湘教版数学八年级上册-1.5-可化为一元一次方程的分式方程

1.5可化为一元一次方程的分式方程第1章分式第1课时可化为一元一次方程的分式方程的解法湘教版数学八年级上册

一艘轮船在静水中的最大航速为

30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行

90千米所用时间，与以最大航速逆流航行

60千米所用时间相等.设江水的流速为

x千米/时，根据题意可列方程

.这个方程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什么区别？定义：此方程的分母中含有未知数

x，像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程.知识要点分式方程的概念判一判下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？整式方程分式方程方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π

不是未知数)．（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母

都约去？（4）这样做的依据是什么？解分式方程最关键的问题是什么？（1）如何把它转化为整式方程呢？如何去分母你能试着解这个分式方程吗？分式方程的解法方程的最简公分母是：(30

+

x)(30

-

x).解：方程两边同乘

(30+x)(30

-

x)，得检验：将

x

=6代入原分式方程中，左边

=

=

右边，因此

x

=6是原分式方程的解.90(30

-

x)=60(30+x)，解得x=6.x=6是原分式方程的解吗？解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同时乘最简公分母.

这也是解分式方程的一般方法.归纳下面我们再解一个分式方程：解：方程两边同乘最简公分母

(x+5)(x

-

5)，得x+5=10，解得

x=5.x=5是原分式方程的解吗？检验：将

x=5代入原方程中，分母

x-

5和

x2-

25的值都为

0，相应的分式无意义.因此

x

=

5虽是整式方程

x

+

5=10

的解，但不是原分式方程

的解，实际上，这个分式方程无解.想一想：

上面两个分式方程中，为什么去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而

去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？真相揭秘：分式两边同乘不为

0的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同.我们再来观察去分母的过程：90(30-x)=60(30+x)两边同乘

(30+x)(30-x)当x=6时，(30+x)(30-x)≠0真相揭秘：分式两边同乘了等于

0的式子，所得整式方程的解使分母为

0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解.x+5=10两边同乘(x+5)(x-5)当x=5时，(x+5)(x-5)=0解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为

0，所以分式方程的解必须检验．怎样检验？这个整式方程的解是不是原分式方程的解呢？分式方程解的检验——必不可少的步骤检验方法：把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于0，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为0，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根.1.在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；2.解这个整式方程；3.把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去；4.写出原方程的根.简记为：“一化二解三检验”.知识要点“去分母法”解分式方程的步骤例1

解方程：解：方程两边同乘最简公分母

x(x-

2)，得解这个一元一次方程，得x=-3.检验：把x=-3代入

x(x-

2)，得

x(x-

2)≠0.因此x=-3是原方程的解.典例精析解：两边同乘最简公分母(x

+2)(x

-

2)，得

x+2

=4.解得x

=2.检验：把

x

=2代入(x

+2)(x

-

2)，得(x

+2)(x

-

2)=

0.因此

x

=2不是原分式方程的解，原方程无解.提醒：解分式方程时，通常要在方程两边同乘最简公分母，验根时，只要把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去.用框图总结为：可化为一元一次方程的分式方程一元一次方程方程两边同乘最简公分母求解x=a

检验x=a是分式方程的解

x=a不是分式方程的解

当x=a时最简公分母是否为零？否是例2若关于

x的分式方程

无解，求

m的值．解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：整式方程无解与分式方程有增根．解：方程两边同乘

(x＋2)(x－2)

得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即

(m－1)x＝-10.①当

m－1＝0

时，此方程无解，此时

m＝1；②方程有增根，则

x＝2

或

x＝－2，当

x＝2

时，代入

(m－1)x＝－10，得

(m－1)×2＝－10，解得

m＝－4；当

x＝－2时，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×(－2)＝－10，解得

m＝6.

所以

m

的值是

1，－4或

6.

分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为

0的数；分式方程无解不但包括使最简公分母为

0

的情况（增根），而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的情况．方法总结2.

要把方程

化为整式方程，方程两边可以同乘（）DA.3y-

6B.3yC.3(3y

-

6)D.3y(y

-

2)1.下列关于

x的方程中，是分式方程的是(

)A.B.C.D.D3.解分式方程

时，去分母后得到的整式方程是

(

)A.2(x-

8)

+

5x

=

16(x

-

7)B.2(x

-

8)

+

5x

=

8C.2(x

-

8)

-

5x

=

16(x

-

7)D.2(x

-

8)

-

5x

=

8A4.若关于

x的分式方程

无解，则

m的值为(

)A.－1或5 B.1 C.－1.5或2 D.－0.5或－1.5D5.解方程：解：

方程两边同乘

x(x

-

3)，得2x=3x

-

9.解得x=9.检验：当

x=9

时，x(x

-

3)≠0.所以，原分式方程的解为

x=9.6.解方程：解：

方程两边同乘

(x

-

1)(x

+

2)，得x(x

+

2)

-

(x

-

1)(x

+

2)=3.解得x=1.检验：当

x=1

时，(x

-

1)(x

+

2)=0，因此

x=1不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解.7.解方程：解：方程两边同乘

，得解得检验：把代入最简公分母，得所以原方程的解为8.若关于

x的方程

有增根，求

m的值.解：方程两边同乘(x

-

2)，得2

-

x

+

m=2x

-

4.

所以

m=3x

-

6.

因为该分式方程有增根，

所以

x

-

2=0，即

x=2.

所以

m=0.分式方程误区(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘；步骤(去分母法)一化(分式方程转化为整式方程)；二解(整式方程)；三检验(把解代入到最简公分母，看是否为零)(2)去分母后，分子是多项式时，没有添括号(因分数线有括号的作用)；(3)忘记检验.定义分母中含未知数的方程叫作分式方程1.5可化为一元一次方程的分式方程第1章分式第2课时

分式方程的应用湘教版数学八年级上册1.解分式方程的基本思路是什么？2.解分式方程有哪几个步骤？3.分式方程一般如何验根？分式方程整式方程转化去分母一化二解三检验将所求得的根代入最简公分母，看是否等于0，等于0则为增根，不等于0的才是原方程的根.4.我们所学过的应用题有哪些类型？每种类型的基本公式是什么？常见的有

4

种：(1)行程问题：路程=速度×时间以及它的两个变式；(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法；(3)工程问题：工作量=工时×工效以及它的两个变式；(4)利润问题：批发成本=批发数量×批发价；打折销售价=定价×

；销售利润=销售收入-批发成本；每本销售利润=定价-批发价；利润率=利润÷进价.折数10例1

两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工

1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？表格法分析如下：工作时间（月）工作效率工作总量（1）甲队乙队等量关系：甲队完成的工作总量

+

乙队完成的工作总量=“1”设乙单独完成这项工程需要

x天.列分式方程解决工程问题解：设乙单独完成这项工程需要

x个月.记工作总量为1，甲的工作效率是

，根据题意得即方程两边同乘2x，得解得x=1.检验：当

x=1时，2x≠0.所以，原分式方程的解为

x=1.由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.想一想：本题的等量关系还可以怎么找？甲队单独完成的工作总量

+

两队合作完成的工作总量=“1”此时表格怎么列，方程又怎么列呢？设乙单独完成这项工程需要

x天.则乙队的工作效率是，甲队的工作效率是，两队合作的工作效率是工作时间(月)工作效率工作总量甲单独两队合作此时方程是：1表格为“3行

4列”知识要点工程问题1.题中有“单独”字眼通常可知工作效率；2.通常间接设元，如××单独完成需

x（单位时间），则可表示出其工作效率；3.弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效

=甲乙两队工作效率的和”.4.解题方法：可概括为“321”，即

3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和

=全部工作总量.抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．问甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？解析：设甲队单独完成需要

x小时，则乙队需要(x＋3)小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1”列方程．做一做解：设甲队单独完成需要

x小时，则乙队需要(x＋3)小时．由题意得.解得

x＝6.经检验

x＝6是方程的解．∴x＋3＝9.答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时．解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．例2朋友们约着一起开着

2

辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了

200km时，发现小轿车只行驶了

180km，若面包车的行驶速度比小轿车快

10

km/h，请问面包车、小轿车的速度分别为多少？0180200列分式方程解决行程问题路程速度时间面包车小轿车200180x+10x分析：设小轿车的速度为

x

km/h.面包车的时间=小轿车的时间

等量关系：

列表格如下：解：设小轿车的速度为

x

km/h，则面包车速度为(x

+10)km/h，依题意得解得

x＝90.经检验，x＝90

是原方程的解，且

x

=

90，x+10=

100，符合题意.答：面包车的速度为100

km/h，小轿车的速度为90

km/h.注意两次检验:(1)是否是所列方程的解；(2)是否满足实际意义.做一做

1.小轿车发现跟丢时，面包车行驶了

200km，小轿车行驶了

180km，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在

300

公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少

km/h？0180200300解：设小轿车提速为

x

km/h，依题意得解得

x＝30.经检验，x＝30

是原方程的解，且

x＝30，符合题意.答：小轿车提速为30

km/h.列分式方程解应用题的一般步骤1.审清题意；

2.找相等关系；3.设出未知数4.列出方程；5.解这个分式方程；6.验根（包括两方面：①是否是分式方程的根；②是否符合实际情况）；7.作答.例3

国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后，客户每购买一台可获得补贴

200元，若同样用

11万元购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多

10%，则该款空调补贴前的售价为多少元？分析：本题涉及的等量关系为补贴前11万元购买的台数×(1+10%)=补贴后11万元购买的台数.解：设该款空调补贴前的售价为每台

x

元，由上述等量关系可得如下方程方程两边同乘最简公分母

x(x

-

200)，解得

x=2200.得

1.1(x-

200)=x.检验：把

x=2200

代入

x(x

-

200)中，它的值不等于

0，

因此

x=2200

是原方程的根，且符合题意.答：该款空调补贴前的售价为每台

2200

元.即A.B.C.D.1.几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费，若设原来参加旅游的学生有

x人，则所列方程为(

)A2.一轮船往返于

A、B两地之间，顺水比逆水快

1小时到达.已知

A、B

两地相距

80千米，水流速度是

2千米/时，求轮船在静水中的速度.检验：x=－18不合题意，舍去.解：设船在静水中的速度为

x千米/时,根据题意得解得x=±18.故

x=18.答：船在静水中的速度为

18千米/时.方程两边同乘(x

-

2)(x

+

2)得80x

+

160－80x

+

160=x2－4.3.农机厂到距工厂

15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了

40

分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的

3

倍，求两车的速度.解：设自行车的速度为

x千米/时，那么汽车的速度是

3x

千米/时，依题意得：解得

x＝15.经检验，x＝15是原方程的根.由

x＝15得

3x＝45.答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时.4.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元.解：设排球的单价为

x元，则篮球的单价为(x＋60)元，根据题意，列方程得解得

x＝100.经检验，x＝100是原方程的根，当

x＝100时，x＋60＝160.答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元．5.

某水果店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完.由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余水果.(1)求第一次水果的进价是每千克多少元；解析：根据第二次购买水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案；解：设第一次购买的进价为

x元，则第二次的进价为1.1x元，根据题意得，解得

x＝6.经检验，x＝6是原方程的解．答：第一次水果的进价为每千克6元．(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？解析：先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了．解：第一次购买水果1200÷6＝200(千克).第二次购买水果200＋20＝220(千克).第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)，第二次赚钱为100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝－12(元)．所以两次共赚钱400－12＝388(元).分式方程的应用类型行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问题等方法步骤一审二找三设四列五解六验七答321法1.5可化为一元一次方程的分式方程第1章分式第2课时

分式方程的应用湘教版数学八年级上册1.解分式方程的基本思路是什么？2.解分式方程有哪几个步骤？3.分式方程一般如何验根？分式方程整式方程转化去分母一化二解三检验将所求得的根代入最简公分母，看是否等于0，等于0则为增根，不等于0的才是原方程的根.4.我们所学过的应用题有哪些类型？每种类型的基本公式是什么？常见的有

4

种：(1)行程问题：路程=速度×时间以及它的两个变式；(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法；(3)工程问题：工作量=工时×工效以及它的两个变式；(4)利润问题：批发成本=批发数量×批发价；打折销售价=定价×

；销售利润=销售收入-批发成本；每本销售利润=定价-批发价；利润率=利润÷进价.折数10例1

两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工

1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？表格法分析如下：工作时间（月）工作效率工作总量（1）甲队乙队等量关系：甲队完成的工作总量

+

乙队完成的工作总量=“1”设乙单独完成这项工程需要

x天.列分式方程解决工程问题解：设乙单独完成这项工程需要

x个月.记工作总量为1，甲的工作效率是

，根据题意得即方程两边同乘2x，得解得x=1.检验：当

x=1时，2x≠0.所以，原分式方程的解为

x=1.由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.想一想：本题的等量关系还可以怎么找？甲队单独完成的工作总量

+

两队合作完成的工作总量=“1”此时表格怎么列，方程又怎么列呢？设乙单独完成这项工程需要

x天.则乙队的工作效率是，甲队的工作效率是，两队合作的工作效率是工作时间(月)工作效率工作总量甲单独两队合作此时方程是：1表格为“3行

4列”知识要点工程问题1.题中有“单独”字眼通常可知工作效率；2.通常间接设元，如××单独完成需

x（单位时间），则可表示出其工作效率；3.弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效

=甲乙两队工作效率的和”.4.解题方法：可概括为“321”，即

3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和

=全部工作总量.抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．问甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？解析：设甲队单独完成需要

x小时，则乙队需要(x＋3)小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1”列方程．做一做解：设甲队单独完成需要

x小时，则乙队需要(x＋3)小时．由题意得.解得

x＝6.经检验

x＝6是方程的解．∴x＋3＝9.答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时．解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．例2朋友们约着一起开着

2

辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了

200km时，发现小轿车只行驶了

180km，若面包车的行驶速度比小轿车快

10

km/h，请问面包车、小轿车的速度分别为多少？0180200列分式方程解决行程问题路程速度时间面包车小轿车200180x+10x分析：设小轿车的速度为

x

km/h.面包车的时间=小轿车的时间

等量关系：

列表格如下：解：设小轿车的速度为

x

km/h，则面包车速度为(x

+10)km/h，依题意得解得

x＝90.经检验，x＝90

是原方程的解，且

x

=

90，x+10=

100，符合题意.答：面包车的速度为100

km/h，小轿车的速度为90

km/h.注意两次检验:(1)是否是所列方程的解；(2)是否满足实际意义.做一做

1.小轿车发现跟丢时，面包车行驶了

200km，小轿车行驶了

180km，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在

300

公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少

km/h？0180200300解：设小轿车提速为

x

km/h，依题意得解得

x＝30.经检验，x＝30

是原方程的解，且

x＝30，符合题意.答：小轿车提速为30

km/h.列分式方程解应用题的一般步骤1.审清题意；

2.找相等关系；3.设出未知数4.列出方程；5.解这个分式方程；6.验根（包括两方面：①是否是分式方程的根；②是否符合实际情况）；7.作答.例3

国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后，客户每购买一台可获得补贴

200元，若同样用

11万元购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多

10%，则该款空调补贴前的售价为多少元？分析：本题涉及的等量关系为补贴前11万元购买的台数×(1+10%)=补贴后11万元购买的台数.解：设该款空调补贴前的售价为每台

x

元，由上述等量关系可得如下方程方程两边同乘最简公分母

x(x

-

200)，解得

x=2200.得

1.1(x-

200)=x.检验：把

x=2200

代入

x(x

-

200)中，它的值不等于

0，

因此

x=2200

是原方程的根，且符合题意.答：该款空调补贴前的售价为每台

2200

元.即A.B.C.D.1.几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费，若设原来参加旅游的学生有

x人，则所列方程为(

)A2.一轮船往返于

A、B两地之间，顺水比逆水快

1小时到达.已知

A、B

两地相距

80千米，水流速度是

2千米/时，求轮船在静水中的速度.检验：