890Å

钠原子光谱中的一条亮黄线

5893Å，用高分辨率的光谱仪观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。

其他原子光谱中也可以发现这种谱线由更细的一些线组成的现象，称之为光谱线的精细结构。该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释（二）光谱线精细结构3p3s5893Å3p3/23p1/23s1/2D1D258Uhlenbeck(乌伦贝克)和Goudsmit（哥德斯密脱）1925年根据上述现象提出了电子自旋假设（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：（2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：Bohr磁子（三）电子自旋假设Uhlenbeck(乌伦贝克)和Goudsmit（哥德斯（1）电子回转磁比率我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：（2）轨道回转磁比率则，轨道回转磁比率为：可见电子回转磁比率是轨道回转磁比率的二倍（四）回转磁比率（1）电子回转磁比率我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：§2电子的自旋算符和自旋波函数（一）自旋算符（二）含自旋的状态波函数（三）自旋算符的矩阵表示与Pauli矩阵（四）含自旋波函数的归一化和几率密度（五）自旋波函数（六）力学量平均值§2电子的自旋算符和自旋波函数（一）自旋算符自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。与其他力学量一样，自旋角动量也是用一个算符描写，记为自旋角动量轨道角动量异同点与坐标、动量无关不适用同是角动量满足同样的角动量对易关系（一）自旋算符自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。通常的力由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取

±

/2两个值所以的本征值都是±

/2，其平方为[

/2]2算符的本征值是仿照自旋量子数s只有一个数值由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取±/2两个值因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用(x,y,z)三个坐标变量外，还需要一个自旋变量(SZ），于是电子的含自旋的波函数需写为：由于SZ只取±

/2两个值，所以上式可写为两个分量：写成列矩阵规定列矩阵第一行对应于Sz=

/2，第二行对应于Sz=-

/2。若已知电子处于Sz=

/2或Sz=-

/2的自旋态，则波函数可分别写为：（二）含自旋的状态波函数因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用(x,（1）

SZ的矩阵形式电子自旋算符（如SZ）是作用与电子自旋波函数上的，既然电子波函数表示成了2×1的列矩阵，那末，电子自旋算符的矩阵表示应该是2×2矩阵。因为Φ1/2描写的态，SZ有确定值

/2，所以Φ1/2是SZ的本征态，本征值为

/2，即有：矩阵形式同理对Φ–1/2处理，有最后得SZ的矩阵形式SZ是对角矩阵，对角矩阵元是其本征值±

/2。（三）自旋算符的矩阵表示与Pauli矩阵（1）SZ的矩阵形式电子自旋算符（如SZ）是作用与电子自（2）Pauli算符1.Pauli算符的引进分量形式因为Sx,Sy,Sz的本征值都是±

/2，所以σx,σy,σz的本征值都是±1；σx2,σy2,σZ2的本征值都是1。即：（2）Pauli算符1.Pauli算符的引进分量形式因2.反对易关系基于σ的对易关系，可以证明σ各分量之间满足反对易关系:证：我们从对易关系:出发左乘σy右乘σy二式相加同理可证:x,y分量的反对易关系亦成立.[证毕]或由对易关系和反对易关系还可以得到关于Pauli算符的如下非常有用性质：σy2=12.反对易关系基于σ的对易关系，可以证明证：我们从对易关3.Pauli算符的矩阵形式根据定义求Pauli算符的其他两个分量令利用反对易关系σX简化为：令：c=exp[iα](α为实），则由力学量算符厄密性得：b=c*(或c=b*)σx2=I3.Pauli算符的矩阵形式根据定义求Pauli算求σy的矩阵形式这里有一个相位不定性，习惯上取α=0，于是得到Pauli算符的矩阵形式为：从自旋算符与Pauli矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵表示：写成矩阵形式求σy的矩阵形式这里有一个相位不定性，习惯上取α=0，（1）归一化电子波函数表示成矩阵形式后，波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分，即（2）几率密度表示t时刻在r点附近单位体积内找到电子的几率表示t时刻r点处单位体积内找到自旋Sz=

/2的电子的几率表示t时刻

r点处单位体积内找到自旋Sz=–

/2的电子的几率在全空间找到Sz=

/2的电子的几率在全空间找到Sz=–

/2的电子的几率（四）含自旋波函数的归一化和几率密度（1）归一化电子波函数表示成矩阵形式后，波函数的归一化时必须波函数这是因为，通常自旋和轨道运动之间是有相互作用的，所以电子的自旋状态对轨道运动有影响。但是，当这种相互作用很小时，可以将其忽略，则ψ1,ψ2

对(x,y,z)的依赖一样，即函数形式是相同的。此时Φ可以写成如下形式：求：自旋波函数χ(Sz)SZ的本征方程令

一般情况下，ψ1≠ψ2，二者对(x,y,z)的依赖是不一样的。（五）自旋波函数波函数这是因为，通常自旋和轨道运动之间是有相互作用的，所以电因为Sz是2×2矩阵，所以在S2,Sz为对角矩阵的表象内，χ1/2,χ-1/2都应是2×1的列矩阵。代入本征方程得：由归一化条件确定a1所以二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交因为Sz是2×2矩阵，所以在S2,Sz为对角引进自旋后，任一自旋算符的函数

G在

Sz表象表示为2×2矩阵算符G在任意态Φ中对自旋求平均的平均值算符G在Φ态中对坐标和自旋同时求平均的平均值是：（六）力学量平均值引进自旋后，任一自旋算符的函数G在Sz表象表示为2ק3简单塞曼效应返回（一）实验现象（二）氢、类氢原子在外场中的附加能（三）求解Schrodinger方程（四）简单塞曼效应§3简单塞曼效应返回（一）实验现象塞曼效应：氢原子和类氢原子在外磁场中，其光谱线发生分 裂的现象。 该现象在1896年被Zeeman首先观察到（1）简单塞曼效应：在强磁场作用下，光谱线的分裂 现象。（2）复杂塞曼效应：当外磁场较弱，轨道-自旋相互作 用不能忽略时，将产生复杂塞曼效应。（一）实验现象塞曼效应：氢原子和类氢原子在外磁场中，其光谱线发生分 裂的现取外磁场方向沿Z向，则磁场引起的附加能（CGS制）为：磁场沿Z向（二）Schrodinger方程考虑强磁场忽略自旋-轨道相互作用，体系Schrodinger方程：（二）氢、类氢原子在外场中的附加能取外磁场方向沿Z向，则磁场引起的附加能（CGS制）为：根据上节分析，没有自旋-轨道相互作用的波函数可写成：代入S—方程最后得

1

满足的方程同理得

2

满足的方程根据上节分析，没有自旋-轨道相互作用的波函数可写成：代入（1）当B=0时（无外场），是有心力场问题，方程退化为不考虑自旋时的情况。其解为：I。对氢原子情况II。对类氢原子情况如Li，Na，……等碱金属原子，核外电子对核库仑场有屏蔽作用，此时能级不仅与n有关，而且与

有关，记为En

则有心力场方程可写为：（三）求解Schrodinger方程（1）当B=0时（无外场），是有心力场问题，方程退化为由于（2）当B

0时（有外场）时所以在外磁场下，

n

m

仍为方程的解，此时同理由于（2）当B0时（有外场）时所以在外磁场下，（1）分析能级公式可知：在外磁场下，能级与n,l,m有关。原来m不同能量相同的简并现象被外磁场消除了。（2）外磁场存在时，能量与自旋状态有关。当原子处于S态时，l=0,m=0的原能级Enl

分裂为二。这正是Stern—Gerlach实验所观察到的现象。（四）简单 塞曼效应（1）分析能级公式可知：在外磁场下，能级与n,l,m（3）光谱线分裂2p1sSz=

/2Sz=-

/2m+10-1m+10-100(a)无外磁场(b)有外磁场（3）光谱线分裂2p1sSz=/2Sz=-