新教材2023-2024学年高中数学第2章平面解析几何初步2.2直线的方程2.2.4直线的方向向量与法向量课件湘教版选择性必修第一册

第2章2.2.4直线的方向向量与法向量课标要求1.掌握直线的方向向量与法向量的概念;2.能够利用直线的方向向量与法向量求直线的方程.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

学以致用·随堂检测全达标基础落实·必备知识全过关知识点1直线的方向向量我们把与直线l平行的非零向量v都称为l的方向向量.斜率为k的直线的方向向量为(1,k)的

.

只需要共线即可,不必考虑方向

非零实数倍

名师点睛1.直线的方向向量可以用来表示直线的方向,并且直线的方向向量并不是唯一的.2.(B,-A)只是直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的一个方向向量,所有与(B,-A)共线的方向向量都是直线的方向向量.3.平行于x轴的直线或x轴所在直线的一个方向向量的特征是(t,0)(t≠0),平行于y轴的直线或y轴所在直线的一个方向向量的特征是(0,t)(t≠0).过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若P(x1,y1),Q(x2,y2)是直线l上的不同两点,则直线l的方向向量是(cosθ,sinθ).(

)(3)直线l的一个方向向量是t=(u,v),则λt也是直线的方向向量.(

)×√×2.若直线l的一个方向向量是(u,v),直线的斜率一定存在吗?若存在,如何求直线的斜率?提示当u=0时,直线的斜率不存在,当u≠0时,斜率为k=.知识点2直线的法向量与直线l

的非零向量n=(A,B)称为直线l的一个法向量.若点P(x0,y0)是直线l上的定点,向量n=(A,B)是直线l的一个法向量,则直线l的方程是A(x-x0)+B(y-y0)=0.

非零向量,且有无数个

此方程称为直线的点法式方程

名师点睛直线l的一个法向量垂直于直线l上的全体向量(包括方向向量).垂直

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)直线的法向量也是确定直线位置的几何要素.(

)(2)直线的法向量确定后,直线的斜率也就确定了.(

)(3)若直线的一个法向量是n=(A,B)时,其斜率为k=-.(

)2.为什么当直线的一个法向量是n=(A,B)时,向量m=(-B,A)或m=(B,-A)就是直线的一个方向向量?×√√提示由直线的法向量与方向向量是互相垂直的性质以及n·m=0可知向量m=(-B,A)或m=(B,-A)就是直线的一个方向向量.重难探究·能力素养全提升探究点一直线的方向向量与法向量【例1】

已知直线经过两点A(2,4),B(a,5),且直线的一个方向向量是(1,-1),求直线的倾斜角与a的值.分析

根据方向向量与斜率的关系求出斜率后,根据斜率求倾斜角,再结合斜率公式求a的值.变式探究1若直线经过两点A(2,4),B(a,5),且直线的一个方向向量是m=(0,1),求实数a的值.解

由直线的一个方向向量是m=(0,1)可知直线的斜率不存在,因此直线与x轴垂直,由A(2,4),B(a,5),可知a=2.变式探究2若直线经过两点A(2,4),B(a,5),且直线的一个法向量是n=(-1,3),求实数a的值.解

由直线的一个法向量是n=(-1,3)可知直线的一个方向向量是m=(3,1),因此直线的斜率是

,解得a=5.规律方法

根据直线的方向向量与法向量求斜率的方法若直线的一个方向向量是n=(a,b),则直线的一个法向量是m=(-b,a)或m=(b,-a).若a≠0,则直线的斜率k=;当a=0时,直线的斜率不存在.探究点二直线的方向向量与法向量的应用【例2】

已知A(-1,2),直线l:4x-3y+9=0.(1)求直线l的一个方向向量;(2)过点A且与直线l平行的直线方程;(3)过点A且与直线l垂直的直线方程.解

(1)由题知,直线l的斜率k=,所以直线l的一个方向向量u=(3,4).(2)设P(x,y)是过点A且与直线l平行的直线上的一动点,则

=(x+1,y-2),当且仅当u∥

,即3×(y-2)-4(x+1)=0时,所求直线与直线l平行,整理得4x-3y+10=0,即过点A且与直线l平行的直线方程为4x-3y+10=0.(3)设Q(x,y)为所求直线上不同于点A的一动点,则

=(x+1,y-2).设点Q在过点A且垂直于l的直线上,则u·=0,即3(x+1)+4(y-2)=0,整理得3x+4y-5=0,即过点A且与直线l垂直的直线方程为3x+4y-5=0.规律方法

利用方向向量及法向量求直线方程已知直线l的一个方向向量为m=(a,b),点Q(x1,y1)为直线上的动点,求直线l有关的方程的方法.其中P(x,y)是所求直线上的动点.条件方法结论过点P与直线l平行

∥ma(y-y1)-b(x-x1)=0过点P与直线l垂直

·m=0a(x-x1)+b(y-y1)=0变式训练过点A(-2,1),求满足下列条件的直线的方程.(1)方向向量a=(3,1);(2)法向量b=(-1,2).解

设P(x,y)为所求直线上不同于点A的任意一点,∵A(-2,1),∴

=(x+2,y-1).(1)由题意知

∥a,∴(x+2)×1-3(y-1)=0,即x-3y+5=0,故所求直线方程为x-3y+5=0.(2)由题意,知

⊥b,∴(x+2)×(-1)+(y-1)×2=0,即x-2y+4=0,故所求直线方程为x-2y+4=0.本节要点归纳1.知识清单:(1)直线的方向向量;(2)直线的法向量;(3)直线的点法式方程.2.方法归纳:根据直线的方向向量求直线的斜率,利用向量共线或垂直的坐标运算求直线的方程.3.注意事项:直线的方向向量与法向量均有无数个,根据含参数的直线的方向向量求直线的斜率时,要注意方向向量的横坐标是否为0.学以致用·随堂检测全达标1234561.直线x+2y-5=0的一个法向量可以是(

)A.(1,2) B.(1,-2)C.(1,5) D.(2,5)A解析

因为直线Ax+By+C=0的一个法向量为(A,B),所以直线x+2y-5=0的一个法向量可以为(1,2).1234562.若直线l的一个方向向量为(-2,),则它的倾斜角为(

)A.30°

B.120°

C.60°

D.150°B1234563.过点P(-1,2)且方向向量为a=(-1,2)的直线方程为(

)A.2x+y=0 B.x-2y+5=0C.x-2y=0 D.x+2y-5=0A解析

因为直线的方向向量为a=(-1,2),所以直线的斜率为

=-2,所以过点P(-1,2)且方向向量为a=(-1,2)的直线方程为y-2=-2(x+1),即2x+y=0.1234564.已知过定点(4,5)的直线l的一个法向量是d=(2,-3),则直线l的方程为

.

2x-3y+7=0解析

因为直线l的一个法向量为d=(2,-3),且经过点(4,5),故直线l的方程为2(x-4)+(-3)(y-5)=0,整理可得2x-3y+7=0.1234565.直线的一个方向向量为v=(1,3),则直线的斜率为

.

3解析

由于直线的一个方向向量为v=(1,3),因此该直线的斜率为

=3.1234566.(1)如果直线过点P(1,-4),且直线的方向向量是a=(3,9),求直线的方程;(2)如果直线过点D(6,-1),且直线的法向量是b=(4,-3),求直线的方程.解

(1)由题意,直线的方向