数字信号处理 第2版 课件 苏令华 3.4DFT的应用举例

数字信号处理-------DFT应用3.1离散傅里叶级数3.4DFT应用举例用DFT计算线性卷积用DFT进行频谱分析实现正交频分复用重点难点3.2离散傅里叶变换3.3频率域采样用DFT进行频谱分析离散傅里叶变换应用举例

航模机声信号波形与频谱图

语音“他”/ta/的起始段信号及其频谱用DFT进行频谱分析离散傅里叶变换应用举例5xa(t)x

(n)抽样x

(n)

·

d

(n)截断周期延拓FTxd(n)主值XN

(k)频域抽样Xa(j

)X

(e

j

)X

(e

j

)

*

D

(e

j

)周期延拓主值卷积DTFTDTFTDFSDFTx

(n)的截断可能会造成原信号的失真Xa(j

)

的周期延拓可能会发生频谱混叠误差问题及参数选择

X(ej

)频域的抽样会发生栅栏效应6误差问题及参数选择1.混叠失真产生原因：时域抽样频率不满足抽样定理解决方法：(1)抗混叠预滤波(低通滤波器)；

(2)提高抽样频率fs；

(3)选择适当窗函数。窗函数不同，其频谱拖尾不同。7误差问题及参数选择频率分辨力是指可分辨两频率的最小间距。兼顾高频容量fh与频率分辨力F0，方法为：增加记录长度的点数N，即增加数据的观测长度T0。1.混叠失真8[例]有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂，假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已给条件为:①频率分辨率≤10Hz;②信号最高频率为4kHz。试确定以下参量：

(1)最小记录长度T0；

(2)最大抽样间隔T（即最小抽样频率）；

(3)在一个记录中的最少点数N。[解](1)最小纪录长度T0=1/F0=1/10=0.1(s)(3)最小纪录点数N

>fs

/F0=8000/10=800(2)抽样频率

fs≥

2fh=2×4000=8000(Hz)抽样间隔T=1/fs≤1/8000=1.25×10

-4(s)取N

=210=1024>8009[例]对最高频率为10kHz的频带有限信号进行抽样，然后取N＝1000点进行DFT，求：(1)频率的分辨力为多少？(2)求X(k)当k=150时对应的频率fk的大小。10[例]对最高频率为10kHz的频带有限信号进行抽样，然后取N＝1000点进行DFT，求：(1)频率的分辨力为多少？(2)求X(k)当k=150时对应的频率fk的大小。[解]由抽样定理得：抽样频率fs

≥

2

fh

=

20kHz频谱分辨力F0=fs

/

N=20Hzk

=

150

对应的fk=k

F0=3000Hz。泄露效应用DFT进行频谱分析离散傅里叶变换应用举例3.4DFT的应用举例用DFT频谱分析离散傅里叶变换应用举例加矩形窗前后频谱变化13误差问题及参数选择2.频谱泄漏(截断误差)解决方法：①增加截断长度T0；②选择适当窗函数。产生原因：在时域对信号进行截断，导致频谱平滑或展宽。14频谱泄漏示意图h

d

(n)

·

w

N

(n)0N-1n|H

d

(ej

)|

-

0

|WN

(ej

)|

-

0

|H

d

(ej

)*WN

(ej

)|

-

0

w

N

(n)0N-1nh

d

(n)0n15[例]余弦信号x(n)=cos(6πn／16)，周期为N=16，分别截取L=16和L=13点信号，作16点DFT，观察其频谱，讨论频谱泄漏现象。L=16，数据没有截断，频谱无泄漏16L=13，数据截断，频谱有泄漏[例3]余弦信号x(n)=cos(6πn／16)，周期为N=16，分别截取L=16和L=13点信号，作16点DFT，观察其频谱，讨论频谱泄漏现象。离散傅里叶变换应用举例用DFT进行频谱分析栅栏效应离散傅里叶变换应用举例用DFT进行频谱分析不同点数DFT的栅栏效应19误差问题及参数选择产生原因：通过DFT得到的频谱，只是在基频F0

整数倍处的谱线，这种现象称为栅栏效应。3.

栅栏效应x

(n)=R

5

(n)20二、误差问题及参数选择3.

栅栏效应解决方法：(1)提高频率分辨力，即增加记录长度；

(2)尾部补零，使频谱外观平滑；

(3)频谱细化技术(CZT)。注意：补零不能提高频率分辨率。x

(n)=R

5

(n)[例4]序列x(n)含有两种频率成分，f1=2Hz，f2=2.05Hz，抽样频率为fs=10Hz,

x(n)=sin(2f1n/fs)+sin(2f2n/fs)(1)取x(n)(0

n

128)，计算X(k);(2)将(1)中x(n)以补零方式增加到0

n

256，计算X(k);(3)取x(n)(0

n<256)，计算X(k);最小数据点数为数据长度为L=128，小于最小可分辨的数据长度200，此时f1=2Hz和f2=2.05Hz无法分辨。数据长度为L=128，补零至256点，频谱较上图平滑，但f1=2Hz和f2=2.05Hz仍无法分辨，说明补零不能提高频率分辨率。数据长度为L=256，此时大于最小数据长度200，f1=2Hz和f2=2.05Hz可以分辨。计算循环卷积则由时域循环卷积定理有如果用DFT计算循环卷积补L-N1个零x1(n)L点DFT补L-N2个零x2(n)L点DFTL点IDFTyc(n)循环卷积既可以在时域完成，也可以利用DFT在频域完成。用DFT计算线性卷积实际应用中，为了计算时域离散信号通过线性时不变系统的响应或对序列进行滤波，往往需要计算两个序列的线性卷积。能否借助DFT完成线性卷积运算？用DFT计算线性卷积补L-N个零x(n)L点DFT补L-M个零h(n)L点DFTL点IDFTyc(n)=yl(n)=x(n)*h(n)取L≥N+M-1

M与N

相当时离散傅里叶变换应用举例线性卷积和循环卷积的关系若则什么关系?离散傅里叶变换应用举例线性卷积和循环卷积的关系结论：L点圆周卷积等于线性卷积以L为周期的周期延拓序列的主值序列。离散傅里叶变换应用举例当L≥N1+N2－1时，线性卷积和循环卷积的关系计算与的线性卷积、6、7、８、9点循环卷积。例8离散傅里叶变换应用举例解：线性卷积和循环卷积的关系六点循环卷积6点循环卷积十点循环卷积10点循环卷积九点循环卷积9点循环卷积线性卷积离散傅里叶变换应用举例用DFT计算线性卷积离散傅里叶变换应用举例补L-N个零x(n)L点DFT补L-M个零h(n)L点DFTL点IDFTyc(n)=yl(n)=x(n)*h(n)取L≥N+M-1

M与N

相当时直接利用DFT计算的缺点：信号要全部输入后才能进行计算，延迟太多；内存要求大；算法效率不高解决问题方法：采用分段卷积重叠相加法重叠保留法

x(n)的长度

时

用DFT计算线性卷积离散傅里叶变换应用举例36重叠相加法（overlapadd）

设h(n)的长度为M，将长信号x(n)分解成每段长度为L的不重叠段，L和M的数量级相同，用xi(n)表示x(n)的第i段：则输入序列可表示成重叠相加法这里

依次将相邻两段的M-1个重叠点相加，即得到最终的线性卷积结果。i

L

≤n≤

(i

+

1)

L

+

M

-

238++

重叠相加法（overlapadd）重叠相加法——输出段的重叠部分相加重叠相加法例：设输入信号x(n)是一个10点长的序列，FIR系统单位脉冲响应h(n)是3点长序列。将x(n)平均分成两段，分别记为x0(n)和x1(n)，直接计算和分段计算的关系见下表。分段卷积重叠相加第一章时域离散信号和时域离散系统原理图示分段处理，且每段之间无重叠第一章时域离散信号和时域离散系统原理图示分段卷积第一章时域离散信号和时域离散系统原理图示重叠相加

重叠保留法将x(n)不重叠分段，每段L=N-M+1，然后再每一段前面补上前一段保留下来的(M