时间序列分析：方法与应用（第二版）ARCH类模型

ARCH类模型一、单位根过程（一）单位根过程的含义1.问题的提出用于预测的线性平稳模型AR（p）模型

方程

（B）=0称为过程的特征方程，过程平稳的条件是，特征方程所有根的绝对值都必须大于1，即在单位圆外。12.

单位根的定义y随机过程{

，t

=

1，2，......}，若ty

yu=+

t=

1，2，......t

t

1

tuu其中，

=1，{

}为一稳定过程，且E（

）

=

0，tt

u

ucov

(

，

)=

<

,这里t

stts

=

0，1，2，......，则该过程称为单位根过程（unitroot

process）。+2特别地，若

y

y=

+

t=

1，2，......tt

1t

其中，{

}为独立同分布，且E（

）

=

0，tt

2yD（

）

=

<

，则{

}为一随机游动过程tt（random

waik

process)。可以看出，随机游动过程是单位根过程的一个特例。3yyt

yt

1）为一稳若随机过程{

}的一阶差分过程（

=ytty定过程，则{

}服从单位根过程。t分别以I（1）和I（0）表示单位根过程和稳定过程，y

y则可将

和

记为tty

y~I（1）~I（0）tt4（二）趋势的类型确定性趋势模型趋势平稳时间序列中的趋势有不同的表现形式，如，带趋势的稳定过程y

=

c+

t+

att

y其中，

f(t)

=

c+

t，表示时间序列{

}的确定性趋势（deterministic

trend）。tya

的期望是时间t的线性函数,其值在c

+

t周围波动。为一稳定过程。tt5随机性趋势模型

差分平稳带常数项的单位根过程yat=

c+

yt

1

+ty其中，c是常数项。对

不断地向后迭代，得到tayay

=

c

+（

c

+

+

）+tt

1t

2t=

.......=

ct+t

ajj

1确定的时间趋势ct

，是由单位根过程中的常数项积累而成6Y1Y25,00020,00015,00010,0005,0000654321556065707580859095556065707580859095零售商品价格指数时序图社会商品零售总额时序图时间序列趋势的三种基本类型：（1）序列不含常数项、时间趋势项y

y

若

=1

，序列为一单位根过程；若

<1,tt

1t

序列为一稳定过程。（2）序列含常数项、不含时间趋势项y

c

y

tt

1t

若

=1

，序列为一带常数项（均值不为0）的单位

根过程；若

<1,序列为一带常数项的稳定过程。8（3）序列带常数项和时间趋势项y

c

y

t

tt

1t

若

=1

，序列为一带常数项和时间趋势项的单位根过程；

若

<

1，序列为一带常数项和时间趋势项的稳定过程。9（三）单位根检验1.

ADF检验1）

迪基—福勒（DF）检验一阶自回归模型y

y

tt

1t

1H：H0

:

11原假设为真时，最小二乘估计的t统计量为

1SE(

)t=

式中，

为

的最小二乘估计，SE（

）为

的标准差。10检验标准：

t统计量有非标准和非对称的极限分布，

t记作

，对于给定的样本量n和显著性水平

,

t若统计量的实际计算值

小于临界值，则拒绝原

假设

。例3.1112）

ADF检验DF检验只对存在一阶自相关的序列适用。

ADF检验适用于存在高阶滞后相关的序列。

y

y

x

y模型表述为

yt转换为检验两边减

，可t

1tt

1tt

-

1，检验

(

1)

y

x令t

1tt

0。含有单位根的p阶自回归过程可以表述为

y

y

x

y

y

y......

ttt

1t1

t

12

t

2p

1

t

p

1上式中，检验假设为H0：

0或加带常数项，或加带趋势项，或加带常数项和趋势项，检验标准同DF检验。

例3.12.

PP（

Phillips

andPerron）检验适用于存在高阶自相关的序列，非参数检验方法检验基础模型以及原假设同ADF检验，修正了系数的检验统计量，如下式。1

2

T

f

se

00t

1

2f2

f

s

00

tse(

)

式中，

是

的t统计量，

是系数

估计的标准误，分母中

s是检验方程回归估计标准误，T是时期数。

f检验方程（模型）残差的方差的一致估计，

是残差00零频谱估计。修正的t统计量有着和ADF统计量相同的渐近分布。133.

其它检验1）

KPSS

（Kwiatkowski,

Phillips,

Schmidt,和

Shin）检验原假设为序列是平稳的，即H1:

1H0

:

1检验统计量

2

T

2f0LM

S

ttf其中，

是残差的零频谱估计，0t

S(t)

uu

y

x

是累积的残差函数，残差。rtttr

1采用KPSS检验，必须设定外生回归项

，估计

的方法。xft0142）

DFGLS

（Dickey-FullerTest

with

GLS

Detrending）检验

用GLS去除趋势得到

，ytd

yt

xt

。以

替代

y

，ydt

ydtt得到同ADF检验的模型形式

dyt

ydt

1

ydt

1

yd

vt1p

1t

p

1和类似的检验统计量。根据ERS

(1996)模拟的一套在T

50,100,200,

中检验统计量的临界值，检验H0

:

0检验统计量取值低于临界值时，拒绝原假设，序列平稳。153）ERS

（Elliot,Rothenberg,

and

Stock

Point

Optimal）检验x类似DFGLS检验，必须设定外生回归项

t

和估计

的一种f0方法。4）

NP

（Ng

and

Perron）检验dtyx构造了基于GLS去势数据

的四个检验统计量，必须设定ft0外生回归项

和估计

的一种方法。例3.2例3.3例3.416二、ARCH模型的基本形式（一）问题的提出X44,4004,2004,0003,8003,6003,4003,2003,000255075100

125

150

175

200

225工业类股票指数曲线图17

y

y序列进行一阶差分，得到

，由图看序列的趋势基本消除；如果序列

是白噪声，即一阶差分序列完全随机，ttt

1

t所建立的模型合适。IY2001000-100-200-300255075100

125

150

175

200

225

工业类股票指数一阶差分序列

曲线图18t由图看不出序列有较强的自相关，但Q=23.29较大，序列无自相关的概率p=0.503，不够大，即序列无自相关的概率只有50%，很难得出序列无自相关的结论。

序列自相关图19tE290,00080,00070,00060,00050,00040,00030,00020,00010,0000255075100

125

150

175

200

225工业类股指条件方差时序图可以看出，k=1和k=2时，自相关系数较大，序列还包含一些有用的信息，

残差序列

存在非t线性相关，从建模预测的角度，已建的模型不合理。

t2序列自相关图21（二）ARCH模型1.

ARCH含义和基本模型若有一随机过程{

}，它的平方

服从AR（q）过程2tt

2

2

2

......

2

01

t

12

t

2q

t

qt

其中，（

）独立同分布，且有E（

）=

0，tt

D（

）=

2，t

=1，2，.....，则称{

}服从q阶的ARCH

tt

（q）过程，记作

~

ARCH（q）。ta

a

一般假设

0，

0，i

=1，2，......

，q。i022为确保{

t

}是一稳定过程，

特征方程

aa2

L2

......

a

Lq1

L

—=01q的所有根都在单位圆外。即有a

aa+

+

......

+

<112q23

2t即给定过程在t时刻的条件方差

，

2

2t

2

2t

q

，

，......

，值时的方差t

1

2t2t2

2=

E（t

1，......

，

）t

qa

a=

+

2t

1

+......

+a

2t

q10q

可以看出，

的条件分布是正态的，但其条件方差是过t去平方误差的线性函数，是随时间而变化的函数。24ARCH类模型一般由两个方程组成条件均值方程：AR（p）模型y

y

y

......

y

t1

t

12

t

2p

t

pty

y

单位根过程t

=

1，2，......tt

1t线性回归模型y

x

x

......

x

t01

1t2

2tk

ktt条件方差方程：一般来说，ARCH类模型都是针对均值模

2型的残差建立。

的变化规律不同，模型不同t252.

模型的另一种形式ARCH模型也可以表述为

h

vttt

......222ht01

t

12

t

2q

t

qvv其中，{

}独立同分布，且

~N（0，1），ttt

=1，2，.......，T。参数的约束同前。263.

ARCH效应检验拉格朗日乘子检验（LM检验）辅助回归模型

2

0

2

2

......

2

t1

t

12

t

2q

t

qH

:

......

0012q检验统计量

2LM

nR~

（q）

2其中，n为计算辅助回归时的样本数据个数，R2

为辅助回归的未调整可决系数，即拟合优度。检验标准

拒绝

的概率小于给定的显著性水平H0例3.5274.

模型参数估计最小二乘二步最大似然5.

参数的检验合理性检验参数符号参数大小显著性检验参数与0的显著性差异283.

模型的识别和诊断检验（1）

识别阶数可以与ARMA定阶类似

2t利用

的自相关函数和偏自相关函数（2）诊断检验标准化残差1

ˆ

ˆ

ˆv=

/（h

）2ttt用于检验ARCH模型是否有效的去除了平方序

2tˆv列

（

）中的自相关和被估计的残差

是否没有t表现出过大的峰度值

。29残差的独立性检验检验平方标准化残差序列（

）的自相关——ˆv2tQ统计量检验。残差的正态性检验

JB检验ˆv计算标准化残差序列（

）的JB统计量t模型判定

AIC

SC304.

预测只要知道参数

，

，......

，

的值，就可以在a

aa01q

2

2t

q（t

—1）时刻，利用给定的数据

，...…

，

，预测

在时刻t的条件方差t

1

2。tt31三、

广义的ARCH

模型

——GARCH模型（一）GARCH（p,q）模型的形式h

v

1.

含义在ARCH（q）过程tttvv其中，{

}独立同分布，且

~N（0，1），t

=1，2，.......，T。tt

若阶数q，条件异方差可以表示为h

......

h

h

......

h222t01

t

12

t

2q

t

q1

t

12

t

2p

t

p

L

L

-

......

pLp

0

的根都在单位圆外2特征方程1

-

-12上述过程称为广义的ARCH过程，简称为GARCH过程，

记作

~GARCH（p

，q）。t参数的约束与ARCH（

q）模型一样32参数的约束与ARCH（

q）模型一样GARCH

过程是稳定的过程充分必要条件

（1）

+

（1）<

1qp

i

其中，

（1）=；

（1）=jj

1i

1保证条件方差为正的条件

0

0i

=1，2，......

，q；0i

j

0j=1，2，……，p；332.

GARCH（1,1）的性质GARCH（1,1）模型

h

vttth

2

ht01

t

11

t

1GARCH（1，1）是稳定过程的充分必要条件为若表明模型中含有单位根，模型记为IGARCH（1，1）。

若

+

>0.5,

冲击一般都会持续一段时间；111

若

+

=1,

随机冲击会有长久的影响。134（二）

GARCH效应检验仍可采用LM检验（三）

参数估计采用极大似然估计（MLE），假定扰动项服从高斯分布或服从分布；BHHH算法。采用矩估计（ME），避免分布的限制；改进的矩估计法GMM法。35（四）

模型的检验与评价1.

参数的检验合理性检验显著性检验例3.6和例3.5中参数的检验2.

残差检验ARCH类模型和其他统计模型一样，都假定残差序列独立同分布，因此残差的独立性很重要，也就是残差序列不能存在自相关。例3.73.

模型评价借助一些评价指标比较不同模型预测效果实际应用中需要注意数据的选择：数据时期长度——太长，会包含过多不正常数据；太少，不能保证参数估计的正确收敛；数据的频率——低频数据容易导致GARCH参数估计中的收敛性或稳健性问题。波动测定，一般选择至少1至2年的日数据或日内数据。（五）预测在前一天波动率的基础上迭代预测以后的波动率37四、ARCH模型的拓广形式（一）指数GARCH模型—

E（

Exponential

）GARCH模型tht

vt=vv其中，{

}独立同分布，且

~N（0，1），t

=1，tth2，.......，T。并设条件方差

有下面的形式：t

pq

log

h

log

h

i

t

it

it0jt

j

i

ht

iht

i

j

1i

1

则称

服从EGARCH过程。th模型中条件方差采用了自然对数形式，意味着

非负且杠杆效应是指数型的。若t

0，说明信息作用非对称。

0当时，杠杆效应显著。38（二）（G）ARCH-M模型如果随机过程{

}有表现形式yt

y

x

g(h

)

ttttv

vt=

1，2，.......，T。v其中，

=

h

{

}独立同分布，且

~N（0，1），tttthhg

(

)为条件方差

的函数，

有ARCH（q）或htttyGARCH（p，q）的形式，则随机过程{

}服从t（G）ARCH-M过程。

>

0

，表明回报率同大的波动是正相关。(

)

g

h

h、g(ht

)

ht为简便，实际应用中，常取tt或

g(h

)

ln(h

)

。tt39（三）TARCH模型TARCH（Threshold

ARCH）模型最先由Zakoian（1990）提出，它具有如下形式的条件方差

q

pj

1h

d

h22t0i

t

it

1

t

1j

t

ji

1d其中

是一个名义变量t1

t

0

dt

0

其他

40d

t

0

）和下跌信息由于引入

，股价上涨信息（t

t

0（）对条件方差的作用效果不同。上涨时

q

为2d

0

，其影响可用系数

代表；下跌时it

1

t

1i

1

0

q

i

。若，则说明信息作用是非对称的。i

1

0而当时，负的随机冲击较正的随机冲击对波动会有更大的影响，即认为存在杠杆（leverage）效应。是对GARCH应用条件的一个放松。41（四）幂ARCH

(PARCH)模型tvht=tqp

h

(

)

h

t0jt

jj

t

jit

ij

1i

1

ht其中,

>

0，

1.

是标准差的幂参数,

用来评价冲击对条件方差的影响幅度;

0

,存在非对称效应.

模型中,

=2

,

=

0

,则PARCH模型为GARCH模型.42（五）

成分（Component）

ARCH模型若GARCH(1,1)模型的条件方差可写为ht

t2

1

ht

1

上式表现条件方差与常数

的平均偏离程度。成分cARCH模型如下式，反映条件方差对于一个变量

的平t均偏离趋势h

c

c

h

c

2t

1ttt

1t

1t

1其中

c

c

2

htt

1t

1t

143h

c上面的第一个式子描述短期（Transitory）成分，tt

以的势（power，反映衰减速度）趋于０；第二个式子描述长期（Permanent）成分

，以

的势趋

ct

c

1

，以保证

的收敛速度足于

。一般地，0.99t够慢．另外，可以在两式或任意一个中加入外生变量，来改变序列短期或长期波动水平．44（六）非对称(asymmetric)成分GARCH模型将TARCH模型与成分ARCH模型相结合可以得到非对称的成分模型，

h

z

2t

1ctct

1t

11

1th

c

c

c

d

h

c

z2

2t

2

2

ttt

1t

1t

1t

1t

1t

1t

1z

z

0d其中，

和

都是外生变量，

是名义变量．当1t2tt时，条件方差中存在短期杠杆效应。例3.845模型的选择先验信息

对称非对称从数据出发初选模型检验

参数合理性

参数显著性残差检验分析评价R2、

AIC

、SC，Q-

P

、MAPE46五、多元ARCH模型（一）模型形式1.对角VECH（Diagonal

VECH）模型pq

(

)

t0it

i