高等数学：第六章 第一节 微分方程的基本概念

§6.1

微分方程的基本概念

在许多问题中,往往不能直接找出所需要的函数关系,但是根据问题所提供的情况,有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式.这样的关系就是所谓微分方程.微分方程建立以后,对它进行研究,找出未知函数来,这就是解微分方程.

本节通过几个具体的例题来说明微分方程的基本概念.设所求曲线的方程为y

y(x),则

例1

一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.

解

上式两端积分

得因为曲线通过点(1

2)

即当x

1时

y

2

所以2

12

C

C=1

因此

所求曲线方程为y

x2

1

说明

当x

1时

y

2可简记为y|x

1

2

例2

列车在平直线路上以20m/s的速度行驶;

当制动时列车获得加速度

0.4m/s2.

问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程?

解

设列车在开始制动后t秒时行驶了s米则s

0

4

s

|t

0

20

s|t

0

0

把等式s

0

4两端积分一次

得s

0

4t

C1

再积分一次

得s

0

2t2

C1t

C2(C1

C2都是任意常数)

由s

|t

0

20得20

C1

由s|t

0

0得0

C2

故s

0

2t2

20t

故s

0

4t

20

s

0

2

502

20

50

500(m)

于是列车在制动阶段行驶的路程为令s

0

得t

50(s)

说明

未知函数是一元函数的微分方程,叫常微分方程.未知函数是多元函数的微分方程,叫偏微分方程.

说明

几个基本概念微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程

叫微分方程

微分方程的阶

微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数

叫微分方程的阶

一般n阶微分方程的形式为

F(x

y

y

y(n))

0或

y(n)

f(x

y

y

y(n

1))

一阶的二阶的说明

微分方程的解满足微分方程的函数叫做该微分方程的解

确切地说

设函数y

(x)在区间I上有n阶连续导数

如果在区间I上

F[x

(x)

(x)

(n)(x)]

0

那么函数y

(x)就叫做微分方程F(x

y

y

y(n))

0在区间I上的解

在例2中

方程s

0

4的解有

s

0

2t2

C1t

C2、s

0

2t2

20t

C2和s

0

2t2

20t

说明

微分方程的解满足微分方程的函数叫做该微分方程的解

在例2中

方程s

0

4的解有

s

0

2t2

C1t

C2、s

0

2t2

20t

C2和s

0

2t2

20t

通解如果微分方程的解中含有任意常数

且独立的任意常数个数与微分方程的阶数相同

这样的解叫做微分方程的通解

特解确定了通解中的任意常数以后

就得到微分方程的特解

即不含任意常数的解叫特解

通解通解特解特解什么解？说明

对于一阶微分方程

通常用于确定任意常数的条件是对于二阶微分方程

通常用于确定任意常数的条件是例1是求方程y=2x满足初始条件y|x

1

2的解

例2是求方程s

=-0.4满足初始条件s|t

00

s

|t

0

20的解

初始条件用于确定通解中任意常数的条件

称为初始条件

初始条件用于确定通解中任意常数的条件

称为初始条件

说明

说明

求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题

初值问题微分方程的解的图形是一条曲线

叫做微分方程的积分曲线

积分曲线

例3

验证

函数x=C1coskt+C2sinkt是微分方程的解

求所给函数的导数

解

k2(C1coskt

C2sinkt)

k2(C1coskt

C2sinkt)

0.

这表明函数x=C1coskt+C2sinkt

满足所给方程

因此所给函数是所给方程的解

例4

已知函数x=C1coskt+C2sinkt(k

0)是微分方程的通解

求满足初始条件x|t=0

A

x

|t=0

0的特解

将条件x|t=0

A代入x

C1coskt

C2sinkt

得

解

C1

A.

将条件x

|t=0

0代入x

(t)

kC1sinkt

kC2coskt

得把C1、C2的值代入x

C1coskt

C2sinkt中

就得所求的