新教材适用2023-2024学年高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件1.4.2充要条件素养作业新人教A版必修第一册

第一章1.41.4.2A组·基础自测一、选择题1．下列说法正确的是(C)A．已知a，b∈R，则“a＞b＋1”是“|a|＞b＋1”的必要不充分条件B．设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的必要不充分条件C．“a＞0”是“a＋1＞0”的充分不必要条件D．若“x＝－1”是“x＜a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为1[解析]因为|a|≥a，所以若a＞b＋1，则|a|＞b＋1，充分性成立，故A错误；因为{x|1＜x＜2}{x|2x＞1}，所以p是q成立的充分不必要条件，故B错误；因为{a|a＞0}{a|a＋1＞0}，所以“a＞0”是“a＋1＞0”的充分不必要条件，故C正确；若“x＝－1”是“x＜a”的必要不充分条件，则{x|x＜a}{－1}，则不存在这样的a，故D错误．2．已知x∈R，则{x|x<－1}是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>\f(1,2)或x<－1))的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]{x|x<－1}⇒eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>\f(1,2)或x<－1))，反之不成立，所以“{x|x<－1}”是“eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>\f(1,2)或x<－1))”的充分不必要条件．故选A．3．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[解析]由A∩B＝A∩C，若A＝∅，则不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C．所以“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．4．命题“对所有的x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(C)A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5[解析]命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题，可化为∀x∈{x|1≤x≤2}，a≥x2恒成立，即只需a≥(x2)max＝4，即“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．5．在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]当B＝90°或C＝90°时，△ABC为直角三角形，但不能推出AB2＋AC2＝BC2，故选A．二、填空题6．下列说法正确的是_②④_.①x2≠1是x≠1的必要条件；②x>5是x>4的充分不必要条件；③xy＝0是x＝0且y＝0的充要条件；④x2<4是x<2的充分不必要条件．[解析]由x2≠1⇒x≠1，x≠1x2≠1，即x2≠1是x≠1的充分不必要条件，故①不正确．②正确．③中，由xy＝0x＝0且y＝0，则③不正确．④正确．7．已知p：x<8，q：x<a，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围为_a<8_.[解析]因为p：x<8，q：x<a，且q是p的充分而不必要条件，所以a<8.8．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，且a≠0，则实数a的取值为－eq\f(1,2)或eq\f(1,3)_.[解析]p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.q：ax＋1＝0，即x＝－eq\f(1,a).由题意知pq，q⇒p，所以有－eq\f(1,a)＝2或－eq\f(1,a)＝－3，解得a＝－eq\f(1,2)或a＝eq\f(1,3).综上可知，a＝－eq\f(1,2)或eq\f(1,3).三、解答题9．若集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：(1)A∪B＝R的一个充要条件；(2)A∪B＝R的一个必要不充分条件；(3)A∪B＝R的一个充分不必要条件．[解析]集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，(1)若A∪B＝R，则b≥－2，故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2.(2)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3.(3)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个充分不必要条件可以是b≥－1.10．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．[解析]①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a＜0；若方程有两个负的实根，则必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＞0，,－\f(1,a)<0，,Δ＝1－4a≥0，))即0＜a≤eq\f(1,4).综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤eq\f(1,4).反之，若a≤eq\f(1,4)，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤eq\f(1,4).B组·能力提升一、选择题1．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件．2．(多选题)不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要条件为(AB)A．－4≤x≤－1B．1≤x≤4C．－4≤x≤－1或1≤x≤4D．－4≤x≤4[解析]由不等式1≤|x|≤4，解得－4≤x≤－1或1≤x≤4，∴不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要条件为A，B.故选AB.3．(多选题)已知A，B为实数集R的非空集合，则AB的必要不充分条件可以是(ABD)A．A∩B＝A B．A∩∁RB＝∅C．∁RB∁RA D．B∪∁RA＝R[解析]因为AB⇔∁RB∁RA，所以∁RB∁RA是AB的充要条件，因为AB⇒A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∩∁RB＝∅⇔B∪∁RA＝R.二、填空题4．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的_充要_条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)[解析]A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，∵A∪B＝C，∴“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要条件．5．设m∈N*，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝_3或4_.[解析]易得方程x2－4x＋m＝0的根为x＝eq\f(4±\r(16－4m),2)＝2±eq\r(4－m)，因为x是整数，即2±eq\r(4－m)为整数，所以eq\r(4－m)为整数，且m≤4.又m∈N*，所以m的值可取1,2,3,4，验证可得m＝3或m＝4符合题意，反之，当m＝3或m＝4时，可以推出一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根．三、解答题6．已知集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}，全集U＝R.(1)当a＝2时，求A∩B，(∁UA)∩(∁UB)；(2)若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．[解析](1)当a＝2时，A＝{x|1≤x≤7}，则A∩B＝{x|1≤x≤4}；∁UA＝{x|x<1或x>7}，∁UB＝{x|x<－2或x>4}，(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x<－2或x>7}．(2)∵x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，∴AB.①若A＝∅，则a－1>2a＋3，解得a<－4；②若A≠∅，由AB，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≤2a＋3，,a－1≥－2，,2a＋3≤4，))且a－1≥－2与2a＋3≤4不同时取等号；解得－1≤a≤eq\f(1,2).综上：a的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a<－4或－1≤a≤\f(1,2))).C组·创新拓展请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，若问题中的实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．已知集合A＝{x|－2≤x≤6}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}，若x∈A是x∈B成立的_________条件，判断实数m是否存在？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．[解析]若选择条件①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m≥6，))解得m≥5，所以，实数m的取值范围是m≥5.若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必