18第五届鹏程杯小高组数学邀请赛试卷

18(202332410:00~11:40)6l.字̅++̅=128其中不同的英文字母表示不同的非O数.(a+c+e+g(b+d+f+h的值 .2.x台拖拉机,每天工作x小时,x天耕地x亩,则y台拖拉机,每天工作y小时,y天耕地 亩.时钟在6:25这个时刻,分针与时针的夹角是 .不能写成3个不相等的合数之和的最大奇数是 .12ABCDBC,CDO.则图中阴影局部的面积是 平方厘米.3元或5元的贺年卡,规定每人至少买一张贺年卡,且每人购置两种贺年卡的总金额不超过15元,假设要求至少有三名学生购置的两种贺年卡的数量完全一样,那么最少要派 名学生去购置贺年.王明参与了10场数学擂台赛,他输的场数、打平的场数都大于他赢的场数,则王明最多赢了 场竞赛.如图,有18中包含“⊙”的大、小正三角形一共有 个.有浓度为30%的食盐溶液假设干,加了肯定数量的水后稀释成浓度为24%的溶液,假设再参加同样多的水,浓度将变为 .1,2,34,…,199,200200k(k≥3k3k最大值是 .6011-131014、151511.{23.25×[19(Δ-1)-Δ]+1Δ}÷11=1,求出算式中的Δ.31 4 34cm(1)如图(1),在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1cm的橡皮泥块的外表积;(2)假设在第(1)题所述橡皮泥打孔后,又在正面中心位置处从前到后再打一个边长为1cm的正方形通孔,求两次打孔后的橡皮泥块的外表积;(3)假设在第(1)题所述橡皮泥打孔后,又在正面中心位置处从前到后再打一个长为xcm,1cm130cm?假设能,恳求出x;假设不能,请说明理由.(1) (2)360千米,途中无加油站为了使其中有人走得更远些,他们想出一个奇异的方法，且都能安全地返回动身点那么,他们想出了什么方法使其中有人能行得更远些?最远能行多少千米?对于正整数n,假设各位上的数字和是一个多位数(含两位数),那么我们再算这个多位数的各位上的数字和,直至得到一个一位数为止,我们将这个一位数记作S(n),例如2023,由于2+0+1+8=11,1+1=2,所以S(2023)=2.大家留意,35×29=1015,依据以上算法,S(35)=8,S(29)=2,S(S(35)×S(29))=S(8×2)=S(16)=7,好玩的是S(1015)也等于7,这是偶然的巧合还是必定的规律?(1)依据以上材料,你能提出一个猜测吗?从等式左边数的个数和数的位数入手考虑,尽量使你的猜测适用范围更广.(2)请说明你提出猜测的理由.(3)请举出以上结论的一个应用.性急的小朋友已各自抓了一把糖果为了公正起见,她打算通过玩耍方式到达平均安排糖果的目的教师将小朋友们围成一圈,先让全部人数一数自己手中的糖果,但凡奇数块的他也收到左边小朋友给的糖果,这样就叫做完成了一次“调整”.请你说明:假设张教师手上有足够多的糖果,那么只需要经过有限次“调整”,大家手中的糖果就一样多了!18(202332410:00~11:40)6l.字̅++̅=128其中不同的英文字母表示不同的非O数.(a+c+e+g(b+d+f+h的值 .答案:2804,至少是51+2+3+5=1118.此时4个个位数最小和为4+6+7+8=25>184,故41,2,,3,4.进而可知个位数字只能5,6,8,9.如:19+28+36+45=128.所以(a+c+e+g)×(b+d+f+h)=(1+2+3+4)×(5+6+8+9)=10×28=280.2.x台拖拉机,每天工作x小时,x天耕地x亩,则y台拖拉机,每天工作y小时,y天耕地 亩.答案:解:11x1y台拖拉机,每天工作y,y1·y3=y3亩.x∙x∙xx2

x2 x2时钟在6:25这个时刻,分针与时针的夹角是 .答案:42.50o6:256:30的角度是360𝑜=30o6:306:3030o5=(25)o=12.5o12 12 2所以在分针与时针的夹角是30o+12.5o=42.5o.不能写成3个不相等的合数之和的最大奇数是 .答案:17.解:合数有:4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,254+6+9=1919319的奇数n可以表示成n=19+2k,k是非自然零数,进而n=4+9+(6+2k).6+2k619334+6+8=18>17317.12ABCDBC,CDO.则图中阴影局部的面积是 平方厘米.答:72.解:连接BO,CO,DO,易知O是对角线BDOC将小叶形分为两个弓形,分别补在以OB,OD三角形ABD。因此阴影局部的面积=直角△ABD的面积=1×12×12=72(平方厘米).23元或5元的贺年卡,规定每人至少买一张贺年卡,且每人购置两种贺年卡的总金额不超过15元,假设要求至少有三名学生购置的两种贺年卡的数量完全一样,那么最少要派 名学生去购置贺年.答案:25.解:设没人购置了x5,y30<5x+3y≤15=3×5,所以，0≤x≤3;0≤y≤5.x,y0.(i)当x=0,y=1,2,3,4,55;(iix=1,y=0,1,2,34(iiix=2,y=0,12:(ivx=2,y=011212×2+1=25王明参与了10场数学擂台赛,他输的场数、打平的场数都大于他赢的场数,则王明最多赢了 场竞赛.答案:2.10a场,输了b场,打平c场.则:a+b+c=10由题设可知,a<b,a<c.于是:a+a+a<10,即,a<10=31由于:a是整数,所以:a≤3.3 3a=3b+c=7.但依条件,应有b>3且c>3,由于b,c都是整数,即b≥4c≥4b+c≥8b+c=7,a2.事实上,a=2,b=c=42如图,有18中包含“⊙”的大、小正三角形一共有 个.答案:6有浓度为30%的食盐溶液假设干,加了肯定数量的水后稀释成浓度为24%的溶液,假设再参加同样多的水,浓度将变为 .答案:20%.解:设原有溶液为x,第一次加水为y,依据溶质重量不变,列方程得(x+y)×24%=x×30%,由此得到y=x.4另设再参加同样多的水后,浓度变为z%.依题意,列方程得(x+x×2×z%=x×30%,解之,得z=20.故浓度变为20%.41,2,34,…,199,200200k(k≥3k3k最大值是 .答案:101.100,101,…,199,200101399,100,101,…,199,200102,99,100,200k101.6011-131014、151511.{23.25×[19(Δ-1)-Δ]+1Δ}÷11=1,求出算式中的Δ.31 4 34cm(1)如图(1),在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1cm的橡皮泥块的外表积;(2)假设在第(1)题所述橡皮泥打孔后,又在正面中心位置处从前到后再打一个边长为1cm的正方形通孔,求两次打孔后的橡皮泥块的外表积;(3)假设在第(1)题所述橡皮泥打孔后,又在正面中心位置处从前到后再打一个长为xcm,1cm130cm?假设能,恳求出x;假设不能,请说明理由.(1) (2)解:(1)S42×4+(42-12)×2+(4×1)×4=110(cm2).或S=42×4-2×1=4×4=110(cm2)……21 1(2)S=S-4x1+4x1.5x2=110-4+12=118(cm2)……52 1须考虑的方案有两种(如图).(1)外表积 (1) (2)S=S-4x+(2+2x)×1.5×2=116+2x=130,得到x=7>4,不合题意,应舍……81(2)外表积S=96-2x+(2+2x)×4-4+4×1.5×2=112+6x=130x=3<4,符合题意……8360千米,途中无加油站为了使其中有人走得更远些,他们想出一个奇异的方法，且都能安全地返回动身点那么,他们想出了什么方法使其中有人能行得更远些?最远能行多少千米?解:要使其中的一人行得最远，不妨设丁行的最远.那么，甲、乙、丙三人应尽可能行短些.这样，可为后面的人供给更多的油设甲、乙、丙、丁四人同时从A地动身,行了x千米在B地停下,甲给乙、丙、丁各加能行xAx+3x+4x=360.解之,得:x=45AB=45……2设乙、丙、丁三人同时从B地动身,行了y千米在C地停下,乙给丙、丁各加能行y千米的油,再留足这三辆车返回B所需的油.依题意,列方程得:y+2y+3y=360.解之，得:y=60BC=60……4设丙、丁两人同时从C地动身,行了zD地停下,丙给丁加能行zC依题意,列方程得:z+z+2z=360.解之,得:y=60.即BC=60……8(4)丁从DEDE=360+2=18045+60+90+180=375……10对于正整数n,假设各位上的数字和是一个多位数(含两位数),那么我们再算这个多位数的各位上的数字和,直至得到一个一位数为止,我们将这个一位数记作S(n),例如2023,由于2+0+1+8=11,1+1=2,所以S(2023)=2.大家留意,35×29=1015,依据以上算法,S(35)=8,S(29)=2,S(S(35)×S(29))=S(8×2)=S(16)=7,好玩的是S(1015)也等于7,这是偶然的巧合还是必定的规律?(1)依据以上材料,你能提出一个猜测吗?从等式左边数的个数和数的位数入手考虑,尽量使你的猜测适用范围更广.(2)请说明你提出猜测的理由.(3)请举出以上结论的一个应用.解(1mn=kS(S(m)×S(n))=S(k)S(S(m)×S(n))=S(mn),其中m,n……3更一般猜测:s(aaa)=S(S(aS(aS(a))……51 2 n 1 2 n(2)证明:任意一个自然数和它的各个位置上的数字和被91000a+100b+10c+d=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)a+b+c+d(mod9S(n)=n(mod9),从而有,S(m)×S(n)=mn=k=S(k)(mod9).S(m)就是m9,S(S(m)×S(n))=S(k)……10(3)只要能举出以上结论的一个应用即的5……15可用于验证两个(或几个)较大的整数相乘,其计算结果是否正确.例如:23568×436789=10394243152,由于S(23568)=6,S(436789)=1,S(6×1)=6S(10394243152)=7(注:用文字语言把道理说清楚也给总分值)性急的小朋友已各自抓了一把糖果为了公正起见,她打算通过玩耍方式到达平均安排糖果的目的教师将小朋友们围成一圈,先让全部人数一数自己手中的糖果,但凡奇数块的他也收到左边小朋友给的糖果,这样就叫做完成了一次“调整”.请你说明:假设张教师手上有足够多的糖果,那么只需要经过有限次“调整”,大家手中的糖果就一样多了!2m2n,m>n……2①经过一次调整,最多的不超过2m