环保工程师-公共基础-高等数学-空间解析几何

环保工程师-公共基础-高等数学-空间解析几何[单选题]1.设α、β均为非零向量，则下面结论正确的是()。[2017年真题]A.α×β＝0是α与β垂直的充要条件B.α·β＝0（江南博哥）是α与β平行的充要条件C.α×β＝0是α与β平行的充要条件D.若α＝λβ（λ是常数），则α·β＝0正确答案：C参考解析：AC两项，α×β＝0是α与β平行的充要条件。B项，α·β＝0是α与β垂直的充要条件。D项，若α＝λβ（λ是常数），则α与β相互平行，则有α×β＝0。[单选题]2.设向量α与向量β的夹角θ＝π/3，模|α|＝1，|β|＝2，则模|α＋β|等于()。[2018年真题]A.B.C.D.正确答案：B参考解析：计算得：[单选题]3.若向量α，β满足|α|＝2，，且α·β＝2，则|α×β|等于()。[2016年真题]A.2B.C.D.不能确定正确答案：A参考解析：设两向量α，β的夹角为θ，根据α·β＝2，解得：故|α×β|＝|α||β|sinθ＝2。[单选题]4.已知向量α＝（－3，－2，1），β＝（1，－4，－5），则|α×β|等于()。[2013年真题]A.0B.6C.D.14i＋16j－10k正确答案：C参考解析：因为所以[单选题]5.过点（2，0，－1）且垂直于xOy坐标面的直线方程是()。[2019年真题]A.B.C.D.正确答案：C参考解析：垂直于xOy面的直线的方向向量为（0，0，1），由于过点（2，0，－1），则直线的点向式方程为：。[单选题]6.设直线方程为则该直线()。[2010年真题]A.过点（－1，2，－3），方向向量为i＋2j－3kB.过点（－1，2，－3），方向向量为－i－2j＋3kC.过点（1，2，－3），方向向量为i－2j＋3kD.过点（1，－2，3），方向向量为－i－2j＋3k正确答案：D参考解析：把直线方程的参数形式改写成标准形式：（x－1）/1＝（y＋2）/2＝（z－3）/（－3），则直线的方向向量为±（1，2，－3），过点（1，－2，3）。[单选题]7.下列平面中，平行于且与yOz坐标面非重合的平面方程是()。[2018年真题]A.y＋z＋1＝0B.z＋1＝0C.y＋1＝0D.x＋1＝0正确答案：D参考解析：D项，平面方程x＋1＝0化简为x＝－1，显然平行yOz坐标面，且不重合。ABC三项，均不平行于yOz坐标面。[单选题]8.已知直线L：x/3＝（y＋1）/（－1）＝（z－3）/2，平面π：－2x＋2y＋z－1＝0，则()。[2013年真题]A.L与π垂直相交B.L平行于π但L不在π上C.L与π非垂直相交D.L在π上正确答案：C参考解析：直线L的方向向量为±（3，－1，2），平面π的法向量为（－2，2，1），由于3/（－2）≠（－1）/2≠2/1，故直线与平面不垂直；又3×（－2）＋（－1）×2＋2×1＝－6≠0，所以直线与平面不平行。所以直线与平面非垂直相交。直线L与平面π的交点为（0，－1，3）。[单选题]9.设直线L为平面π为4x－2y＋z－2＝0，则直线和平面的关系是()。[2012年真题]A.L平行于πB.L在π上C.L垂直于πD.L与π斜交正确答案：C参考解析：直线L的方向向量为：即s＝（－28，14，－7）。平面π的法线向量为：n＝（4，－2，1）。由上可得，s、n坐标成比例，即（－28）/4＝14/（－2）＝（－7）/1，故s∥n，直线L垂直于平面π。[单选题]10.设直线方程为x＝y－1＝z，平面方程为x－2y＋z＝0，则直线与平面()。[2011年真题]A.重合B.平行不重合C.垂直相交D.相交不垂直正确答案：B参考解析：直线的方向向量s＝（1，1，1），平面的法向向量n＝（1，－2，1），两向量的数量积s·n＝1－2＋1＝0，则这两个向量垂直，即直线与平面平行。又该直线上的点（0，1，0）不在平面上，故直线与平面不重合。[单选题]11.yOz坐标面上的曲线绕Oz轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是()。[2016年真题]A.x2＋y2＋z＝1B.x2＋y2＋z2＝1C.D.正确答案：A参考解析：一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面为旋转曲面。若yOz平面上的曲线方程为f（y，z）＝0，将此曲线绕Oz轴旋转一周得到的旋转曲面方程为：又故x2＋y2＋z＝1。同理，曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为：[单选题]12.在空间直角坐标系中，方程x2＋y2－z＝0表示的图形是()。[2014年真题]A.圆锥面B.圆柱面C.球面D.旋转抛物面正确答案：D参考解析：在平面直角坐标系中，z＝x2为关于z轴对称的抛物线。因此可考虑将该抛物线绕Oz轴旋转一周所形成的曲面方程：代入z＝x2得即x2＋y2－z＝0。因此方程x2＋y2－z＝0表示的图形为在面xOz内的抛物线z＝x2绕z轴旋转得到的图形，即旋转抛物面。[单选题]13.方程x2－y2/4＋z2＝1，表示()。[2012年真题]A.旋转双曲面B.双叶双曲面C.双曲柱面D.锥面正确答案：A参考解析：方程x2－y2/4＋z2＝1，即x2＋z2－y2/4＝1，可由xOy平面上双曲线绕y轴旋转得到，或可由yOz平面上双曲线绕y轴旋转得到。即该方程表示旋转双曲面。[单选题]14.在三维空间中方程y2－z2＝1所代表的图形是()。[2011年真题]A.母线平行x轴的双曲柱面B.母线平行y轴的双曲柱面C.母线平行z轴的双曲柱面D.双曲线正确答案：A参考解析：由于表示在x＝0的平面上的双曲线，故三维空间中方程y2－z2＝1表示双曲柱面，x取值为﹙－∞，＋∞﹚，即为母线平行x轴的双曲柱面。[单选题]15.设有直线L1：（x－1）/1＝（y－3）/（－2）＝（z＋5）/1与L2：则L1与L2的夹角θ等于()。[2014年真题]A.π/2B.π/3C.π/4D.π/6正确答案：B参考解析：由题意可知1＝（m1，n1，p1）＝（1，－2，1）将L2的参数形式改为标准形式：（x－3）/（－1）＝（y－1）/（－1）＝（z－1）/2所以2＝（m2，n2，p2）＝（－1，－1，2）所以L1与L2的夹角θ＝π/3。[单选题]16.曲线x2＋4y2＋z2＝4与平面x＋z＝a的交线在yOz平面上的投影方程是()。[2012年真题]A.B.C.D.（a－z）2＋4y2＋z2＝4正确答案：A参考解析：在yOz平面上投影方程必有x＝0，排除B项。令方程组为：由式②得：x＝a－z。将上式代入式①得：（a－z）2＋4y2＋z2＝4，则曲线在yOz平面上投影方程为：[单选题]17.设α、β、γ都是非零向量，若α×β＝α×γ，则()。A.β＝γB.α∥β且α∥γC.α∥（β－γ）D.α⊥（β－γ）正确答案：C参考解析：根据题意可得，α×β－α×γ＝α×（β－γ）＝0，故α∥（β－γ）。[单选题]18.已知a、b均为非零向量，而|a＋b|＝|a－b|，则()。A.a－b＝0B.a＋b＝0C.a·b＝0D.a×b＝0正确答案：C参考解析：由a≠0，b≠0及|a＋b|＝|a－b|知，（a＋b）·（a＋b）＝（a－b）·（a－b）。即a·b＝－a·b，所以a·b＝0。[单选题]19.设三向量a，b，c满足关系式a·b＝a·c，则()。A.必有a＝0或b＝cB.必有a＝b－c＝0C.当a≠0时必有b＝cD.a与（b－c）均不为0时必有a⊥（b－c）正确答案：D参考解析：因a·b＝a·c⇒a·（b－c）＝0⇒a＝0或b－c＝0或a⊥（b－c）。当a与（b－c）均不为0时，有a⊥（b－c）。[单选题]20.设向量x垂直于向量a＝（2，3，－1）和b＝（1，－2，3），且与c＝（2，－1，1）的数量积为－6，则向量x＝()。A.（－3，3，3）B.（－3，1，1）C.（0，6，0）D.（0，3，－3）正确答案：A参考解析：由题意可得，x∥a×b，而所以x＝（x，－x，－x）。再由－6＝x·c＝（x，－x，－x）·（2，－1，1）＝2x，得x＝－3，所以x＝（－3，3，3）。[单选题]21.直线L1：与L2：之间的关系是()。A.L1∥L2B.L1，L2相交但不垂直C.L1⊥L2但不相交D.L1，L2是异面直线正确答案：A参考解析：直线L1与L2的方向向量分别为：又3/（－9）＝1/（－3）＝5/（－15），故l1∥l2，即L1∥L2。[单选题]22.已知直线方程中所有系数都不等于0，且A1/D1＝A2/D2，则该直线()。A.平行于x轴B.与x轴相交C.通过原点D.与x轴重合正确答案：B参考解析：因A1/D1＝A2/D2，故在原直线的方程中可消去x及D，故得原直线在yOz平面上的投影直线方程为在yOz平面上的投影过原点（将原点坐标（0，0，0）代入直线方程），故原直线必与x轴相交。又因D1，D2≠0，将（0，0，0）代入直线方程可知直线不过原点。[单选题]23.已知直线L1过点M1（0，0，－1）且平行于x轴，L2过点M2（0，0，1）且垂直于xOz平面，则到两直线等距离点的轨迹方程为()。A.x2＋y2＝4zB.x2－y2＝2zC.x2－y2＝zD.x2－y2＝4z正确答案：D参考解析：两直线的方程为：L1：x/1＝y/0＝（z＋1）/0，L2：x/0＝y/1＝（z－1）/0。设动点为M（x，y，z），则由点到直线的距离的公式知：（其中li是直线Li的方向向量，Mi是直线Li上的一点），所以：由d1＝d2得：d12＝d22，故（z＋1）2＋y2＝（z－1）2＋x2，即x2－y2＝4z。[单选题]24.在平面x＋y＋z－2＝0和平面x＋2y－z－1＝0的交线上有一点M，它与平面x＋2y＋z＋1＝0和x＋2y＋z－3＝0等距离，则M点的坐标为()。A.（2，0，0）B.（0，0，－1）C.（3，－1，0）D.（0，1，1）正确答案：C参考解析：A项，点（2，0，0）不在平面x＋2y－z－1＝0上；B项，点（0，0，－1）不在平面x＋y＋z－2＝0上；D项，点（0，1，1）与两平面不等距离。[单选题]25.设平面α平行于两直线x/2＝y/（－2）＝z及2x＝y＝z，且与曲面z＝x2＋y2＋1相切，则α的方程为()。A.4x＋2y－z＝0B.4x－2y＋z＋3＝0C.16x＋8y－16z＋11＝0D.16x－8y＋8z－1＝0正确答案：C参考解析：由平面α平行于两已知直线可得，平面α的法向量为：n＝（2，－2，1）×（1，2，2）＝－3（2，1，－2）。设切点为（x0，y0，z0），则切点处曲面的法向量为（2x0，2y0，－1），故2/（2x0）＝1/（2y0）＝（－2）/（－1），由此解得x0＝1/2，y0＝1/4，从而z0＝x02＋y02＋1＝21/16，因此α的方程为：2（x－1/2）＋（y－1/4）－2（z－21/16）＝0，即16x＋8y－16z＋11＝0。[单选题]26.三个平面x＝cy＋bz，y＝az＋cx，z＝bx＋ay过同一直线的充要条件是()。A.a＋b＋c＋2abc＝0B.a＋b＋c＋2abc＝1C.a2＋b2＋c2＋2abc＝0D.a2＋b2＋c2＋2abc＝1正确答案：D参考解析：由于三个平面过同一直线，线性齐次方程组有无穷解，即行列式解得a2＋b2＋c2＋2abc＝1。[单选题]27.通过直线和直线的平面方程为()。A.x－z－2＝0B.x＋z＝0C.x－2y＋z＝0D.x＋y＋z＝1正确答案：A参考解析：化直线的参数方程为标准方程得：（x＋1）/2＝（y－2）/3＝（z＋3）/2，（x－3）/2＝（y＋1）/3＝（z－1）/2，因点（－1，2，－3）不在平面x＋z＝0上，故可排除B项；因点（3，－1，1）不在x－2y＋z＝0和x＋y＋z＝1这两个平面上，故可排除CD两项，选A项。由于题目所给两条直线的方向向量相同，故为两条平行直线，且已知两个点分别为（－1，2，－3）和（3，－1，1），过这两个已知点的直线方程的方向向量为：（4，－3，4），故可求得通过这三条直线（两条平行线和一条与平行线相交的直线）平面的法向量为：故平面方程为18x－18z＋D＝0，代入点（－1，2，－3）解得：D＝－36，故平面方程为x－z－2＝0。[单选题]28.过点（－1，2，3）垂直于直线x/4＝y/5＝z/6且平行于平面7x＋8y＋9z＋10＝0的直线是()。A.（x＋1）/1＝（y－2）/（－2）＝（z－3）/1B.（x＋1）/1＝（y－2）/2＝（z－3）/2C.（x＋1）/（－1）＝（y－2）/（－2）＝（z－3）/1D.（x－1）/1＝（y－2）/（－2）＝（z－3）/1正确答案：A参考解析：直线x/4＝y/5＝z/6的方向向量为s＝4，5，6，平面7x＋8y＋9z＋10＝0的法向量为n＝7，8，9。显然ABC三项中的直线均过点（－1，2，3）。A项中直线的方向向量为s1＝（1，－2，1），有s1⊥s，s1⊥n，可见A中直线与已知直线x/4＝y/5＝z/6垂直，与平面7x＋8y＋9z＋10＝0平行。[单选题]29.若直线（x－1）/1＝（y＋1）/2＝（z－1）/λ与（x＋1）/1＝（y－1）/1＝z/1相交，则必有()。A.λ＝1B.λ＝3/2C.λ＝－4/5D.λ＝5/4正确答案：D参考解析：如果两直线相交，则这两条直线的方向向量与这两条直线上两点连线构成的向量应在同一平面上，由此来确定λ。点A（1，－1，1），B（－1，1，0）分别为两条直线上的一点，则两条直线的方向向量分别为s1＝（1，2，λ），s2＝（1，1，1），这三个向量应在同一个平面上，即：解得：λ＝5/4。[单选题]30.已知曲面z＝4－x2－y2上点P处的切平面平行于平面π：2x＋2y＋z－1＝0，则点P的坐标是()。A.（1，－1，2）B.（－1，1，2）C.（1，1，2）D.（－1，－1，2）正确答案：C参考解析：即求曲面S：F（x，y，z）＝0，其中F（x，y，z）＝z＋x2＋y2－4上点P使S在该点处的法向量n与平面π：2x＋2y＋z－