2023-2024学年甘肃省武威市数学高二上期末经典试题含解析

2023-2024学年甘肃省武威市数学高二上期末经典试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.2．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆C相交P，Q两点，若，且，则椭圆C的离心率为（）A. B.C. D.3．平行六面体的各棱长均相等，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.4．已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A. B.C. D.5．过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（）A B.C. D.6．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为（）A. B.C. D.7．已知曲线，下列命题错误的是（）A.若，则是椭圆，其焦点在轴上B.若，则是圆，其半径为C.若，则是双曲线，其渐近线方程为D.若，，为上任意一点，，为曲线的两个焦点，则8．在长方体中，，，分别是棱，的中点，则异面直线，的夹角为（）A. B.C. D.9．记不超过x的最大整数为，如，.已知数列的通项公式，则使的正整数n的最大值为（）A.5 B.6C.15 D.1610．“，”是“方程表示双曲线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为（）A. B.C. D.12．函数f（x）=xex的单调增区间为（）A.（-∞，-1） B.（-∞，e）C.（e，+∞） D.（-1，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的一个法向量为＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于__________________14．曲线在处的切线方程为______.15．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则的面积为_________16．已知数列都是等差数列，公差分别为，数列满足，则数列的公差为__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知是等差数列，，.（1）求的通项公式；（2）若数列是公比为的等比数列，，求数列的前项和.18．（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上点M满足（1）求椭圆C的标准方程：（2）若过坐标原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为时直线l的方程19．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到焦点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于、两点（、不是左、右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点.20．（12分）设正项数列的前项和为，已知，（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围21．（12分）已知数列的前项和为，并且满足（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：22．（10分）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系（1）试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；（2）某日经观测发现，在该平台O正南10kmC处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由双曲线的方程及双曲线的离心率即可求解.【详解】解：因为双曲线，所以，所以双曲线的离心率，故选：D.2、B【解析】设，由椭圆的定义及，结合勾股定理求参数m，进而由勾股定理构造椭圆参数的齐次方程求离心率.【详解】设，椭圆的焦距为，则，由，有，解得，所以，故得：故选：B.3、B【解析】利用基底向量表示出向量，，即可根据向量夹角公式求出【详解】如图所示：不妨设棱长为1，，，所以＝＝，，，即，故异面直线与所成角的余弦值为故选：B注意事项：1.将答案写在答题卡上2.本卷共10小题，共80分.4、B【解析】直接利用两点间的坐标公式和直线的斜率的关系求出结果【详解】解：直线过点且斜率为，与连接两点，的线段有公共点，由图，可知，，当时，直线与线段有交点故选：B5、A【解析】直线AC、BD与坐标轴重合时求出四边形面积，与坐标轴不重合求出四边形ABCD面积最小值，再比较大小即可作答.【详解】因四边形ABCD的两条对角线互相垂直，由椭圆性质知，四边形ABCD的四个顶点为椭圆顶点时，而，四边形ABCD的面积，当直线AC斜率存在且不0时，设其方程为，由消去y得：，设，则，，直线BD方程为，同理得：，则有，当且仅当，即或时取“=”，而，所以四边形ABCD面积最小值为.故选：A6、C【解析】抛物线焦点为，准线方程为，由得或所以，故答案为C考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系7、D【解析】根据椭圆和双曲线的性质以及定义逐一判断即可.【详解】曲线，若，则是椭圆，其焦点在轴上，故A正确；若，则，即是圆，半径为，故B正确；若，则是双曲线，当，则渐近线方程为，当，则渐近线方程为，故C正确；若，，则是双曲线，其焦点在轴上，由双曲线的定义可知，，故D错误；故选：D8、C【解析】设出长度，建立空间直角坐标系，根据向量求异面直线所成角即可.【详解】如下图所示，以，，所在直线方向，，轴，建立空间直角坐标系，设，，，，，，所以，，设异面直线，的夹角为，所以，所以，即异面直线，的夹角为.故选：C.9、C【解析】根据取整函数的定义，可求出的值，即可得到答案；【详解】，，，，，，当时，，使的正整数n的最大值为，故选：C10、A【解析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】由，可知方程表示焦点在轴上的双曲线；反之，若表示双曲线，则，即，或，所以“，”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件故选：A11、A【解析】设七巧板正方形边长为4，求出阴影部分的面积，再利用几何概型概率公式计算作答.【详解】设七巧板正方形边长为4，则大阴影等腰三角形底边长为4，底边上的高为2，可得小正方形对角线长为2，小正方形边长为，小阴影等腰直角三角形腰长为，小白色等腰直角三角形底边长为2，则左上角阴影等腰直角三角形腰长为2，因此，图中阴影部分面积，而七巧板正方形面积，于是得七巧板中白色部分面积为，所以在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为.故选：A12、D【解析】求出，令可得答案.【详解】由已知得，令，得，故函数f（x）=xex的单调增区间为（-1，+∞）.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】O是平面OAB上一个点，设点P到平面OAB的距离为d,则d=∵=(-1,3,2)．(2,-2,1)=-6,∴d==2即点P到平面OAB的距离为2考点：空间向量在立体几何中的运用14、【解析】先求出函数的导函数，然后结合导数的几何意义求解即可.【详解】解：由，得，则，即当时，，所以切线方程为：，故答案为：.【点睛】本题考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础题.15、【解析】根据求出，由向量数量积得到，使用余弦定理得到方程组，求出，利用面积公式求出结果.【详解】因为，所以，即，而因为是锐角三角形，所以，所以，所以，因为，所以，即，因为，所以，整理得：①，其中，即，因为，所以，即，解得：②，把②代入①得：，解得：，则的面积为.故答案为：16、##【解析】利用等差数列的定义即得.【详解】∵数列都是等差数列，公差分别为，数列满足，∴.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由题意得解方程组求出，从而可求出数列的通项公式，（2）因为是公比为的等比数列，又，，所以，从而可得，然后利用分组求和法求解即可【小问1详解】设等差数列的公差为.由题意得解得，.所以.【小问2详解】因为是公比为的等比数列，又，，所以，所以.所以.18、（1）（2）【解析】（1）依题意可得，即可求出、，即可求出椭圆方程；（2）首先求出直线斜率不存在时弦显然可得直线的斜率存在，设直线方程为、、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再根据弦长公式得到方程，求出，即可得解；【小问1详解】解：依题意，解得，所以椭圆方程为；【小问2详解】解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，不符合题意；所以直线的斜率存在，设直线方程为，则，消元整理得，设，，则，，所以，即，解得，所以直线的方程为；19、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据已知条件求出、、的值，可得出椭圆的标准方程；（2）设、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由已知可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可得出关于、所满足的等式，然后化简直线的方程，即可求得直线所过定点的坐标.【小问1详解】解：椭圆上顶点到焦点距离，又椭圆离心率为，故，，因此，椭圆方程为.【小问2详解】解：设、，由题意可知且，椭圆的右顶点为，则，，因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，所以有，则，即，联立，，即，①由韦达定理得，，所以，，化简得，即或，均满足①式.当时，直线，恒过定点，舍去；当时，直线，恒过定点.综上所述，直线过定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.20、（1）；（2）.【解析】（1）利用的关系求的通项公式；（2）由（1）得，应用错位相减法求，根据不等式，讨论n的奇偶性求参数范围即可.【小问1详解】由题设，当时，则，整理得，，则，当时，，又得：，故，所以数列是首项、公差均为2的等差数列，故.【小问2详解】由（1），，所以，，两式相减得，故，所以令，易知：单调递增，若为偶数，则，所以；若为奇数，则，所以，即综上，21、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）利用和项可求得的通项公式，注意别漏了说明；（2）先用错位相减法求出数列的前项和，从而可知【详解】（1）,①当时，，②由①—②可得：,且数列是首项为1，公差为2的等差数列，即（2）由（1）知数列，,则,①∴,②由①﹣②得,∴,.【点睛】本题主要考查给出的一个关系式求数列的通项公式以及用错位相减法求数列的前n项和.22、（1）；（2）会驶入安全预警区，行驶时长为