2024届浙江省宁波市达标名校高二上数学期末监测模拟试题含解析

2024届浙江省宁波市达标名校高二上数学期末监测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.2．中，三边长之比为，则为（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不存在这样的三角形3．焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（）A. B.C. D.4．已知直线与直线平行，则实数a的值为（）A.1 B.C.1或 D.5．设圆：和圆：交于A，B两点，则线段AB所在直线的方程为（）A. B.C. D.6．若直线被圆截得的弦长为4，则的最大值是（）A. B.C.1 D.27．若函数，则（）A. B.C.0 D.18．已知是双曲线：的右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，并交轴于点．若，则的离心率为（）A. B.C.2 D.9．若复数的模为2，则的最大值为（）A. B.C. D.10．已知a、b是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若a∥α，a∥b，则b∥α B.若a∥α，a∥β，则α∥βC.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β D.若a⊥α，b⊥α，则a∥b11．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（）A. B.C. D.612．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和为8}，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点．以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线于B，D两点，A，F，B三点共线，且，则______14．点在以，为焦点的椭圆上运动，则的重心的轨迹方程是___________.15．已知点，平面过，，三点，则点到平面的距离为________.16．抛物线的聚焦特点：从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的对称轴.另一方面，根据光路的可逆性，平行于抛物线对称轴的光线射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处.已知抛物线，一条平行于抛物线对称轴的光线从点向左发出，先经抛物线反射，再经直线反射后，恰好经过点，则该抛物线的标准方程为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知为等差数列，是各项均为正数的等比数列的前n项和，，，，在①；②；③．这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则按选择的第一个解答计分）（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和.18．（12分）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，（1）设，，，用向量表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值19．（12分）已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和.20．（12分）已知是公差不为0的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列.（1）求和；（2）若，数列的前项和为，且对任意的恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知数列的前项和满足（1）证明：数列为等比数列；（2）若数列为等差数列，且，，求数列的前项和22．（10分）已知直线过点，且被两条平行直线，截得的线段长为.（1）求的最小值；（2）当直线与轴平行时，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由函数在上单调递增，可得，从而可求出实数的取值范围【详解】由，得，因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即恒成立，因为，所以，所以，所以实数的取值范围为，故选：A2、C【解析】利用余弦定理可求得最大角的余弦值小于零，由此可知最大角为钝角.【详解】设三边分别为，，，中的最大角为，，为钝角，为钝角三角形.故选：C.3、A【解析】直接由焦点位置及焦点到准线的距离写出标准方程即可.【详解】由焦点在轴的正半轴上知抛物线开口向上，又焦点到准线的距离为，故抛物线的标准方程是.故选：A.4、A【解析】根据两直线平行的条件列方程，化简求得，检验后确定正确答案.【详解】由于直线与直线平行，所以，或，当时，两直线方程都为，即两直线重合，所以不符合题意.经检验可知符合题意.故选：A5、A【解析】将两圆的方程相减，即可求两圆相交弦所在直线的方程.【详解】设，因为圆：①和圆：②交于A，B两点所以由①-②得：,即，故坐标满足方程，又过AB的直线唯一确定，即直线的方程为.故选：A6、A【解析】根据弦长求得的关系式，结合基本不等式求得的最大值.【详解】圆的圆心为，半径为，所以直线过圆心，即，由于为正数，所以，当且仅当时，等号成立.故选：A7、A【解析】构造函数，再用积的求导法则求导计算得解.【详解】令，则，求导得：，所以.故选：A8、A【解析】由条件建立a，b，c的关系，由此可求离心率的值.【详解】设，则，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴离心率，故选：A.9、A【解析】由题意得，表示以为圆心，2为半径的圆，表示过原点和圆上的点的直线的斜率，由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，然后求出切线的斜率即可【详解】因为复数的模为2，所以，所以其表示以为圆心，2为半径的圆，如图所示，表示过原点和圆上的点的直线的斜率，由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，设切线方程为，则，解得，所以的最大值为，故选：A10、D【解析】根据空间线、面的位置关系有关定理，对四个选项逐一分析排除，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，直线有可能平面内，故A选项错误.对于B选项，两个平面有可能相交，平行于它们的交线，故B选项错误.对于C选项，可能相交，故C选项错误.根据线面垂直的性质定理可知D选项正确.故选:D.11、C【解析】按照空间中点到直线的距离公式直接求解.【详解】由题意，，，的方向向量，，则点到直线的距离为.故选：C.12、B【解析】利用条件概率公式进行求解.【详解】，其中表示：两次点数均为奇数，且两次点数之和为8，共有两种情况，即，故，而，所以，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，由，，三点共线，推得，由三角形的中位线性质可得到准线的距离，可得的值【详解】抛物线的焦点为，，准线方程为，因为，，三点共线，可得为圆的直径，如图示：设准线交x轴于E，所以，则，由抛物线的定义可得，又是的中点，所以到准线的距离为,故答案为：214、【解析】设出点和三角形的重心，利用重心坐标公式得到点和三角形的重心坐标的关系，，代入椭圆方程即可求得轨迹方程，再利用，，三点不共线得到.【详解】设，，由，得，即，，因为为的重心，所以，，即，，代入，得，即，因为，，三点不共线，所以，则的重心的轨迹方程是.故答案：.15、【解析】先求得平面ABC的一个法向量，然后由求解.【详解】因为，，，，所以，设平面ABC的一个法向量为，则，即，令，则，所以则点到平面的距离为，故答案：16、【解析】根据抛物线的聚焦特点，经过抛物线后经过抛物线焦点，再经直线反射后经过点，则根据反射特点，列出相关方程，解出方程即可.【详解】设光线与抛物线的交点为，抛物线的焦点为，则可得：抛物线的焦点为：则直线的方程为：设直线与直线的交点为，则有：解得：则过点且垂直于的直线的方程为：根据题意可知：点关于直线的对称点在直线上设点，的中点为，则有：直线垂直于，则有：点在直线上，则有：点在直线上，则有：化简得：又故故答案为：【点睛】直线关于直线对称对称，利用中点坐标公式和直线与直线垂直的特点建立方程，根据题意列出隐含的方程是关键三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）无论选择哪个条件答案均为；（2）.【解析】（1）先根据题设条件求解，然后根据选择的条件求解；（2）先求，然后利用分组求和的方法求解.【小问1详解】设的公差为，因为，；所以，解得，所以.选①：设的公比为，则；由题意得，因为，所以，解得或（舍）；所以.选②：由，当时，，因为，所以；当时，，整理得；即是首项和公比均为2的等比数列，所以.选③：因为，，所以，解得；所以.【小问2详解】由（1）得；所以.18、（1）；（2）【解析】（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.【小问1详解】，因为，同理可得，所以【小问2详解】因为，所以，因为，所以所以异面直线与所成角的余弦值为19、（1）（2）【解析】（Ⅰ）将数列中的项用和表示，根据等比数列的性质可得到关于的一元二次方程可求得的值，即可得到数列的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）可求得的通项公式，用分组求和法可得其前项和.试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，因，且，，成等比数列，即，，成等比数列，所以有，即，解得或（舍去），所以，，数列的通项公式为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以.点睛：本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.20、（1），；（2）.【解析】（1）求出，即得数列的和；（2）由题得，再利用分组求和求出，得到，令，判断函数的单调性得解.【详解】（1）设数列的公差为，由已知得，，即，整理得，又，，；（2）由题意：，，，令，则，即对任意的恒成立，是单调递增数列，，只需，所以.【点睛】方法点睛：求数列的最值，常用数列的单调性求解，求数列的单调性，一般利用定义法作差或作商判断.21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由与的关系，利用等比数列的定义证明即可；（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求