2023-2024学年苏教版必修第二册 12-2　复数的运算 学案

12.2复数的运算新课程标准解读核心素养掌握复数代数表示式的四则运算数学运算我们知道虚数单位i与实数一起可以按照实数的运算法则进行运算，那么，任意两个复数按照怎样的法则进行运算呢？问题两个复数加、减、乘、除的四则运算法则是什么？

知识点一复数的加、减运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，（1）加法法则：（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i；（2）减法法则：（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i.即：两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）.提醒（1）复数的减法是加法的逆运算；（2）复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）.对于多个复数相加（减）应该如何运算呢？提示：实部与虚部分别相加（减）.计算：（1－3i）－（2＋5i）＋（－4＋9i）.解：（1－3i）－（2＋5i）＋（－4＋9i）＝（1－2－4）＋（－3－5＋9）i＝－5＋i.知识点二复数的乘、除运算1.复数的乘法法则（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i.2.幂的运算对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，有zmzn＝zm＋n，（zm）n＝zmn，（z1z2）n＝z1n3.in（n∈N*）的周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.4.复数的除法法则（1）共轭复数：我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复数.复数z＝a＋bi的共轭复数记作z，即z＝a－bi；（2）除法法则：把满足（c＋di）（x＋yi）＝a＋bi（c＋di≠0）的复数x＋yi（x，y∈R）叫作复数a＋bi除以c＋di所得的商，且x＋yi＝a＋bic＋di＝提醒（1）两个复数的积与商仍是一个复数；（2）复数的乘法法则与多项式的乘法法则是类似的；（3）复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律.即对任何z1，z2，z3∈C，有z1z2＝z2z1，（z1z2）z3＝z1（z2z3），z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3；（4）共轭复数是复数中的一个重要概念，实数的共轭复数是它本身.除法法则的关键是什么？提示：分母实数化.1.i＋i2＋i3＋i4＝（）A.0B.iC.－iD.1答案：A2.已知z＝3＋2i，则z＝，z·z＝.

解析：z＝3－2i，z·z＝（3＋2i）（3－2i）＝9－4i2＝9＋4＝13.答案：3－2i133.计算：（1）（3＋2i）（i－1）；（2）3+i解：（1）（3＋2i）（i－1）＝3i－3＋2i2－2i＝－5＋i.（2）3+i1－i＝（3+i题型一复数的加、减运算【例1】（1）计算：（2－3i）＋（－4＋2i）＝；

（2）已知z1＝（3x－4y）＋（y－2x）i，z2＝（－2x＋y）＋（x－3y）i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则z1＋z2＝.

解析（1）（2－3i）＋（－4＋2i）＝（2－4）＋（－3＋2）i＝－2－i.（2）z1－z2＝[（3x－4y）＋（y－2x）i]－[（－2x＋y）＋（x－3y）i]＝[（3x－4y）－（－2x＋y）]＋[（y－2x）－（x－3y）]i＝（5x－5y）＋（－3x＋4y）i＝5－3i，所以5x－5y=5，－3x所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i.答案（1）－2－i（2）1－i通性通法复数加（减）运算的法则（1）复数代数形式的加（减）运算实质就是将实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部；（2）复数的运算可以类比多项式的运算（类似于合并同类项）：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算.1.－i－（－1＋5i）＋（－2－3i）－（i－1）＝.

解析：－i－（－1＋5i）＋（－2－3i）－（i－1）＝－i＋1－5i－2－3i－i＋1＝－10i.答案：－10i2.已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝.

解析：由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋（a2－1）i，又z1＋z2是纯虚数，所以a解得a＝3.答案：3题型二复数的乘、除运算【例2】（1）i（2＋3i）＝（）A.3－2iB.3＋2iC.－3－2iD.－3＋2i（2）设z＝i（2＋i），则z＝（）A.1＋2iB.－1＋2iC.1－2iD.－1－2i解析（1）i（2＋3i）＝2i＋3i2＝－3＋2i.故选D.（2）因为z＝i（2＋i）＝－1＋2i，所以z＝－1－2i.故选D.答案（1）D（2）D通性通法1.两个复数代数形式乘法运算的一般方法（1）首先按多项式的乘法展开；（2）再将i2换成－1；（3）然后再进行复数的加（减）运算，化简为复数的代数形式.2.两个复数代数形式的除法运算的步骤（1）首先将除式写为分式；（2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；（3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.3.常用公式（1）1i＝－i；（2）1+i1－i＝i；（3）1－i1+i＝－i；（4）（1＋i）2＝2i；（51.计算：（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝（）A.2－13iB.13＋2iC.13－13iD.－13－2i解析：D（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝1－2i＋i2－（4－9i2）＝－13－2i.故选D.2.计算：（1+i)(4+3解析：法一：（1+i)(4+3＝－2＋i.法二：（1+i＝i（4+3i)(2+i）5＝答案：－2＋i3.计算：（1+i）71解：原式＝[（1＋i）2]3·1+i1－i＋[（1－i）2]3·1－i1+i－8（3－4i)(1+i）3（3－4i）i＝（＝－16i.题型三复数范围内方程根的问题【例3】已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0（a，b∈R）的一个根.（1）求实数a，b的值；（2）结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.解（1）把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得（－a＋b）＋（a－2）i＝0，∴－a＋（2）方程的另一个根为－1－i.证明如下：由（1）知方程为x2＋2x＋2＝0.设另一个根为x2，由根与系数的关系，得－1＋i＋x2＝－2，∴x2＝－1－i.把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，则左边＝（－1－i）2＋2（－1－i）＋2＝0＝右边，∴x2＝－1－i是方程的另一个根.通性通法复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式：（1）当Δ≥0时，x＝－b（2）当Δ＜0时，x＝－b提醒在复数范围内，虚根成对出现，每对均互为共轭复数.在复数范围内解一元二次方程x2－2x＋5＝0.解：Δ＝（－2）2－4×1×5＝－16＜0，所以方程的根为x＝2±16即方程的两根分别为1＋2i和1－2i.1.已知i是虚数单位，则复数z＝（3＋i）＋（－3－2i）的虚部是（）A.1B.2C.－1D.－i解析：Cz＝（3＋i）＋（－3－2i）＝（3－3）＋（1－2）i＝－i.故复数z的虚部为－1.2.复数z＝（3－2i）i的共轭复数z＝（）A.－2－3iB.－2＋3iC.2－3iD.2＋3i解析：Cz＝3i－2i2＝2＋3i，故z＝2－3i.3.已知复数z＝2－i，则z·z的值为（）A.5