北师大版数学九年级上册 2.1认识一元二次方程

2.1

认识一元二次方程

第二章

一元二次方程第1课时

一元二次方程复习引入没有未知数1.下列式子哪些是方程？2+6=82x+35x+6=22x+3y=8x-5＜18代数式一元一次方程二元一次方程不等式分式方程2.什么叫方程？我们学过哪些方程？含有未知数的等式叫做方程.

我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程(组)及分式方程，其中前两种方程属于整式方程.3.什么叫一元一次方程？

含有一个未知数，且未知数的次数是

1的整式方程叫做一元一次方程.想一想：什么是一元二次方程呢？一元二次方程的相关概念问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为

8m，宽为

5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为

18m2

的地毯

，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？解：如果设所求的宽为x

m，那么地面中央长方形地毯图案的长为

m，宽为

m，根据题意，可得方程：(8-2x)(5-2x)xx(8–2x)xx(5–2x)(8-

2x)(

5-

2x)=18.化简：2x2-

13x+11=0

.①该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？问题2：观察下面等式：102+112+122=132+142你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？解：如果设五个连续整数中的第一个数为

x，那么后面四个数依次可表示为：

，

，

，

.

根据题意，可得方程：

x+1x+2x+3x+4x2+

(x+1)2+

(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.化简得，x2-8x

-20＝0.②该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙

m.如果设梯子底端滑动

xm，那么滑动后梯子底端距墙

m，根据题意，可得方程：问题3：如图，一个长为

10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为

8m.如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？6(x+6)72+(x+6)2

=102.化简得，x2+12

x

-

15=0.③10m8m1mxm该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？①2x2-

13x+11=0；②x2-8x

-20＝0；③x2+12

x

-

15=0.1.只含有一个未知数；

2.未知数的最高次数是2；3.整式方程．观察与思考方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？特点:只含有一个未知数

x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.ax2+bx

+c

=0(a，b，c为常数，a≠0).其中，ax2

称为二次项，a

称为二次项系数；bx

称为一次项，b

称为一次项系数；

c

称为常数项.知识要点一元二次方程的概念

一元二次方程的一般形式

想一想为什么一般形式

ax2+bx+c=0中要限制

a

≠

0？b，c可以为0吗？当

a=0时，bx＋c=0，当

a≠0，b=0

时，ax2＋c=0，当

a≠0，c

=0

时，ax2＋bx=0，当

a≠0，b

=c

=0

时，ax2

=0，总结：只要满足

a≠0即可，b，c

可以为任意实数.不符合定义；符合定义；符合定义；符合定义．典例精析例1

下列选项中，是关于

x

的一元二次方程的是（

）C不是整式方程含两个未知数化简为

x2-3x+2=0化简为

-1=

12x+

9

判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；若是，则进一步化简整理再做判断.提示判断下列方程是否为一元二次方程？(2)x3+x2=36(3)x+3y=36(5)x+1=0

××××

××(1)x2+x=36注意：未限定

a≠0例2a为何值时，下列方程为关于

x的一元二次方程？(1)ax2－x=2x2(2)(a－1)x|a|+1－2x－7=0.解：(1)将方程整理，得

(a-2)x2

-

x=0，所以当

a

-

2≠0，即

a

≠

2时，原方程是一元二次方程.

(2)由

|a|+1=2，且

a

-

1≠0知，当

a=-1时，原方程是关于

x的一元二次方程.

方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，按照未知数的最高次数等于2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于0的参数值即可求解．变式方程(2a－4)x2−2bx+a=0，

（1）在什么条件下此方程为关于

x的一元二次方程？（2）在什么条件下此方程为关于

x的一元一次方程？解：(1)当2a−4≠0，即

a≠2时，是关于

x的一元二次方程；(2)当

a=2且

b≠0时，是关于

x的一元一次方程．一元一次方程一元二次方程一般式相同点不同点思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ax+

b=0(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0)都是整式方程，且只含有一个未知数未知数最高次数是1未知数最高次数是2

例3

将方程

3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2

-

8x

-

10=0.

其中二次项是

3x2，系数是

3；一次项是

-8x，系数是

-8；常数项是

-10.系数和项均包含前面的符号.注意视频：一元二次方程一般式点击视频开始播放

1.

下列哪些是一元二次方程？是不是是不是不是是3x+2=5x-2；x2=0；(x+3)(2x

-

4)=x2；3y2=(3y+1)(y

-

2)；x2=x3+x2

-

1；3x2=5x

-

1.2.填空：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项-21313-540-53-23.关于

x

的方程(k2−1)x2＋

2(k−1)x＋2k＋

2＝0，当

k

时，是一元二次方程．当

k

时，是一元一次方程．≠±1＝−14.(1)如图，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径

x(cm)应满足的方程（其中

π

取3）；解：由挖去的圆的半径为

xcm，则它的面积为

3x2

cm2.整理，得根据题意，得200cm150cm(2)如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率

x应满足的方程.解：由该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为

x，整理，得根据题意，得一元二次方程概念是整式方程；含一个未知数；最高次数是

2.一般形式ax2

+bx+c=0(a≠0)

其中(a≠0)是一元二次方程的前提条件2.1

认识一元二次方程第二章

一元二次方程第2课时

一元二次方程的解及其估算问1：一元二次方程有哪些特点？①只含有一个未知数；

②未知数的最高次数是2；

③整式方程问2：一元二次方程的一般形式是什么？ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，

a≠0)复习引入一元二次方程的根一元二次方程的根

使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.练一练：下面哪些数是方程x2–x–6=0

的解？

-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.解：3和

-2.你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个解(根).

例4

已知

a

是方程x2+2x－2=0

的一个实数根，求2a2

+4a+2022

的值.解：由题意得方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值.2.已知关于

x

的一元二次方程

x2

+

ax

+

a

=

0

的一个根是

3，求

a

的值.解：由题意把

x

=

3

代入方程

x2

+

ax

+

a

=

0，得32

+

3a

+

a

=

0，即

4a

=

-9.1.已知方程

5x²+mx

-

6=0

的一个根为4，则

m的值为练一练_______．一元二次方程解的估算问题1：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度

x满足方程(8-

2x)(5

-

2x)=18，你能求出这个宽度吗？(1)x

可能小于

0

吗？说说你的理由．(2)x可能大于

4

吗？可能大于

2.5

吗？说说你的理由.不能，因为x代表宽度，小于

0不符合实际.（3）完成下表：x00.511.52(8-2x)(5-2x)（4）你知道地毯花边的宽

x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流．410182840(1)小明认为底端也滑动了

1m，他的说法正确吗？为什么？(2)底端滑动的距离可能是

2m

吗？可能是

3m

吗？为什么？问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离

x满足方程x2+

12x

-

15=0.10m8m1mxm你能猜出滑动距离

x的大致范围吗？下面是小亮的求解过程：x0

0.5

11.52…x2

+12x-15-

15-8.75-25.2513…可知

x取值的大致范围是:1＜x＜1.5.进一步计算：故

1.1＜x＜1.2，因此

x整数部分是

1，十分位部分是

1．x1.11.21.31.4x2+12x-15-0.590.842.293.76用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：①在未知数

x

的取值范围内排除一部分取值；②根据题意所列的具体情况再次进行排除；③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选；④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.

规律方法

上述求解是利用了“两边夹”的思想归纳总结

例2一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必需在距水面5m以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间

t(s)和运动员距水面的高度

h(m)满足关系:h＝10＋2.5t－5t2.那么他最多有多长时间完成规定动作？5＝10＋2.5t－5t2.2t2－t－2＝0.即解：根据题意得列表如下：由此看出，可以使

2t2

-

t

-

2

的值为0的

t

的范围是1.2＜t＜1.3.故可知运动员完成规定动作最多有

1.3s.t…1.11.21.31.4…2t2

-

t-

2……

-0.68-0.320.080.52t…0123…2t2

-

t-

2……所以

1＜t＜2.进一步列表如下：-2-14131.请求出一元二次方程

x2

-2x

-1=0的正数根（精确到0.1）.解：（1）列表.依次取

x=0，1，2，3…由上表可发现，当

2＜x＜3时，-1＜

x2-

2x-1

＜2；x0123…x2

-

2x-1

-1-2-12…（2）继续列表，依次取

x=

2.1，2.2，2.3，2.4，2.5…由表发现，当

2.4＜x＜2.5时，-

0.04＜x2

-

2x

-

1＜0.25；（3）取

x=

2.45，则

x2

-

2x

-

1≈0.1025.∴2.4＜x＜2.45.∴x≈2.4.x2.22.32.42.5…x2

-

2x

-

1

-

0.79-

0.31-

0.040.25…2.根据题意，列出方程，并估算方程的解：一面积为120m2

的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？解：设苗圃的宽为

xm，则长为(x

+

2)m，根据题意得：x·(x+2)=120.即x2

+2x-120=0.120m2(x+2)mxm根据题意

x的取值范围大致是

0＜x＜11.由上可知，x的取值范围大致是

0＜x＜11.解方程

x2

+2x-120=0.完成下表(在

0＜x＜11这个范围内取值计算，逐步逼近):x……x2+

2x–

12