蒋中一动态最优化基础

第一章动态最优化的性质第二章变分法的基本问题路径值集合（实线）允许的路径集合（曲线）泛函的概念通常函数：从实数到实数的映射。泛函：从路径（曲线）到实数的映射。目标泛函的概念连续时间路径上识别一条弧，需要三样信息：无限小的一条弧（1）开始时间（2）开始状态（3）弧的前进方向存在某个函数F，将弧值赋予弧，即从无限小的弧(曲线)到弧值(实数)的影射，表示为：目标泛函就是弧值之和：例：垄断企业的利润函数垄断企业的动态需求函数：垄断企业的总收益函数：垄断企业的总成本函数：垄断企业的总利润函数：加总T期的总利润函数，得到目标泛函：如果收益函数或成本函数随时间变化，目标泛函：第一节欧拉方程变分法的基本问题最大化或最小化一、欧拉方程的推导变为：一、欧拉方程的推导（2.14）步骤1首先用来表示V，并求导：我们得到极值曲线的必要条件的更具体的形式：莱布尼兹法则：对于函数步骤2和令和。于是我们得到：把这些表达式代入（2.15），其中a=0，b=T。我们得到：（2.15）根据分部积分公式：以上推导得到：步骤3由于是任意的，因此可以得到：对于所有或对于所有欧拉方程（2.17)以上推导得到：对推导得到的进行整理：步骤4因为F是一个具有三个自变量的函数所以偏导数也是具有三个同样自变量的函数。把它代入(2.18)式，即，得：以上推导得到欧拉方程：欧拉方程的另一种形式具有边界条件：例1求下列泛函的极值曲线。根据欧拉方程，可得：根据直接积分，得因此，极值曲线为：具有边界条件：例2求下列泛函的极值曲线。根据欧拉方程，可得：根据直接积分，得10yt01根据水平终结线的横截条件：代入水平终结线横截条件。和（在t=T处）通解为一、多个状态变量的情况第二节欧拉方程的推广当给定问题中具有个状态变量时，泛函变为：并且对于每个状态变量都有一对初始条件和终结条件。个变量的欧拉方程组为：对于所有这几个方程与边界条件一起,可以确定解二、高阶导数的情况那么高阶导数泛函可以转化为多个状态变量的泛函:考虑一个含有的高阶导数的泛函，即：并且都有一对初始条件和终结条件,即共有个边界条件。可以转化为含有个状态变量及其一阶导数的一个等价函数：一、社会损失函数第三节通货膨胀和失业之间的折衷与的关系用附加预期的菲利普斯曲线来表示：预期通胀率的形成被假定为自适应的：其中，表示预期通货膨胀率。其中，为实际收入，为理想实际收入，为实际通货膨胀率。社会损失函数为：由（2.40)式和(2.41)式，得：重新整理，得：（2.42)式代入(2.40)式，得：（2.42)和(2.43)式代入(2.39)式，得社会损失函数：二、问题三、解路径满足二阶导数：政策制定者的目标：最大化和被积函数为：F的一阶导数：公式（2.19）给出了具体的必要条件：其中由于这个方程是齐次的，它的特解是0，它的通解是它的余函数：[通解]其中并且可知，和设和，并利用边界条件得：解这两个方程，得：[欧拉方程]第三章可变端点横截条件预备知识：对定积分的求导对于函数（1）莱布尼兹法则——对定积分的求导（2.6)（2）积分上限函数的求导（2.8)由积分中值定理得证：（3）对积分下限函数求导证：根据对积分上限函数求导的公式，得：（2.9)(4)如果定积分具有如下形式：根据（2.6）式和（2.8）式，得：（2.11)可变终结点问题：假设是已知的最优终结时间，在邻近的任何值可以表示为由于已知并且是一个预选的量，所以，T可被视为的一个函数，其导数为第一节一般性横截条件T是的一个函数，所以函数V中积分上限随着的变化而变化。最大化或最小化推导一般的横截条件：步骤1（3.6）（3.6）式第二项:根据上一章的推导过程,得（3.6）式第一项:把这些代入(3.6)，并令，得：第40页（3.7）步骤2通过把转化为含和（3.8）步骤3把（3.8）式代入（3.7），得：（3.7）欧拉方程一般横截条件（3.8）第2步骤推导得到：第1步骤推导得到：特殊横截条件垂直终结线（固定时间水平问题）以上推导得到一般横截条件：垂直终结线涉及一个固定的T，从而又因为是任意的，就产生的横截条件：垂直终结线的横截条件第二节特殊横截条件特殊横截条件水平终结线（固定端点问题）一般横截条件又因为是任意的，就产生的横截条件：水平终结线的横截条件水平终结线涉及一个固定的，从而特殊横截条件终结曲线一般横截条件把该式代入一般横截条件，得：终结曲线的横截条件终结曲线，和都未被赋予零值。又因为是任意的，就产生的横截条件：特殊横截条件截断垂直终结线一般横截条件对点Z1，即，那么终结限制自动被满足，可直接使用截断终结线条件：对点Z2和Z3，即。最大化问题的截断垂直终结线横截条件(对于最大化V的问题)特殊横截条件截断垂直终结线一般横截条件对点Z1，即，那么终结限制自动被满足，可直接使用截断终结线条件：对点Z2和Z3，即。最大化问题的截断垂直终结线横截条件(对于最小化V的问题)即在约束的情况下求的最大化。根据求最大值的库恩塔克条件，得：库恩塔克条件：特殊横截条件截断水平终结线一般横截条件Tmax对点M1，即，那么终结限制自动被满足，可直接使用截断终结线条件：对点M2和M3，即，那么终结限制才被满足。最大化问题截断水平终结线的横截条件(对于V的最大化)特殊横截条件截断水平终结线一般横截条件Tmax对点M1，即，那么终结限制自动被满足，可直接使用截断终结线条件：对点M2和M3，即，那么终结限制才被满足。最大化问题截断水平终结线的横截条件(对于V的最大化)在约束的情况下求的最大化。根据求最大值的库恩塔克条件，得：Tmax即点M2和M3：具有边界条件：例2求下列泛函的极值曲线。根据欧拉方程，可得：根据直接积分，得10yt01根据水平终结线的横截条件：代入水平终结线横截条件。和（在t=T处）通解为第三节横截条件的推广（一）一个可变初始点如果初始点是可变的，那么边界条件不再成立。需要一个初始横截条件来填补这个空白。（二）多个状态变量情形当目标函数出现多个状态变量时，被积函数表示为：一般横截条件为：当目标函数只有一个状态变量时，被积函数为：一般横截条件为：（二）高阶导数的情况泛函具有被积函数，经济学中很少出现高阶导数的情况。以被积函数为例，一般横截条件为：第四章二阶条件第一节二阶条件二阶充分条件：一阶导数等于零，得到极值线的必要条件的欧拉方程以及横截条件。对于极大值对于极小值二阶必要条件：对于极大值对于极小值根据（2.13）式V的二阶导数的推导：此时，

取极大值。因此，可以得到二阶充分条件：负定是

取极大值的充分条件。正定是

取极小值的充分条件。类似地，可以得到二阶必要条件：半负定是

取极大值的充分条件。半正定是

取极小值的充分条件。一、固定端点的充分性定理对于固定端点问题，如果被积函数关于是凹的，那么欧拉方程对于识别是一个最大值是充分的。如果关于是凸的，那么欧拉方程对于识别是一个最小值是充分的。第二节凹性/凸性条件判别多元函数的凹凸性：将弱不等号和变换成严格不等号和，上述定义适用于严格凹函数和严格凸函数的定义。对于定义域中任意给定点和另一个点，当且仅当时，为凹函数凸函数其中在计算其值。固定端点的充分性定理的证明证明：当函数是凹的，当且仅当对于区域中任意一对分离点和，我们有：这里的代表最小路径，代表任意路径。（4.4）对（4.4）式两边积分，得：（4.5)使用(2.16)式如果函数F关于是严格凹的，那么（4.4）和（4.5）中的弱不等式变为强不等式，结果表明是唯一的V的最大值。同样，一个严格凸函数F也将使成为唯一的最小值。（4.5)式二、可变终结点的充分性定理在垂直终结线或截断垂直终结线问题中，如果被积函数F关于是凹（凸）的，那么，欧拉方程加上横截条件足以确定的最大（小）值。(2.16)式证明：垂直终结线的横截条件：垂直截断终结线的横截条件：第一种情况（Z1点）：第二种情况（Z2和Z3点）：上页证明得到：转化为固定终结点问题。三、检验凹性/凸性函数是凹（凸）的，当且仅当二次型在任何地方都是负（正）半定的；函数是严格凹（凸）的，当（但不是仅当）在任何地方都是负（正）定的。任何地方是指在的空间中的所有点和所有时刻都成立。二次型符号的定性和半定性可以用行列式检验和特征根检验来检查。二次型符号定性的行列式检验二次型的行列式:q的负定性它的主子式：q的正定性是严格凹的是严格凸的（4.7）二次型符号半定性的行列式检验二次型的行列式:q的负半定性它们的主子式：q的正半定性是凹的是凸的通称为通称为二次型符号定性的特征根检验二次型的特征方程:q的负定性q的正定性是严格凹的是严格凸的由（4.7）求解特征方程的特征根和。q的负半定性q的正半定性是凹的是凸的用两种方法来检验的凹性/凸性。例1如果目标泛函的被积函数是

欧拉方程对于最大化或最小化是充分的吗？第一种方法：符号（半）定性的行列式检验。和一阶导数：二阶导数：符号定性检验：二次型q不是正定的。二次型q是半正定的。即第三节勒让德必要条件最大化对于所有最小化对于所有根据勒让德必要条件证明（对于固定端点问题）：即使保持很小的值，的斜率也可以取非常大的绝对值。为了得到较大的值，通常也必须取较大的绝对值。结论：项倾向于占主导地位。最大化上页证明得到：（4.28）第四节一阶变分和二阶变分在点附近展成泰勒级数：因为（4.30）中的第一项积分被称为一阶变分,表示为（4.30）中的第二项积分被称为二阶变分,表示为欧拉方程二阶必要条件

若函数在含的某个开区间内有直到阶的导数，则当在内时，函数可表示为的一个次多项式与一个余项之和，即：其中的余项附录：泰勒公式一阶条件：第二章至第四章小结在固定端点的情况下欧拉方程在可变终结点（终结状态或终结时间可变）的情况下欧拉方程二阶条件(对于目标泛函V)二阶充分条件二阶必要条件（勒让德必要条件）对于极大值对于极大值对于极大值对于所有对于极大值检验（被积函数F的）凹性/凸性：对于固定端点、垂直终结线和截断垂直终结线问题，如果被积函数关于是凹的，那么欧拉方程对于识别是一个最大值是充分的。注：二阶条件的计算在极值曲线上取值，凹性/凸性检验的计算在可行域任意点取值。第五章无限计划水平第一节无限水平的方法问题第二节案例——艾斯纳-斯特罗兹模型第三节相图分析第四节凹性/凸性条件第一节无限水平的方法问题一、目标泛函的收敛性条件Ⅰ给定广义积分，如果被积函数F在整个积分区间是有限的，而且如果F在某个有限时刻比如说处达到零且对于所有保留为零，那么此积分将收敛。尽管此积分名义上具有一个无限水平，但是此积分的有限上限是一个有限值，这样，给定的广义积分实际上简化为一个普通积分，它将积分到一个有限值。考虑以下两个积分：条件Ⅱ（错）给定广义积分，如果当时，那么此积分将收敛。

和当时每一个被积函数都趋于零。但是

收敛，不收敛。条件Ⅲ在积分中，如果被积函数具有形式，其中是正的折现率，而且函数是有界的，那么此积分将收敛。

横截条件的问题有限水平的一般横截条件：无限水平的一般横截条件：这里两项中任一项都必须单独趋于零，即：（表示终结时间是可变的）（表示终结状态是可变的）无限水平特殊横截条件：设定一个渐近终结状态。（表示终结时间是可变的）（表示终结状态是不变的）注：有限水平的横截条件不一定适用于无限水平，解决方法是用经济学原理来决定的终结状态是什么。第二节案例——艾斯纳-斯特罗兹模型其中，被积函数为调整成本C随扩张速度而正向变化，调整成本函数为：企业利润率与企业规模K相关，利润函数为：企业目标是选择路径来最大化企业净利润，即：代入欧拉方程，得：（5.17）导数是：通解是其中和以上求得通解是代入初始条件，得：企业最高利润率的设备规模为：通解是其中因此，最终可以得到最优K路径是：（5.21）对于一个无限水平，如果没有固定的时间T，即终结时间是可变的，则：被积函数为导数为横截条件：通解是通解的导数为（5.22）把和代入（5.22）式，得：因为，所以得到：与上页的结论一致。最优投资路径与灵活加速因子因此,最优投资路径为：以上推导得到最优K路径：(5.21)(5.23)(5.23)式描述了灵活加速因子机制，即通过投资的调整来逐步消除最优路径与目标资本的差异。第三节相图分析再一次讨论艾斯纳—斯特罗兹模型（5.17）其中，被积函数为求解得到欧拉方程为：我们引入一个变量I（净投资）：(5.17)式欧拉方程可写为含两个一阶条件的方程组：（5.34）（5.34）以上推导得到两一阶条件的方程组：曲线的方程：曲线的方程：

左边，箭头指向上；

右边，箭头指向下。第四节凹性/凸性条件对于有限水平的固定端点问题，被积函数关于变量是凹（凸）的，那么，欧拉方程对于绝对最大值（最小值）是充分的。对于有限水平问题，终结时间是固定的而终结状态是可变的，被积函数关于变量是凹（凸）的，并且，，那么，欧拉方程对于绝对最大值（最小值）是充分的。第101页倒数第一个公式（在可变终结点的情况下证明被积函数为凹函数是绝对极大值的充分条件）：对于无限水平问题，被积函数关于变量是凹（凸）的，并且，，那么，欧拉方程对于绝对最大值（最小值）是充分的。应用于艾斯纳-斯特罗兹模型被积函数为导数是：1.凹性/凸性检验海塞行列式的各阶主子式：因此，被积函数F关于变量是严格凹的。2.充性条件检验代入得：第六章约束问题第一节约束的四种基本类型第二节经过重构的某些经济学应用第一节约束的四种类型一、等式约束最大化问题：满足一组m个独立但一致的约束（m<n）：对原始被积函数构造一个拉格朗日函数：在目标函数中用代替F给出了新函数：把拉格朗日乘子作为附加状态变量，每一个满足一个欧拉-拉格朗日方程：与相联系的欧拉-拉格朗日方程：由于独立于任意，所以对于每个都有例1找出位于曲面上的在给定两点和之间的最短路径。解：两点之间的距离用来度量。最小化满足和构造拉格朗日被积函数的偏导数：欧拉-拉格朗日方程：该题变成约束条件：二、微分方程约束最大化满足拉格朗日被积函数仍为：和适当的边界条件关于状态变量的欧拉-拉格朗日方程：关于拉格朗日乘子的欧拉-拉格朗日方程：个欧拉-拉格朗日方程和个约束条件共同决定个路径和。三、不等式约束最大化满足我们把拉格朗日函数写为：和适当的边界条件上页得到拉格朗日函数：与相联系的欧拉-拉格朗日方程：为了确保所有的项在解中消失为零（以使的最优值与F的最优值相等），我们需要在第个乘子与第个约束之间对所有都建立互补-松弛条件：四、等周问题下面以单个状态变量和单个积分约束为例：和适当的边界条件最大化满足我们可以写出拉格朗日函数：我们定义函数分别有上页得到拉格朗日函数：对应的欧拉-拉格朗日方程：（6.18）（6.17）（6.18）式可以简化为：（6.16）（6.17）式可以表示为:上页推导得到的欧拉-拉格朗日方程：因此，可以写成不含的修正拉格朗日函数：（6.20）（6.20）式对应的欧拉-拉格朗日方程为：对于个状态变量、个积分约束的修正拉格朗日函数：第七章最优控制第一节最大值原理第二节其他终结条件第三节变分法与最优控制的比较第四节政治商业周期导入例子最大化满足和自由表示资源的储量表示时间时这种资源的抽取速度表示使用资源带来的总效用状态变量是用来描述某一状态范围内所给定的变量，在状态不变的情况下，状态变量的值也就是一定的。控制变量是引起状态变量变动的变量。变分法是寻求状态变量的最优时间路径，最优控制理论把决定控制变量的最优时间路径作为首要任务。自由端点问题（垂直终结线）：最大化满足和，对于所有的自由（A、T给定）汉密尔顿函数：解决最优控制问题的工具是汉密尔顿函数。

包含被积函数加上共积变量与函数的乘积。第一节最大值原理（一）最大值原理对于所有的的运动方程的运动方程横截条件关于最大化的这种要求称为最大值原理。曲线1有内部解；曲线2和3有边界解。最大化满足和（给定）根据运动方程：所以步骤1推导新的目标泛函证明思路：由原泛涵推导出新泛涵，根据新泛涵推导得到最大值原理的三个条件和一般横截条件。（二）最大值原理的证明

把汉密尔顿函数定义为：则新泛函为：根据分部积分公式新泛函为：上页推导得到：根据汉密尔顿函数，得：状态变量的运动方程最大化满足和（给定）推导得到最大值原理的条件之一步骤2推导状态变量的运动方程以上两个方程右边相同，因此左边相等：以上推导得到：的邻近路径：的邻近路径：更进一步，如果与都是可变的，则有：新目标泛函的新形式：步骤3推导新目标泛函的另一种形式上页推导得到

的第一项对求导，得：

的后两项对求导，得：令，即（7.28）与（7.29）的和设为零得：(7.28)(7.29)(7.30)步骤4令推导另外两个条件和横截条件(7.30)由于是任意的，因此：推导得到最大值原理的条件之二由于是任意的，因此：推导得到最大值原理的条件之三由于积分项（即第一项）为零，因此：推导得到最大值原理的一般横截条件上页推导得到：第二节其他终结条件固定终结点的横截条件：（和给定）水平终结线的横截条件：一般横截条件：（7.30）终结曲线的横截条件：终结曲线一般横截条件：（7.30）一般横截条件：（7.30）截断垂直终结线：对于情况一情况二对于令，根据库恩塔克条件对于综合情况一和二：情况一情况二一般横截条件：对于（7.30）截断水平终结线：情况一情况二综合情况一和二：对于情况一情况二例1最大化满足和步骤1汉密尔顿函数：的解是最大化（7.39)步骤2可以得到通解：汉密尔顿函数：（任意）（7.40)例1最大化满足和步骤3解方程：该方程属于这种类型。这里的和根据标准公式,它的解如下:（7.41)把(7.39)和(7.40)代入状态变量的运动方程，得：（7.39)（7.40)以上推导得到：步骤4根据边界条件和代入，得：把这些代入(7.41)、(7.40)和(7.39)得：以上推导得到：（7.39)（7.40)（7.41)第三节变分法与最优控制的比较一、最简单的问题最大化满足和运动方程具有如下简单形式，并且的选择是无约束的。一个特例最大化满足把运动方程代入被积函数，我们可以消去，以上最优控制问题可以重新写成变分法问题：最大化满足最优控制问题：二、变分法与最优控制的比较最大化满足（7.2）最优控制问题：汉密尔顿函数是：最大值原理可列出下列条件：（7.56）第一个方程可重写为，考虑到第二个方程，它进一步可写为：（7.57）（7.57）关于

求导，得：第三个方程给出了的另一个表达式,因此得：欧拉方程上页推导得到：当关于最大化汉密尔顿函数时，除了满足一阶条件之外，还要满足二阶必要条件。这就是勒让德必要条件。最优控制垂直终结线的横截条件：以上推导得到：（7.57）把（7.57）式代入该横截条件，得：这就是变分法垂直终结线的横截条件。最优控制水平终结线的横截条件：根据以上例子的汉密尔顿函数，最优控制水平终结线的横截条件可变为：（7.56）把（7.56）和（7.57）式代入该横截条件，得：这就是变分法水平终结线的横截条件。第四节政治商业周期一、选举函数与菲利普斯曲线选举函数：为失业率，为通货膨胀率。菲利普斯曲线：其中，表示预期通货膨胀率。其中，度量执政党的得票能力。预期通货膨胀率按照适应性预期理论生成：最大化满足（7.61）最优控制问题：为了定量求解，诺德豪斯假设如下函数形式：二、最优控制问题和最大化满足（7.64）最优控制问题：和（7.62）（7.63）三、最大化汉密尔顿函数最大化满足（7.64）最优控制问题：和汉密尔顿函数为：关于控制变量U最大化H，我们有一阶条件：二阶条件：（7.66）因此,（7.66）式的控制路径最大化了汉密尔顿函数。汉密尔顿函数：的运动方程：这是一阶非齐次线性微分方程，该方程的特解为：对应的一阶齐次线性微分方程的通解为：该一阶非齐次线性微分方程的通解为：根据垂直终结线的横截条件：代入(7.67)得最优共态路径：四、最优共态路径(7.67)五、最优控制路径以上得到最优共态路径：控制路径：(7.66)把代入（7.66）得到最优共态路径：是的减函数，因为预备知识一：对定积分的求导对于函数（1）莱布尼兹法则——对定积分的求导（2.6)（2）积分上限函数的求导（2.8)由积分中值定理得证：（3）对积分下限函数求导证：根据对积分上限函数求导的公式，得：（2.9)(4)如果定积分具有如下形式：根据（2.6）式和（2.8）式，得：（2.11)一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,称为非齐次方程

.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程

;预备知识二：一阶线性微分方程对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得例.解方程解:先解即积分得即用常数变易法求特解.则代入非齐次方程得解得故原方程通解为令第八章对最优控制的进一步讨论第一节现值汉密尔顿函数第二节充分条件第三节具有n个状态变量和m个控制变量的问题满足和最大化最优控制问题：汉密尔顿函数：静态最优化问题：最大化满足的最优值取决于、和：拉格朗日乘数的解值是由参数引起的约束条件变化对目标函数最优值影响的度量。对于任何时刻，是该时刻资本的影子价格。第一节现值汉密尔顿函数最优控制问题是：满足和边界条件在最优控制的运用中，被积函数F时常含有一个折现因子。这样一个函数F通常表示为：汉密尔顿函数：汉密尔顿函数出现了折现因子，增加了求导的复杂性。现值汉密尔顿函数：现值汉密尔顿函数可以定义为：定义一个新的（现值）拉格朗日乘子：即原来的汉密尔顿函数为：最优控制问题是：满足和边界条件修正的最大值原理：现值汉密尔顿函数等价于状态变量的运动方程：原来的汉密尔顿函数现值汉密尔顿函数根据原来共态变量的运动方程，得：共态变量的运动方程：修正的共态变量运动方程：横截条件：垂直终结线：水平终结线：艾斯纳—斯特罗兹模型：最大化满足和边界条件利润资本存量调整成本净投资现值汉密尔顿函数：是状态变量，是控制变量现值汉密尔顿函数：修正的最大化原理条件是：（8.20）（8.21）（8.22）根据（8.20）得：设逆函数为，则：（8.23）把（8.23）代入（8.21）得：（8.24）（8.22）和（8.24）两个方程，求和的路径。通过边界条件和横截条件确定任意常数，我们可以通过（8.23）求出最优控制路径。第二节充分条件一、曼加萨林充分性定理对于最优控制问题：满足和最大化如果(1)和函数都可微，而且关于变量是联合凹的；(2)若

关于或非线性，那么对于所有；若

关于和是线性的，那么不需要任何不等式约束。汉密尔顿函数：最优控制路径以及相应的和路径，必段满足最大值原理：初始条件和终结条件：(8.27)(8.28)(8.29)

和函数关于变量是凹的,于是,对于区域内的两个分离点和，我们有：对(8.30)式在两边积分，得：(8.27)(8.28)以上推导得到：(8.31)以上推导得到：根据分部积分公式把这个结果代入(8.31)，得：(8.31)以上推导得到：a)若

关于或非线性，那么；

b)若

关于和线性，那么无须不等式约束。曼加萨林充分性定理不但适用于垂直终结线问题，也适用于固定端点或截断垂直终结线问题。二、阿罗充分性定理在任意时刻，给定状态变量和共态变量，汉密尔顿函数被一个特定的值最大化，该值依赖于、和：（8.32）把（8.32）代入汉密尔顿函数，我们得到所谓的最大化汉密尔顿函数：（8.33）最优汉密尔顿函数代表沿着所有最优路径取值的汉密尔顿函数，即对于每个时刻都在、和处取值，所以、和都可以被替换掉，使仅作为

的函数。最大化汉密尔顿函数沿着取值，尽管被替换，但其它自变量仍然保留下来，以致于是、和的函数，即。

在最优控制问题中，最大值原理条件对于的全局最大化是充分的，如果对于给定和时间区间上所有的，在（8.33）中定义的最大化汉密尔顿函数关于变量是凹的。二、阿罗充分性定理阿罗充分性定理适用于垂直终结线问题、固定端点问题或截断垂直终结线问题。曼加萨林定理是阿罗充分性定理的特例：如果和函数就像曼加萨林定理所规定的那样关于都是凹的而且，那么关于也是凹的。当关于是凹的时候，可以得到如阿罗定理所规定的那样，关于是凹的。但是，即使如果和函数关于不是凹的，关于也可能是凹的。因此，阿罗条件是更弱的条件，也即是说，曼加萨林定理是阿罗充分性定理的特例。例3我们检查一下艾斯纳-斯特罗兹模型的最优控制问题，最大值原理是否是充分的。艾斯纳—斯特罗兹模型：利润资本存量调整成本净投资最大化满足和边界条件其中，(1)函数关于是线性的，从而函数是凹的。(2)函数的凹凸性检验。

曼加萨林充分性定理检验：(2)函数的凹凸性检验。

函数关于是凹的。阿罗充分性定理检验：现值汉密尔顿函数根据最大值原理，该等式最后只剩下和，因此控制变量的最优路径可以用如下等式表示：把这个最优控制代入，得：汉密尔顿函数的导数：因此，最大化现值汉密尔顿函数关于状态变量是严格凹的。第三节具有n个状态变量和m个控制变量的问题最优控制问题是：满足和最大化满足最大化和满足最大化和矩阵表达形式简化表达形式满足最大化和汉密尔顿函数最大值原理：的运动方程：的运动方程：控制变量的方程：（8.36）（8.37）（8.38）单个状态变量的一般横截条件：多个状态变量的一般横截条件：由此产生两个基本的横截条件：多个状态变量的一般横截条件：假设两个状态变量存在终结曲线：对于一个很小的，下列等式成立：特殊横截条件——终结曲线：把这两个等式代入一般横截条件，得：终结曲线的横截条件为：多个状态变量的一般横截条件：特殊横截条件——截断垂直终结线：特殊横截条件——截断水平终结线：本章小结一、现值汉密尔顿函数最优控制问题是：满足和边界条件现值汉密尔顿函数：最大化的控制路径：状态变量的运动方程：共态变量的运动方程：最大化垂直终结线横截条件：水平终结线横截条件：在固定端点、垂直终结线或截断垂直终结线问题中，如果被积函数F关于是凹的，那么，欧拉方程加上横截条件足以确定的最大值。变分法的充分性定理二、变分法与最优控制充分性定理的比较（一）曼加萨林充分性定理对于最优控制问题：满足和最大化如果(1)和函数都可微，而且关于变量是联合凹的；(2)若

关于或非线性，那么对于所有；若

关于和是线性的，那么不需要任何不等式约束。最优控制的充分性定理（二）阿罗充分性定理：

在最优控制问题中，最大值原理条件对于的全局最大化是充分的，如果对于给定和时间区间上所有的，在（8.33）中定义的最大化汉密尔顿函数关于变量是凹的。曼加萨林充分性定理和阿罗充分性定理适用于垂直终结线问题、固定端点问题或截断垂直终结线问题。第九章无限水平问题特点的证明：一、在自控问题中汉密尔顿函数的不变性预备知识——自控问题自控问题：是指被积函数中的函数和状态变量的运动方程都不包含作为自变量。自控问题的特点：最优汉密尔顿函数（即沿着、和的最优路径取值的汉密尔顿函数）将在时间上有一个常数值。汉密尔顿函数：汉密尔顿函数的全微分：满足最大化和边界条件汉密尔顿函数的全微分：当最大化时，我们有：（对于内部解）（对于边界解）根据最大值原理，我们有：第一节横截条件一、变分观点与7.3节相同的函数构造方法，我们得到新的目标泛函：（P214）对右边第二个积分使用分部积分公式，得：（P214）为了产生相对于最优控制路径和最优状态路径的邻近路径，我们对和分别采用扰动曲线和：类似地，对变量和，我们有：结果，泛函被转化为的函数。最大化的一阶条件为：以上推导得到：把以上有限水平改编到无限水平，这个方程变为：对于无限水平问题，终结时间是可变的：对于无限水平问题，如果终结状态是可变的：对于无限水平问题，如果终结状态是固定的：对于无限水平的横截条件问题，如果可变终结状态在时受制于预设的最低水平：第二节重新考察某些反例对于无限水平问题，如果终结状态是可变的：反例是针对以下横截条件而言的：哈尔金反例最大化满足和目标泛函可以重写为：最大化(9.9)等同于要求状态变量在终结时间取一个特定值——的上界。哈尔金反例最大化满足和为求出的上界，我们首先求出路径。的运动方程：它是一个一阶线性非齐次微分方程，通解为：利用初始状态，我们得到：一阶线性非齐次微分方程的定解为：一阶线性非齐次微分方程的定解为：。当使

达到上限1时的路径为：汉密尔顿函数：关于最大化：哈尔金认为这与终结状态可变的横截条件

相矛盾，这就是哈尔金反例。哈尔金问题要求选择的上界作为状态变量的终结状态，因此，哈尔金问题其实是一个固定终结状态问题，该反例不能证明(9.4)的横截条件是不正确的。对于无限水平问题，如果终结状态是可变的：反例是针对以下横截条件而言的：运动方程：汉密尔顿函数：关于最大化，因为关于是线性函数，所以

的最优路径是边界解，即或，由于的后果是，所以控制变量的最优路径为：最大值原理：它们的通解：根据初始条件，可得：根据横截条件，可得：第三节新古典最优增长理论一、模型新古曲生产函数我们定义平均劳动产出和资本劳动比率由于新古典生产函数是线性齐次的，生产函数表示为：总产出等于消费和总投资。净投资重写为：左右两边除以，并用符号表示人均消费，得：我们利用关系：（9.23）把此关系代入（9.23）式，得：社会效用函数被假定具有如下特性：由于人口（劳动力）以速度增长，所以在任何时达到的社会效用可以用该时该的人口规模进行加权。所以，当具有折现率时，目标泛函具有如下形式：（9.26）为保证收敛性，我们规定。假定和，（9.26）的目标泛函可以简化为：最大化满足和根据以上推导得到的运动方程（9.23）和目标泛函，最优增长问题为：最大化满足和最优增长问题为：二、最大值原理状态变量的运动方程：关于最大化：现值拉格朗日乘子的运动方程：现值汉密尔顿函数：最大值原理：（9.33）（9.34）（9.35）上页推导得到：三、构造相图状态变量的运动方程：关于最大化：共积变量的运动方程：（9.33）（9.34）（9.35）关于求导（9.33），得的表达式：把（9.33）和代入（9.35），经整理得：根据（9.34）：微分方程组(9.36)我们给出曲线和曲线：（9.37）（9.38）（9.37）（9.38）上页推导得到：上页推导得到四、横截条件普通汉密尔顿函数：共积变量的解路径：[终结状态可变的横截条件成立]汉密尔顿函数的解路径：[终结时间可变的横截条件成立]第四节外生和内生的技术进步哈罗德中性技术进步：我们定义有效劳动为，生产函数(9.48)式变为：根据线性齐次的假设，我们可以把(9.51)写为：新状态变量的运动方程可以与(9.24)相同的步骤得到：最优增长问题变为：最大化满足和一、具有哈罗德中性技术进步（外生技术）的增长模型最优增长问题为：状态变量的运动方程：关于最大化：现值拉格朗日乘子的运动方程：现值汉密尔顿函数：最大值原理：（9.55）（9.56）（9.57）最大化满足和（9.54）把上页推导得到的(9.55)、(9.56)和(9.57)三个方程合并为两个微分方程组：微分方程组(9.58)我们给出曲线和曲线：（9.59）（9.60）与第三节新古典最优增长模型相同的相图分析，可以得到当达到稳态时：二、罗默的内生技术进步增长模型表示人力资本总额：其中，用于生产最终产品，用于提高技术。技术的生产函数：其中，为研究成功参数，。技术水平由无限的中间产品来反映：我们令对于，那么可以充当技术先进与否的衡量。最终产品的生产函数：令方案指标变为连续变量，于是生产函数变为：假设被积函数所有都对称地进入，即：假设生产一单位中间产品需要单位的资本，因此资本总量为：把代入，得：以上推导得到：在不考虑折旧的情况下，净投资是未消费的产业，即：最优控制问题：满足最大化和我们定义缩写符号：现值汉密尔顿函数：最大值原理：现值汉密尔顿函数：共态变量的运动方程：稳态：以上推导得到：由(9.72)和(9.74)式，得：利用刻画的稳态关系，得：(9.75)代入(9.78)得：所谓稳态（steadystate）是指主要经济变量以不变速度增长（即增长率不变）的状态。需要注意以下几点：一、不同变量的不变增长率可以相等、也可以不相等；二、不变增长率可以等于0。至于平衡增长路径（balancedgrowthpath）现在常常被用作稳态的同义语。第十章具有约束的最优控制问题最大化满足和第一节涉及控制变量的约束一、等式约束最优控制问