2023-2024学年河北省沧州市泊头市高二上册9月月考数学试题（含解析）

2023-2024学年河北省沧州市泊头市高二上册9月月考数学试题一、单选题（每题5分，共40分）1．两条平行直线：与：之间的距离是（

）A．0 B． C．1 D．2．如图，在平行六面体中，M在AC上，且，N在上，且．设，，，则A． B．C． D．3．如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．直线的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．5．如图，在四棱锥中，平面，，，，已知Q是棱上靠近点P的四等分点，则与平面所成角的正弦值为（

）．A． B． C． D．6．下列关于空间向量的命题中，错误的是（

）A．若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则；B．若非零向量、、满足，，则有；C．若、、是空间向量的一组基底，且，则A、B、C、D四点共面；D．若向量、、是空间向量的一组基底，则、、也是空间向量的一组基底．7．若函数的图象与直线有公共点，则实数的取值范围为（

）A． B．． C． D．8．已知实数满足曲线的方程，则下列选项错误的是（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是D．过点作曲线的切线，则切线方程为二、多选题（每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9．已知直线，下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则或C．当时，是直线的方向向量D．原点到直线的最大距离为10．下列结论正确的是（

）A．与圆相切，且在轴、轴上的截距相等的直线有两条B．若直线经过第三象限，则，C．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1D．若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为11．已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（

）A．四边形的面积最小值为B．M为圆C上一动点，则最小值为C．最短时，弦直线方程为D．最短时，弦长为12．正方体的棱长为2，且，过P作垂直于平面的直线l，分别交正方体的表面于M，N两点.下列说法不正确的是（

）A．平面B．四边形面积的最大值为C．若四边形的面积为，则D．若，则四棱锥的体积为三、填空题（每题5分，共20分．16题第一个空2分，第二个空3分）13．已知直线过点，且方向向量为，则点到直线的距离为.14．已知直线：与圆交于两点，则.15．已知圆及点，设分别是直线和圆上的动点，则的最小值为.16．在棱长为6的正方体中，，点P在正方体的表面上移动，且满足，当P在上时，；满足条件的所有点P构成的平面图形的周长为.四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．已知空间中三点，，(1)若，且，求向量；(2)若点在平面上，求m的值．18．直线过点且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；(2)如图，若，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标．19．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与、的夹角都等于60°，M在棱上，，设，，．(1)试用，，表示出向量；(2)求．20．已知圆，过点的直线与圆相交于不重合的A，B两点，是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．

(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)的面积为，求的最大值，并求取得最大值时的值．21．已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，AB=4，为等边三角形，将三角形ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且平面平面ABCE.(1)求证：；(2)试判断在线段PB上是否存在点F，使得平面AEF与平面AEP的夹角为45°.若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由.22．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，设的二面角为.

(1)当时，求的体积；(2)设N为的中点，，求的取值范围.1．B【分析】利用平行线间距离公式进行求解即可.【详解】，两平行线间的距离为，故选：B2．A利用向量回路方法运算求解即可.【详解】解：因为M在AC上，且，N在上，且，所以，，在平行六面体中，，，，所以，，所以，故选：A．本题考查空间向量的线性运算，利用向量回路方法是常用的方法.3．A【分析】以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.运用异面直线的空间向量求解方法，可求得答案.【详解】解：以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得，，，，则，，所以.又因为异面直线所成的角的范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.4．B【分析】设直线的倾斜角为.由已知，可推得.分两种情况时以及时，结合正切函数的性质求解即可得到结果.【详解】设直线的倾斜角为.因为，，，所以，.又，则.当时，单调递增，解，可得；当时，单调递增，解，可得.综上所述，.故选：B.5．C【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点、的坐标，求出平面的法向量，最后求出与平面所成角的正弦值.【详解】平面，，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，..易知平面的法向量.设与平面所成角为，则.故选：C.6．B【分析】根据向量的性质判断A、B；由基底的定义，结合向量共面定理判断C、D.【详解】A：若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则它们与空间任意向量都共面，则必共线，即，对；B：当所成平面与垂直时，不一定成立，错；C：由题设，即，所以A、B、C、D四点共面，对；D：若、、不是空间向量的一组基底，即它们共面，结合向量加法的几何意义知：向量、、必共面，与向量、、是空间向量的一组基底矛盾，对；故选：B7．A【分析】作出函数的图象，利用直线与圆的位置关系求解.【详解】函数的图象如图所示：由图象知：当直线过点A（-1，0）时，m=1；当直线与半圆相切时：，解得或（舍去）；因为函数的图象与直线有公共点，所以实数的取值范围是，故选：A8．C【分析】选项A转化为两点间距离公式的平方即可求解；选项B转化为斜率即可求解；选项C转化为点到直线的距离的倍即可求解；选项D设出切线方程，根据点到直线的距离为半径即可求解【详解】的方程可化为，它表示圆心，半径为的圆.对选项A：表示圆上的点到定点的距离的平方，故它的最大值为，A正确；对选项B：表示圆上的点与点的连线的斜率，由圆心到直线的距离，可得，B正确；对选项C：表示圆上任意一点到直线的距离的倍，圆心到直线的距离，所以其最小值为，故C错误；对选项D：设过点作曲线的切线，则其斜率存在，故可设切线方程为，由，解得，故切线方程为，故D正确.故选：C.9．AD【分析】根据垂直关系计算得到A正确；当时，两条直线重合，B错误；计算斜率得到C错误；过定点，最大距离为，计算得到D正确，得到答案.【详解】对选项A：，则，解得，正确；对选项B：当时，两条直线重合，错误；对选项C：时，，斜率为，的方向向量是，错误；对选项D：过定点，故原点到直线的最大距离为，正确.故选：AD10．CD【分析】根据直线与圆相切的性质，可判断A；根据直线一般式方程举反例，可判断B；根据计算圆心到直线的距离，可判断C；根据空间向量的坐标表示的定义，可判断D.【详解】对于A，当直线过原点时，设直线方程为，圆心到直线的距离等于半径，即，解得，直线方程为或，当直线不过原点时，设直线方程为，圆心到直线的距离等于半径，即，解得或0（舍去），直线方程为，综上所述，与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有三条，A选项错误；对B，当，时，也满足直线经过第三象限，故B错误；对C，圆的圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，C选项正确；对D，由题，在单位正交基底下的坐标为，则有，设，，，解得，即，在基底下的坐标为，故D正确.故选：CD.11．ACD【分析】根据已知，结合图形，利用直角三角形、圆的性质、直线方程以及点到直线的距离公式、勾股定理计算求解.【详解】对于A，由切线长定理可得，又因为，所以，所以四边形的面积，因为，当时，取最小值，且，所以四边形的面积的最小值为，故A正确；对于B，因为，所以最小值为，故B错误；对于C，由题意可知点，，在以为直径的圆上，设，其圆的方程为：，化简为，与方程相减可得：，则直线的方程为，当最短时，，则，解得，故直线的方程为，故C正确；对于D，当最短时，圆心C到直线的距离，所以弦长为，故D正确.故选：ACD.

难点点睛：解答本题的难点在于C的判断，解答时要注意结合圆的公共弦方程的求解，求出直线AB方程，然后利用垂径定理求出弦长.12．ACD【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量坐标表示求解.【详解】因为与不垂直.所以与平面不垂直.A不正确.如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，.因为.所以.因为平面，所以，则，.若平面，则，即，，；若平面.则，即，，.因为，所以四边形的面积当时，四边形的面积最大，且最大值为，点B到直线的距离为，即点B到平面的距离为，故四棱锥的体积，B正确，D不正确.若四边形的面积为.则或，解得或，C不正确.13．【分析】利用向量的坐标运算及向量的单位化公式，结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】取直线的方向向量为，因为，，所以，，，，所以点到直线的距离为.故答案为.14．【分析】根据题意，利用圆的弦长公式，准确计算，即可求解.【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径为，又由圆心到直线的距离为，根据圆的弦长公式，可得.故答案为.15．##【分析】先求出点关于直线的对称点，从而将问题转化为求的最小值，由此利用点到圆上的点的最小距离即可得解.【详解】因为圆，所以圆心，半径为，所以圆心到直线的距离为，则直线与圆相离，设点关于直线的对称点为，则，解得，则，结合图像，可知，又到圆上点的最短距离为，所以，则，所以的最小值为.故答案为..16．【分析】取上的点分别为，连接，使得，得到四边形为梯形，得到点的运动轨迹为梯形，建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的运算公式，求得点为位置，进而求得和点的轨迹梯形的周长.【详解】如图所示，取上的点分别为，连接，使得，所以四点共面，且四边形为梯形，因为，且，平面，所以平面，又因为平面，所以，同理可证：平面，因为平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为点在正方体的表面上移动，且，所以点的运动的轨迹为梯形，由正方体的棱长为，以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，则，可得，因为，所以，所以，解得，所以，所以当点在上时，可得，又因为，，所以梯形为等腰梯形，所以梯形的周长为.故；.

17．(1)，或.(2)【分析】（1）可求.由已知可设，通过解出，代入即可；（2）由已知得，四点共面，则存在唯一一组实数对，使得成立，代入坐标得到方程组，求解即可得到m的值.【详解】（1）由已知得，，因为，设，则，所以，或.（2）由已知得，，点在平面ABC上，则存在唯一一组实数对，使得成立，即，解得，所以18．(1)(2)证明见解析；定点【分析】（1）根据两直线垂直可求得直线的斜率，再利用直线的点斜式方程即可求出直线的方程；（2）分别设出两点坐标，再由向量可解得，利用梯形的面积可得的坐标需满足，分情况讨论直线方程即可知其过定点.【详解】（1）易知直线的斜率为，设直线的斜率为，由两直线垂直可得，解得；又过点，所以，即，所以直线的方程为.（2）证明：设，又，可得；由可得，解得；易知，，所以梯形的面积为，可得梯形的面积为6，不妨设，可得，即；当时，直线的方程为，将代入上式可得，由可得，即不论为何值时，直线恒过定点；当时，直线的方程为，过点；综上可知，直线必过定点.19．(1)；(2)【分析】（1）由向量对应线段的位置关系，结合向量加减、数乘的几何意义用，，表示出即可；（2）应用数量积的运算律及其定义求即可.【详解】（1）由图知：，，.（2）.20．(1)(2)的最大值为2，取得最大值时．【分析】（1）根据题意，设直线的方程：，可以考虑求得圆心到直线的距离，然后由直线与圆相交列出不等式，或者联立直线与圆的方程，结合韦达定理列出不等式，即可得到结果；（2）根据题意，分别结合弦长公式与点到直线的距离公式，表示出的面积，结合函数的最值即可得到结果.【详解】（1）解法一；设直线的斜率为，则直线的方程：，由题意知：圆心到直线的距离，因为直线与圆相交于不重合的两点，且三点构成三角形，所以．得，解得且，所以的取值范围为．解法二：设直线的斜率为，则直线的方程：，联立，化简得：．，得，因为三点构成三角形，所以，所以的取值范围为．（2）直线，即，点到直线距离：，所以．所以且．设，则，所以．所以当，即，即时，．所以的最大值为2，取得最大值时．21．(1)证明见解析(2)存在，点F为线段PB的靠近点P的三等分点【分析】（1）由BE⊥AE结合平面AEP⊥平面ABCE得出BE⊥平面APE，再由线面垂直的定义得出；（2）以点O为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）证明：因为四边形ABCD为平行四边形，且为等边三角形，所以∠BCE=120º.又E为CD的中点，所以CE=ED=DA=CB，即为等腰三角形，所以∠CEB=30º.所以∠AEB=180º－∠AED－∠BEC=90º，即BE⊥AE.又因为平面AEP⊥平面ABCE，平面平面AB