排列组合概率和统计

专项专项测试排列组合、概率与统计对于概率与统计的考察，文理科在内容上和水平上有不同的规定，文科试卷集中在抽样办法上，题型以客观题为主，难度普通为中档或偏易，重视对基本概念的理解和简朴计算的考察.如全国II文第13题、山东卷文第8题、湖北卷文第7题等；全国高考的12套理科试题中，有11套试题中都涉及到对概率统计知识的考察，热点集中在离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的数学盼望、方差和正态分布等，难度相对比文科大，以解答题为主，选择填空为辅.如全国卷I理第18题、山东卷理第18题、辽宁卷理第19题等等.对于概率与统计的考察，文理科在内容上和水平上有不同的规定，文科试卷集中在抽样办法上，题型以客观题为主，难度普通为中档或偏易，重视对基本概念的理解和简朴计算的考察.如全国II文第13题、山东卷文第8题、湖北卷文第7题等；全国高考的12套理科试题中，有11套试题中都涉及到对概率统计知识的考察，热点集中在离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的数学盼望、方差和正态分布等，难度相对比文科大，以解答题为主，选择填空为辅.如全国卷I理第18题、山东卷理第18题、辽宁卷理第19题等等.在突出应用数学的今天，由于概率与统计与实际生活亲密有关，预计在后来的高考中会越来越受重视.这部分涉及的重要内容有离散型随机变量的分布列、盼望与方差、抽样办法、用样本预计总体、统计案例等.由于有关试题的解法规律性较强，涉及知识面广，会提出新的设问方式，和新的题型，特别是以工农生产、生活、科研、文化、体育等实际知识相结合，因而是高考中的难点.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目规定的.1.已知集合A=｛1,2,3,4｝,B=｛-1,0,1｝,现建立从A到B的映射f：x→f(x)，若f(1)<f(2)<f(3),则这样的映射共有（）A．3个B．9个C．12个D．16个2.（理）下列随机变理ξ的分布列不属于二项分布的是()A.．某事业单位有500名在职人员，人事部门每年要对他们进行年度考核，每人考核成果为优秀的概率是0.25.假设每人年度考核成果是互相独立的，ξ为考核成果为优秀的人数.B．某汽车总站附近有一种加油站，每辆车出汽车总站后进加油站加油的概率是0.12，且每辆车与否加油是互相独立的.某天出汽车总站有50辆汽车，ξ为进加油站加油的汽车数.C．某射手射中目的的概率为p，设每次射击是互相独立的，ξ为从开始射击到击中目的所需要的射击次数.D．某周内，每次下载某网站数据后被病毒感染的概率为0.5，ξ表达下载n次数据后电脑被病毒感染的次数.(文)某学校有老教师28名，中年教师54名，青年教师81名，为了调查他们的身体状况，学校决定从他们中抽取容量为36的样本进行健康调查，最适宜的抽取样本的办法是()A．简朴随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．先从老教师中剔除一人，然后进行分层抽样3.已知数列｛an｝满足条件：,则对任意正偶数的概率等于（）A．1B．C．D．4.(理)设随机变量ξ~N（μ,σ2）且P(ξ<1)=,P(ξ>2)=p,则P(0<ξ<1)的值为（）A．B．1－pC．1－2pD．(文)如果将一组数据中的每一种数据都加上同一种非零常数，那么这组数据的平均数和方差的变化状况为（）A．平均数和方差都不变B．平均数不变，方差变化C．平均数变化，方差不变D．平均数和方差都变化5.如图是一种正方体的表面展开图，若把1,2,3,4,5,6随机填入小正方形内，按虚线折成正方体，则所得正方体相对面上两个数的和都相等的概率是（）A．B．C．D．6.已知随机变理ξ只能取3个值：x1,x2,x3,其概率依次成等差数列，则这个数列的公差的取值范畴是（）A．[]B．[]C．[]D．[]7.某人向同一目的独立重复射击，每次射击命中目的的概率为p(0<p<1)，则此人第4次射击正好是他第2次命中目的的概率为（）A．B．C．D．8.设两个独立事件A，B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，那么P（A）为（）A．B．C．D．9.(理)已知随机变理ξ的概率分布以下：ξ12345678910Pm则P（ξ=10）的值是（）A．B．C．D．(文)从名学生中选用50名构成参观团，若采用下列办法选用：先用简朴随机抽样从名学生中剔除6名，再从名学生中随机抽取50名.则其中学生甲被剔除和被选用的概率分别是（）A．B．C．D．10.假设Kobe-Bryant投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学盼望为2，则的最小值为（）A．B．C．D．11.若m,n∈｛x|x=a2×102+a1×10+a0｝，其中ai∈｛1，2，3，4，5，6，7｝,i=0,1,2,并且m+n=636，则实数对（m,n）表达平面上不同点的个数为（）A．60个B．70个C．90个D．120个12.(理)设有n个样本x1,x2…,xn,其原则差为sx,另有n样本y1,y2…,yn,且yk=3xk+5(k=1,2,…n)其原则差为sy,则下列关系对的的是（）A．sy=3sx+5B．sy=3sxC．D．(文)一种盒子装着分别编有号码1,2,3,4,5的红色球，白色球各5个，从中任意取出5个，则这5个球中编号之和不不大于20的概率是（）A．B．C．D．第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在横线上.13.从某校高三年级随机抽取一种班，对该班50名学生的高校招生体验表中视力状况进行统计，其成果的频率分布直方图如图，若某高校A专业对视力的规定在0.9以上，则该班学生能报A专业的人数为_________.14.(理)某超市为扩大销售，决定对进入超市的人数做一次调查，经观察，在一段时间内，进入超市为n个人的概率为P(n)，且满足P(n)=那么在某一时刻，一种顾客也没有的概率P(0)=__________.(文)高三学生李丽5次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,10,y,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2.，则的值为____________.15.同时掷六枚材质均匀的硬币，则最少有两枚正面对上的概率为__________.16.设a在区间[0，5]上随机的取值，则方程有实根的概率为__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字、证明过程或演算环节.17.(本小题满分10分)一项“过关游戏”规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果第n关的n次抛掷所出现的点数之和不不大于n2就算过关.问：（1）张强在这项游戏中最多能连过几关？（2）他连过前两关的概率是多少？18.(本小题满分12分)某智力测试有5道度题.假定任何智力正常的人答对第i道题的概率都是（1）求智力正常的人将这5道试题都答错了的概率以及最少答对4道试题的概率；（2）（只理科做）如果甲将这5道试题都答错，乙答对4道试题，答错1道试题.能否鉴定甲的智力低于正常水平.请运用所学概率知识体现你的观点.19.（本小题满分12分）一种赌博游戏：一种布袋内装有6个红球与6个白球，除颜色不同外，六个球完全同样，每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6个全白，赢得100元.只有你摸出了3红3白才会输100元，而对于其它六种状况，你均能赢得对应的钱数，并且这个游戏是免费的.请解释下面说法与否对的：“用概率论的语言说，这7种状况是等可能的，赢的机会为，输的机会仅为，摸7次有6次都应当赢”.20.（本小题满分12分）甲乙进行乒乓球比赛，比赛规则：在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10平后，先得2分的一方为胜方.根据以往战况，双方在每一分的争夺中甲的胜概率为0.6.求一局中甲在以8：9落后的状况下以12:10获胜的概率.根据以往战况，双方在每一分的争夺中甲胜的概率为p(0<p<1)，求一局中甲以14:12获胜的概率.21.(本小题满分12分)某大学的校摔跤队与数学系摔跤队举办对抗赛，校对的实力比系队强，当一种校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率是0.6，现在校、系双方商议对抗赛的方式，提出了三种方案：（1）双方各出3人；（2）双方各出5人；（5）双方各出7人.三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利.问：对系队来说，哪一种方案最有利？22.（本小题满分12分）（理）在独立重复实验中，某事件发生的概率是P.求第2次事件发生所需要的实验次数ξ的分布列、数学盼望.(文)一种盒子装有六张卡片，上面分别写着以下六个定义域为R的函数：（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一种新函数，求所得函数是奇函数的概率；（2）现从盒子中进行逐个抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数不多于三次的概率.参考答案1.A由能够取－1，0，1三者之一，于是这样的映射有3个，故选A.2.(理)选项A：每人考核成果只有“优秀”，“不优秀”两个对立成果，且每人考核成果为优秀是互相独立的，并且概率为常数，因此随机变量ξ服从二项分布；选项B：每辆汽车出汽车总站后，只有进加油站加油和不进加油站加油两个成果，同时每辆车进加油站加油的概率为常数，并且互相独立，因此随机变量ξ服从二项分布；选项C：在一次又一次的射击中，第一次射中是我们关注的事件A，随机变量ξ表达第一次击中目的时射击的次数，显然随机变量ξ服从几何分布，不服从二项分布；选项D同选项A、B，可判断随机变量ξ服从二项分布.选C.(文)D根据随机抽样和分层抽样的意义可知选D.3.A由递推关系得，于是当n是偶数时，当n是奇数是，故对任意的正偶数n,总有成立，故其概率是1，选A.4.(理)D由正态曲线的对称性和P(ξ<1)=知，盼望μ=1,即正态曲线有关直线x=1对称，于是P（ξ<0）=P（ξ>2），因此P（0<ξ<1）=P（ξ<1）-P（ξ<0）=P（ξ<1）-P（ξ>2）=－P,故选D.(文)C平均数是衡量样本（或一组数据）平均水平（或集中趋势）的特性数，而方差是衡量样本（或一组数据）和总体的波动大小的特性数，因此平均数变化，方差不变，即若ξ是随机变理，则η=ξ+b(b≠0为常数)也是随机变量，则Eη=Eξ+b,

Dη=Dξ,因此选C.5.B把1，2，3，4，5，6随机地填入小正方形内，一共有A66种不同的办法，当按虚线折成正方体时，所得正方体相对面上两个数的和都相等，则应当是1+6=2+5=3+4，即正方体的三组对面上分别应填入1、6、2、5、3、4，这三组数字之间能够全排列，因此有A33种办法，而在每一组相对的面上两个数字还能够交换，各有2种办法，因此所得正方体相对面上两个数的和都相等的填法是A33×2×2×2.因此所求概率为P=.选B.6.C随机变量ξ只能取3个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，设为(d为公差)，由概率的性质，得解不等式组，得选C.7.C“第4次射击正好是他第2次命中”表达4次射击中第4次命中目的，前3次射击中有1次命中目的.由独立重复性知所求概率为：.故选C。8.B由已知，得∴整顿，得9.（理）根据随机变理分布列的意义，得(10)=选C.(文)C学生甲被剔除的概率则学生甲不被剔除的概率为,因此甲被选用的概率故选C.10.D由已知得由于当且仅当时取等号，即的最小值为，选D.11.由6=5+1=4+2=3+3及题设知，个位数字的选择有5种.由于3=2+1=7+6-10,故（1）由3=2+1知，首位数字的可能选择有2×5=10种；（2）由3=7+6-10及5=4+1=2+3知，首位数字的可能选择有2×4=8种.于是，符合题设的不同点的个数为5×(10+8)=90种.故选C.12.(理)B由平均数的定义，得由方差的计算公式,得，因此sy=3sx,选B.办法探究：记住平均数、方差的某些惯用性质非常必要.如：①如果样本x1，x2，…，xn的平均数是，那么样本②当x1，x2，…，xn波动到最大状态时，s2获得最大值；③若两样本x1，x2，…，xn；y1，y2，…，yn满足yi=axi+b(a、b为常数，i=1,2,…n)，则y1，y2…yn的方差是x1，x2，…，xn的方差的a2倍，即等等.(文)A编号之和不不大于20共有三类状况：5+5+4+4+2=20,5+5+4+4+3=21,5+5+4+3+3=20,于是所求概率为选A.13.20依题意，该班学生视力在0.9以上的频率为（1.00+0.75+0.25）×0.2=0.4，频率为0.4×50=20，故该班学生中能报A专业的人数为20.14.(理)，解方程得(文)4由平均数为10可得：x+y=20,由方差为2,得，解这个方程组，得因此15.由于硬币的材质均匀，因此同时掷六枚材质均匀的硬币，相称于“掷一枚硬币”持续掷六次，属于独立重复实验.事件“最少有两枚正面对上”的对立事件是“至多有一枚正面对上”，于是所求概率为16.一元二次议程有实根的充要条件是△≥0,而解得a≤－1或a≥2,于是区间[0,5]∩((－∞,－1)]∪[2,+8))=[2,5]的长度为3，而区间[0，5]的长度为5，故所求概率p=.17.由于骰子是均匀的正方体，因此抛掷后各点数出现的可能性是相等的.(1)由于点数最大为6，抛掷n次点数之和的最大值为6n.因此6×1>12,6×2>22,6×3>32,6×4>42,6×5>52,6×6=62,6×7>72,…,(4分)当≥6时，点数之和不可能不不大于n2，即此时过关的概率为0.因此张强在这项游戏中最多能连过5关.(6分)(2)记第n次过关为事件An,基本领件总数为6n.第一关：由12=1知.点数不不大于2即可，因此(8分)第二关：由22=4知，考虑对立事件，即“不能过第二关”依次取a=2、3、4,解不定方程x+y=a(前两次所掷点数分别为x、y),得其解的个数是从而因此连过前两关的概率是（10分）思路点拔：本例综合了概率、组合、不等式、不定方程等知识，是一道新颖、独特的好题，有助于考察考生分析问题、解决问题的基本技能，概率问题是高考命题的主干知识，涉及到的问题情景是常考常新的，多数是与生活实际相联系的.18.(1)智力正常的人将这5道试题都答错的概率为（理3分，文5分）答对4道试题的概率为答对了5道试题的概率为∴智力正常的人最少答对4道试题的概率为(理7分，文12分)（2）（只理科做）智力正常的人将这5道试题都答错了概率P0≈0.132>0.05,因而不能鉴定甲的智力低于正常水平（理9分）智力正常的人答对4道以上试题的概率P≈0.045<0.05.根据小概率事件在一次实验中几乎不发生的原理知，假设乙的智力在正常水平，答对4道试题的状况几乎不发生.从而能够认定乙智力高于正常水平.(理12分)拓展迁移：通过本题的学习，要对的理解概率统计中的出名原理——小概率事件在一次实验中几乎不发生.概率是从统计的角度，通过大量的重复的实验得到的有关某个事件发生的频率的稳定性的一种描述，反映了某个事件发生可能性的大小.19.游戏的妙处就在于这7种状况发生不是等可能的.(2分)由于球的形状、大小、重量等完全同样，因此在我们无法看到的状况下是无法分辨红球和白球的，任意摸6个球，不管红或白，共有C612=724种可能，由此能够计算出摸到“5红1白”的概率为，而摸到“3红3白”的概率不（6分）可见，输钱的可能性约占二分之一，正是由于多个状况出现的概率不均等，才造成了人们上当被骗，这7种状况出现的概率以下表所示：成果6个全红5红1白4红2白3红3白2红4白1红5白6个全白约出现的概率0.0010.0390.2440.4320.2440.0390.001(8分)很显然，上面多个状况的概率加起来是1，它们把全部的可能性（100%）进行了不均等的概率分派，从中还能够看出，要想摸出“6个全红”与“6个全白”的可能性各仅点0.1%，相称于1000次中只有1次全赢100元，这是一种概率很小的事件，根据实际推断原理，在一次摸取中，其基本上是不会发生的，而摸到“3红3白”的可能性为43.2%，即几乎每两次就有一次出现，几乎有二分之一的机会输掉100元，这就是摸得越多，输得越多的因素.命题动向：《考试大纲》规定理解概率的意义，也就规定我们既能够运用概率来解决有关的实际问题，同时也规定我们能反过来对所求出的概率作出合理的解释.拓展迁移：在市场经济高度发展的今天，经济活动已经进一步到我们的日常生活中，投资变得不再陌生，如投资经济、保险、证券、股票等.作投资之前我们都会分析多个各样的状况进而做出投资的决策.由本题可知，博彩者是运用数学知识来蒙骗投资者，我们必须学好数学知识来提高自己的科学素养才不至于上当被骗.20.(1)从比分8:9到12:10有下面三种状况：8:9——8:10，9:10，10:10,11:10,12:108:9——9:9,9:10,10:10，11:10,12:108:9——9:9,10:9,10:10,11:10,12:10（4分）由此可知：最后两分必为甲且必出现10平，甲以8:9落后的状况下以12:10获取的概率为(6分)（2）甲以14：12获取必出现10平，11平，12平，且最后两分必为甲得.(8分)前20分中甲得10分的概率为因此甲以14：12获胜的概率为(12分)命题动向：本题以“乒乓球赛”为素材，让考生感到真实、亲切.这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差别，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神.考察运用概率知识解决实际问题的能力.21.三种方案中，哪一种方案系队获胜的概率更大某些，哪一种方案对系队就更有利.进行几场比赛相称于进行几次独立重复实验，能够用n次独立重复实验中某事件发生k次的概率方式解题.记一次比赛系队获胜为事件A，事件A的对立事件为校队获胜，因此P(A)=1－0.6=0.4.(2分)用方案一：A发生两次为系队胜，A发生3次也为系队胜，因此系队获胜的概率为(4分)用方案二：A发生3、4、5次为系队胜：（7分）用方案三：A发生4、5、6、7次为系队胜，因此系队胜利的概率为：.(10分)比较