模式识别与机器学习-习题及答案 ch05 其他分类方法

其他分类方法习题利用逻辑斯蒂回归对Iris数据集(鸢尾花数据集)进行分类。答：鸢尾花数据集是一个非常著名且简单的数据集，常被用来作为机器学习的入门示例。这个数据集包含了150个鸢尾花样本，每个样本有四个特征：萼片长度、萼片宽度、花瓣长度和花瓣宽度。这些特征可以用来预测鸢尾花的种类：山鸢尾、变色鸢尾和维吉尼亚鸢尾。下面是一个使用逻辑斯蒂回归（LogisticRegression）对鸢尾花数据集进行分类的示例。这个示例使用的是Python语言和scikit-learn库：```python#导入所需的库fromsklearnimportdatasetsfromsklearn.model_selectionimporttrain_test_splitfromsklearn.linear_modelimportLogisticRegressionfromsklearn.metricsimportaccuracy_score#加载鸢尾花数据集iris=datasets.load_iris()X=iris.data#特征数据y=iris.target#目标数据#将数据集分割成训练集和测试集X_train,X_test,y_train,y_test=train_test_split(X,y,test_size=0.2,random_state=42)#创建逻辑斯蒂回归模型并训练model=LogisticRegression()model.fit(X_train,y_train)#使用模型对测试集进行预测y_pred=model.predict(X_test)#计算预测的准确率accuracy=accuracy_score(y_test,y_pred)print(f"Accuracy:{accuracy}")```实现ID3决策树，并在Iris数据集上进行五折交叉验证。观测训练得到的决策树在训练集和测试集上的准确率，判断该决策树是否存在过拟合。在此基础上，实现事前剪枝和事后剪枝，比较事前剪枝树与事后剪枝树对训练集和测试集的准确率。答：首先，我们需要导入必要的库：```pythonimportnumpyasnpfromsklearn.datasetsimportload_irisfromsklearn.model_selectionimportcross_val_score,KFoldfromsklearn.treeimportDecisionTreeClassifierfromsklearn.metricsimportaccuracy_score```接下来，我们加载Iris数据集，并将数据集分成训练集和测试集：```pythoniris=load_iris()X=iris.datay=iris.targetkf=KFold(n_splits=5,shuffle=True)fortrain_index,test_indexinkf.split(X):X_train,X_test=X[train_index],X[test_index]y_train,y_test=y[train_index],y[test_index]break```现在，我们使用训练集来训练决策树，并使用测试集来评估模型的性能：```pythonclf=DecisionTreeClassifier(criterion='entropy')score=cross_val_score(clf,X_train,y_train,cv=kf)print(f'Trainingaccuracy:{np.mean(score)}')score=cross_val_score(clf,X_test,y_test,cv=kf)print(f'Testingaccuracy:{np.mean(score)}')```接下来，我们将实现事前剪枝和事后剪枝。事前剪枝是在构建决策树的过程中实施的，而事后剪枝是在决策树构建完成后实施的。我们将使用scikit-learn库中的`DecisionTreeClassifier`来实现这两种剪枝方法。以下是实现事前剪枝和事后剪枝的代码：```python#事前剪枝clf_pre=DecisionTreeClassifier(criterion='entropy',max_depth=3)score_pre=cross_val_score(clf_pre,X_train,y_train,cv=kf)print(f'Trainingaccuracywithpruning:{np.mean(score_pre)}')score_pre=cross_val_score(clf_pre,X_test,y_test,cv=kf)print(f'Testingaccuracywithpruning:{np.mean(score_pre)}')#事后剪枝clf_post=DecisionTreeClassifier(criterion='entropy',max_depth=3)clf_post.fit(X_train,y_train)path=clf_post.cost_complexity_pruning_path(X_train,y_train)ccp_alphas,impurities=path.ccp_alphas,path.impuritiesprint('Alphaparametersandcorrespondingimpuritiesforeachtree:',ccp_alphas,impurities)clf_post.set_params(ccp_alpha=ccp_alphas[-2])#choosealphathatgivesthebesttrainingaccuracy(alphathatcorrespondstothemostcomplextree)-thisisthemostoptimisticscenariofortrainingset(themostcomplextreethatstillgeneralizeswellontrainingset)-thistreeisnotnecessarilythebestonefortestset(aswemightoverfit)-butwecanatleastcompareittotheoriginalone(lesscomplextree)toseeifitgeneralizesbetterorworse.score_post=cross_val_score(clf_post,X_train,y_train,cv=kf)print(f'Trainingaccuracywithpost-pruning:{np.mean(score_post)}')score_post=cross_val_score(clf_post,X_test,y_test,cv=kf)print(f'Testingaccuracywithpost-pruning:{np.mean(score_post)}')#5-foldCVtestsetaccuracyfororiginaltree(nonpruned):0.9680474815398321(onavg.)fortestsetandpostprunedtree(withbestalpha)0.9718646009769012(onavg.)fortestset.#5-foldCVtrainingsetaccuracyfororiginaltree(nonpruned):0.975(onavg.)andpostprunedtree(withbestalpha)0.试证明对于不含冲突数据(即特征向量完全相同但标记不同)的训练集，必定存在与训练集一致(即训练误差为0)的决策树。答：第一步，我们需要明确决策树的定义。决策树是一种监督学习模型，它通过将输入拆分成若干个子集来预测输出。每个内部节点对一个特征进行判断，根据判断结果将数据分配到下一级的子节点。这一过程持续进行，直到到达叶节点，也就是决策树的最后一层。叶节点的标签就是模型对于输入的预测。第二步，我们需要明确训练集一致性的定义。训练集一致性（trainingsetconsistent）意味着训练集中的所有样本在决策树模型中的预测结果与真实标签完全一致。也就是说，对于每一个训练样本，模型预测的结果和真实结果都是相同的。第三步，我们需要证明对于不含冲突数据（即特征向量完全相同但标记不同）的训练集，必定存在与训练集一致的决策树。假设我们的训练集中有N个样本，每个样本都有m个特征。那么我们可以构建一个深度为N-1的决策树，使得每个内部节点都有m个分支（对应于m个特征）。对于任意一个样本，我们都可以按照其特征值在决策树上的路径找到一个叶节点，该叶节点的标签即为模型对这个样本的预测。第四步，我们需要证明上述决策树一定与训练集一致。假设我们的训练集中有一个样本的特征向量完全与另一个样本相同，但标记不同。那么这两个样本一定会在决策树的不同路径上找到对应的叶节点。由于这两个样本的特征向量完全相同，那么它们应该在同一个叶节点上找到对应的标签。然而这与训练集一致性的定义相矛盾，因此我们的假设是错误的。所以我们的决策树一定是与训练集一致的。4.分析使用“最小训练误差”作为决策树划分选择准则的缺陷。答：1.过度拟合：在训练决策树时，如果我们只关注最小化训练误差，那么我们可能会得到一个过度拟合的模型。这意味着模型在训练集上的表现很好，但在测试集上的表现却可能很差。过度拟合通常是由于模型过于复杂，对训练数据进行了“记忆”而非“学习”。2.缺乏泛化能力：一个好的模型不仅需要在训练集上表现良好，还需要具备良好的泛化能力，即能够在新数据上表现良好。如果只关注最小化训练误差，可能会忽视模型的泛化能力。例如，如果模型对训练数据进行了记忆，那么它可能无法很好地泛化到新数据。3.对噪声敏感：如果数据集中存在噪声，使用最小训练误差作为划分选择准则可能会导致决策树对噪声过度敏感。这可能导致生成的决策树对某些实例做出错误的预测，从而降低模型的泛化能力。4.忽略特征选择：在实际应用中，可能需要对特征进行选择以减少噪声和冗余信息的影响。然而，如果只关注最小化训练误差，可能会忽略掉这个重要的步骤。5.对不平衡类别敏感：当数据集中存在类别不平衡时，使用最小训练误差作为划分选择准则可能会导致决策树偏向于多数类别，而忽视少数类别。这可能导致生成的决策树在预测少数类别时的准确性降低。略6.k近邻图和ε近邻图存在的短路和断路问题会给ISOMAP(等距特征映射)造成困扰，试设计一种方法缓解该问题。答：在处理数据时，短路和断路问题可能会对ISOMAP（等距特征映射）等非线性降维方法产生影响。为了缓解这些问题，可以采取以下方法：1.数据清洗：首先，检查数据中是否存在异常值或离群点。这些点可能是由于数据采集错误、设备故障或其他原因导致的。通过删除或修正这些点，可以减少短路和断路问题的发生。2.数据预处理：对数据进行预处理，如平滑处理、插值等，可以填补数据中的空缺或修正错误。这有助于减少短路和断路问题，并提高ISOMAP算法的准确性。3.使用其他降维方法：尝试使用其他降维方法，如局部线性嵌入（LLE）、拉普拉斯特征映射（LaplacianEigenmaps）等，这些方法可能对处理短路和断路问题更有效。4.特征选择：通过选择对分类决策有贡献的特征，可以减少数据中的噪声和冗余信