泛函分析第3章连续线性算子与连续线性泛函

**第3章 连续线性算子与连续线性泛函本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach空间上的有界线性算子与有界感谢阅读线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定感谢阅读理及Hahn-Banach定理。他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背谢谢阅读景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。3.1 连续线性算子与有界线性算子在线性代数中，我们曾遇到过把一个n维向量空间En映射到另一个m维向精品文档放心下载量空间Em的运算，就是借助于m行n列的矩阵感谢阅读aaa11121nAaaa21222naaam1m2mnEn中的向量起作用来达到的。同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。把上述的所有运算感谢阅读抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。精品文档放心下载[定义3.1]由赋范线性空间X中的某子集D到赋范线性空间Y中的映射精品文档放心下载称为算子，D称为算子T的定义域，记为DT，为称像集yyTx,xDT精品文档放心下载为算子的值域，记作TD或TD。若算子T满足：（1）TxyTxTyx,yDT（2）T(x)TxF,xDT称T为线性算子。对线性算子，我们自然要求TD是X的子空间。特别地，如感谢阅读**T是由X到实数（复数）域F的映射时，那么称算子T为泛函。精品文档放心下载3.1设X是赋范线性空间，是一给定的数，映射T:xx是X上的线性算子，称为相似算子；当1时，称T为单位算子或者恒等算子，记作I。精品文档放心下载例3.2xCa,b，定义Txttxd感谢阅读a由积分的线性知，T是Ca,b到Ca,b空间中的线性算子。若令谢谢阅读bfxxdxCa,ba则f是Ca,b上的线性泛函。[定义3.2]设X,Y是两个赋范线性空间，T:XX是线性算子，称T在x感谢阅读点连续的，是指若,xx，则Tx；若T在X上每一点都xXTxnnnn连续，则称T在X上连续；称T是有界的，是指T将X中的有界集映成Y中有界谢谢阅读集。[定理3.1]设X,Y是赋范线性空间，T是X的子空间D到Y中的线性算子，精品文档放心下载若T在某一点xDT连续，则T在DT上连续。谢谢阅读0证明：对xDT，设，且x，于是xDTxnnnxxxn，由假设T在x点连续，所以当n时，有谢谢阅读n000TxxxTxTxTxTx谢谢阅读n 0 n 0 0因此，TxTx，即T在x点连续。由x的任意性可知，T在DT上连续。谢谢阅读n定理3.1说明线性算子若在一点连续，可推出其在定义的空间上连续。特感谢阅读别地，线性算子的连续性可由零元的连续性来刻画，即线性算子T连续等价于若精品文档放心下载（X中零元），则Tx（Y中零元）。精品文档放心下载n n3.3若T是n维赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T精品文档放心下载X上连续。**证明：在X中取一组基e,e,,e，设12nxnxmeXm1,2,3,mjj1且x，即x，则mmn212x0jmj1从而xm0j1,2,3,n。于是jmTxnxmmaxxmnTeTe0mmjj1jnjjj1j1因此，Txm，即T在x处连续，进而T在X上每点连续。感谢阅读m[定理3.2]设X,Y是赋范线性空间，T是X的子空间D到Y中的线性映射，谢谢阅读则T有界的充分必要条件是：存在常数M0，使不等式成立，即感谢阅读TxMxxDT证明：必要性。因T有界，所以T将D中的闭单位球B1xx1映成谢谢阅读Y中的有界集，即像集TB是Y中的有界集。记MsupTx:xB，此11时，对每个xDT,x,xB，由M的定义有x1xTM……（3.1）x即TxMx，而当x时，不等式（3.1）变成等式。故xDT有精品文档放心下载TxMx充分性。设A是DT的任一有界集，则存在常数M1使xM1xA。谢谢阅读TxMxxDT知TyMyMMyA1故TA有界。证毕。**[定理3.3]设X,Y是两个赋范线性空间，T是从X的子空间D到Y中的线感谢阅读性映射，则T是连续的充要条件是T是有界的。证明：充分性。设T有界，则存在常数M0，使对一切感谢阅读xDT,Tx

Mx

，从而对xn

xn,xn

DT有Txn

Tx

Txn

x

Mxn

x

0

n

即TxTxn。所以，T是连续的。精品文档放心下载n必要性。若T连续但T是无界的，那么对每个nN，必存在xDT，谢谢阅读n使Txnx，令yx，那么y1n，即y，由T的连n0nnnnxnnnn续性，Tyn，但是另一方面，TyTxnnx1，引出矛盾，nnnnxnxnn故T有界。定理3.3说明，对于线性算子，连续性与有界性是两个等价概念，今后用感谢阅读LX,Y表示X到Y的有界线性算子组成的集合。精品文档放心下载例3.1，例3.2的线性算子均易证明是有界线性算子，但无界线性算子是谢谢阅读存在的。例3.4考察定义在区间0,1上的连续可微函数全体，记作C10,1，其中范谢谢阅读数定义为，不难证明，微分算子d是把C1xmaxxtdt0,1映入C0,1中的线0t1性算子。取函数列sinnt，显然，sinnt1，但精品文档放心下载dtdsinntncosntnn精品文档放心下载因此，微分算子是无界的。[定义3.3]设X,Y是赋范线性空间，T是从X到Y的有界线性算子，对一谢谢阅读**xX，满足TxMx的正数M的下确界，称为算子T的范数，记作T。由定义可知，对一切xX，都有TxTx。精品文档放心下载[定理3.4]设X,Y是赋范线性空间，T是从X到Y的有界线性算子，则有感谢阅读TsupTxsupTxsupTxx1x1xxxXxXxX证明：由TxTx，易得TsupTx……（3.2）精品文档放心下载x1xX根据T的定义，对于任给的0，存在非零xX，使0TxTx00令xx，则有TxT，因此00x00TsupTxsupTxx1x1xXxX令0得TsupTxsupTx……（3.3）x1x1xXxX由式（3.2）和式（3.3），便得TsupTxsupTxx1 x1xX xX而TsupTx，由定义易知。x xxX3.5在L1a,b上定义算子T如下xx1Tfftdt,fLa,ba（1）把T视为L1a,b到Ca,b的算子，求T；（2）把T视为L1a,b到L1a,b的算子，求T。精品文档放心下载解：算子T的线性是显然的，下面分别求T。**（1）设T：11La,bCa,b，任取fLa,b，由于TfCa,b，从而TfmaxTfxmaxxftdtaxbaxbamaxxftdtbftdtfaxbaat1,ta,b，并且故T是有界的，并且T1。另一方面，取f0bafbftdtb1dt10a0aba于是TsupTfTfmaxx1dtb1dt10axbabaabaf1T1。（2）设T：1111，从而Tfbxftdtdxbxftdtdxaaababftdtdxbafaa因此，T是有界的，并且Tba；另一方面，对任何使得a1nb的自然数n，谢谢阅读x1n,a,an作函数fxn10,xa,bn显然,fb1，而ftdtnnanTfbxftdtdxnaana1nnxadxba1nndtx0dtdxaa1aa1nn21nba1nba21n感谢阅读所以，又有TsupTf ban因此，Tba。此例告诉我们，虽然形式上是一样的算子，但由于视作不同空间的映射，感谢阅读**他们的算子范数未必相同。一般说来，求一个具体算子的范数并不容易，因此，在很多场合，只能对感谢阅读算子的范数作出估计。3.6设Ks,t在a,ba,b上连续，定义算子T：Ca,bCa,b为谢谢阅读TxsbKs,txtdt精品文档放心下载aTLCa,b,Ca,b，且精品文档放心下载TbmaxKs,tdt:asba证明：由于TxsmaxbKs,txtdt精品文档放心下载asb amaxbKs,tdtmaxxt谢谢阅读asbasbamaxKs,tdt:asbx感谢阅读a故结论成立。事实上，还可以进一步证明bKTmaxs,tdt:asba由于证明要用到实分析知识，这里从略。例3.7已知实矩阵Aa，定义T:RmRn为TxAx，则ijnmnma212。TLRm,Rn，且Ti1j1ij证明：Txnm212Axaxijjj1i1nmm12a2x2ijji1j1j1**1nma22xi1j1ij1故 Tnma22i1j1ij对于赋范线性空间X上的线性泛函f，我们总视f为X到数域F所成赋范谢谢阅读线性空间的线性算子，因此，关于泛函的连续性，有界性以及它们之间的关系不感谢阅读再重述。对于赋范线性空间X上的线性泛函f，由于fxFxX，所以fxfx，因而f的范数就是fsupfx。谢谢阅读x1xX对于线性泛函，还有下面的连续性等价定理。[定理3.5]设X是赋范线性空间，f是X上的线性泛函，则：谢谢阅读（1）f是连续的充要条件是f的零空间Nfxfx0,xX是X的精品文档放心下载闭子空间；（2）非零线性泛函f是不连续的充要条件是Nf在X中稠密。感谢阅读证明：（1）必要性：设 f 是X 上的线性泛函，又设谢谢阅读xNf,xxn，由f的连续性可得fxlimfx0。因此，感谢阅读nnnnxNf，所以Nf是X的闭子空间。充分性：设Nf是闭集，如果f不是有界线性泛函，则对每个自然数n，必有xX,x1,使得fxn。nnn令yxx，则fy0，即yNf，并且1nnfxfxnnnyxx110n1nxnfxfxfn1nn即yxx，从而xNf。这和Nf是1。但是，f111nfxfxfx111**闭集矛盾。因此，f是有界的。（2）必要性：设f是连续的，由定理3.1知f在x点不连续，从而存感谢阅读在xX,xn，但fx0，对xX，显然有nnn0fxNfxxfxnnfxxn，所以Nf在X中稠密。并且xxfxnn充分性：假设f是连续的，由Nf在X中稠密可知，对xX，存在xNf，使xxn，从而nnxlimfx0n n这与假设f非零矛盾。证毕。我们现在考虑由赋范线性空间X到赋范线性空间Y的有界线性算子的全体精品文档放心下载LX,Y的性质。对任意T,T,TLX,Y,F，规定谢谢阅读1 2TTxTxTx, TxTx谢谢阅读1 2 1 2显然，TT及T都是线性算子，称TT为T与T的和，T为与T的积，感谢阅读1 2 1 2 1 2易验证LX,Y按这两种运算是一个线性空间，不仅如此，对每个有界线性算子谢谢阅读LX,Y，算子范数T还满足三个条件：感谢阅读（1）TsupTx0，若T0，则对一切xX,Tx0，即T；谢谢阅读x1xX（2）TsupTxsupTxT；精品文档放心下载x1 x1xX xX（3）TT supTxTxsupTxsupTxTT。谢谢阅读1 2 1 2 1 2 1 2x1 x1 x1xX xX xX因此，LX,Y是一个赋范线性空间，我们称其为有界线性算子空间，简称谢谢阅读**线性算子空间。一般说来，LX,Y不一定是完备的，但是我们有如下的定理：精品文档放心下载[定理3.6]设Y是完备的赋范线性空间，则LX,Y是完备的。感谢阅读证明：如果设TLX,Y为一Cauchy列，即感谢阅读nT0nn m则对xX，必有TxTxTTxTT x0n,m谢谢阅读n m n m n m这说明Tx是Y中的Cauchy列，由Y的完备性，在Y中存在惟一的一个元，感谢阅读n记为Tx使得TxTxn。精品文档放心下载n于是，T就是从X到Y的一个算子，其线性可由Tx的线性推得。谢谢阅读n又由于TT TT 0n,m谢谢阅读nmnm因而知数列T收敛，即有数使得supT，由此推得nnnTxlimTxsupTxxxXnnnn故T为有界线性算子，即TLX,Y。由于TT0,，故对0，存在自然数N，使得m,nN00nm时，有TT。于是xX,x1有TxTxx。nmnm固定x，令m，可得出TxTx,xX,x1。nm又由于TLX,Y，因而有TTLX,Y，且由以上不等式可推出nTTnNnm0即TT0n，所以空间LX,Y是完备的。证毕。精品文档放心下载n注：赋范线性空间X上的有界线性泛函全体按前面所引入的运算与所规定精品文档放心下载**的范数fsupfxx1xX构成一个Banach空间，称之为X的共轭空间，记作X*。谢谢阅读习题3.11.设TLX,Y，证明：KerTx:Tx是X的闭子空间。谢谢阅读2.设TLX,Y,SLY,Z，证明：复合算子 ST:XZLX,Z满足感谢阅读STST。3.XYC0,1，定义T:XY为Txtt1xsds,t0,1及谢谢阅读0:XY为Sxttxt,t0,1。谢谢阅读（1）问T与S可交换吗？（即STTS是否成立？）谢谢阅读（2）求S,T,TS及ST。4.设X为所有有界数列组成的线性空间，范数为xsupaxai i1，定义算子T:XX为Txy，其中给定无穷矩阵Tt，满足suptijij1ijxa,yb，且btaiiiijj1。证明：TLX,X，且Tsuptijij15.设XRn,YRm，在X,Y上定义范数精品文档放心下载xnxx,x,,xRnx1i12n1ymyy,y,,yRmy1i12n1**矩阵Aa定义算子为yTxAxijmn证明：Tma。max1jni1iji6.设f:RR连续且可加，即对任意x,xR有12fxxfxfx，证明：f必为fxx,xR，其中R为常数。谢谢阅读1 2 1 2设X和Y都是Banach空间，TX,Y且是满射，证明：对X中任意稠密子集E，成立TEY。精品文档放心下载设X是Banach空间，TX,X，且T1，定义谢谢阅读nTnTTT为T的n次复合，T0I为单位算子，证明算子级数Tn在TX,X中收敛，n0且Tn（零算子）n。3.2 共鸣定理及其应用许多数学问题的研究都涉及有界线性算子列的收敛性与一致有界问题，谢谢阅读Banach-Steinhaus定理对这一问题给出了回答。感谢阅读[定义3.4]设,n,1,2,3,一致收敛于T，是指TTLXYn称TnT0n，即在算子范数意义下收敛，记为TTn；称T强精品文档放心下载n n n收敛于T，是指对xX,T0，记为TS。nn由定义易知，TTS。但是，反之不成立。例TnTnnn如，2,x,,,,2，定义T,,，则12nnn1n2Sn，但是，若记ne0,0, ,0,1,0, i第i项**Tee，故nn11T supTxTe e 1n n n n1 1x1所以对任意自然数n，有T1，即T1，故Tn不成立。nnn容易证明，有界线性算子列T一致收敛于有界线性算子T的充要条件是精品文档放心下载nT在X的单位球上一致收敛于T。n[定义3.5]设X是一个度量空间，AX，称A是X中的稀疏集，是指A在X中的任何一个非空开集中均不稠密。又称X是第一纲的，是指X可表示成至精品文档放心下载多可列个稀疏集的并，不是第一纲的度量空间称为第二纲的。精品文档放心下载例3.8X有理数集，定义度量r,rrr，则X是第一纲的，因为1212r，而单点集r是X中的稀疏集。谢谢阅读n n1下面是关于完备度量空间的一个重要定理，即Baire纲定理，它是证明共谢谢阅读鸣定理的关键。[定理3.7]设X是完备的度量空间，则X是第二纲的。感谢阅读证明：用反证法。若存在一列稀疏集A使XA，任取一个闭球nnn1xx:x,xr，由于A在开球Bx中不稠密，从而可取一个闭球谢谢阅读r0 0 0 0 1 r0 0Bx0r1，满足ABx,BxBx；又A在开球Bx中r1111r11r11r002r11不稠密，同理，取闭球Bx0r1，满足ABx,BxBx，r22222r22r22r11按上述过程一直进行下去，可得出闭球列Bx满足如下条件：谢谢阅读rn n（1）BxBxBx；r00r11r22（2）BxAn1,2,3,；rn n n**（3）0r1。nn2由条件（3）知，Bxxn，由闭球套定理，存的直径dBrnnrnnn在xX，且Bxx，但是从条件（2）中又有Bx，矛盾，故rnnrnnn1n1X是第二纲的。证毕。应用上述定理来证明共鸣定理。[定理3.8]（共鸣定理）设X是banach空间，Y是赋范线性空间，算子感谢阅读簇T:LX,Y，若对任意xX，满足感谢阅读supTx那么supT证明：定义X上的泛函px为pxsupTx且容易，则p:X0,验证px满足pxxpxpx,pxpxF记AxX:pxnn1,2,3,nXA。n1首先证A是闭集。设xA,xxk，对每个，因T是连续的，nknk所以TxTx0k，更有TxTx，又Txpxn，故kkkkxn，即pxn,xA。因X是完备的，由定理3.7，必存在自然数n，感谢阅读 n 0使A不是稀疏集，从而存在开球Bxr0使A在Bx中稠密，A是闭n0r000n0r00n0的，所以ABx。对任一xBx:x1，注意到n0r001xrx,xrxBx0 0 0 0 r0 0**则pxrxn,pxrxn精品文档放心下载0 0 0 0 0 0p2rxpxrxpxrx感谢阅读00000pxrxpxrx2n00000所以pxn0。对每个,Txpxn0，即rr00TsupnTx:xB01r0进一步有supTxn0r0证毕。上述共鸣定理说明，对每个xX,Tx:有界，则T:有界。这蕴含算子簇每点有界，可推出在单位球上一致有界。因此，共鸣定理又称一致感谢阅读有界原理。一致有界原理解决了关于算子列的强收敛的有关问题，如算子列满足什么谢谢阅读条件时是强收敛的？LX,Y在强收敛意义下是否完备？下面几个定理回答了谢谢阅读这些问题。[定理3.9]设X是Banach空间，Y是赋范线性空间，TLX,Y，若感谢阅读n对于每个xX,limTx在Y中存在，定义线性算子T:XY为TxlimTx，则精品文档放心下载n n n nLX,Y，且T有界。n证明：由limTx在Y中存在，知supTx。据定理3.8知，存在常数感谢阅读nnnnM0，使supTn

M

，故n**TxlimTxxMxsupTnnnnTLX,Y。证毕。[定理3.10]设X是赋范线性空间，Y是Banach空间，TLX,Y，精品文档放心下载n如果满足下列条件：（1）T是有界数列；n（2）在X中某一稠密子集G中每个元素x,Tx收敛。精品文档放心下载n则T强收敛于某一有界线性算子T，且TlimT。nnn证明：因T有界，故存在M0，使对一切n1,2,3,,TM。任取nnxX，注意到G在X中稠密，故对于任给0，存在yG，使xy3M。谢谢阅读由条件（2）可知，Ty收敛，故存在自然数N，使对一切nN以及任精品文档放心下载n意自然数p有T yTy3np n于是T xTxT xT yT yTyTyTx感谢阅读np n np np np n n n谢谢阅读M3M3M3MTx是Cauchy列，由于Y是完备的，故Tx收敛。令TxlimTxxX，感谢阅读nnnn则T是定义在X上而值域包含在Y中的线性算子。再由TxlimTxlimTxlimTxnnnnnn可知T有界，且TlimTn n证毕。**本章3.1节定理3.6证明了当Y是Banach空间时，LX,Y依算子范数是精品文档放心下载完备的。现在我们可以证明当X,Y都是完备时，LX,Y对于算子列的强收敛也精品文档放心下载是完备的。[定理3.11]设X,Y都是Banach空间，则L（X，Y）在强收敛意义下是完感谢阅读备的。证明：设1,2,3TxLX,Yn是给定算子列，对每个xX,Tx是nnCauchy列，故TxTx有界，再由一致有界原理可推知有界。注意到Y是nnBanach空间，故对每个xX,nn和条件（2），故T强收敛于某一有界线性算子TLX,Y。感谢阅读n下面介绍几个关于共鸣定理应用的例子。3.9（Fourier级数的发散问题）存在以2为周期的连续函数，其Fourier级数再给定点发散。谢谢阅读证明：用C 表示定义在,上以2为周期的连续函数全体，赋予范感谢阅读2数xmaxxt0t2那么，C是一个Banach空间。对每个xC，其前n+1项Fourier级数的部22分和为Sx,tanacosktbsinkt0n2kk11Ks,txsdsn1这里，sinn2stKns,t12sin2st**令t=0,即Sx,01ds,S到R的有界线性泛函，且Ks,0xsx,0是Cnnn2可计算其范数为1S1sinn2sdsn2sin12s注意到1S1sinns2ds1nsin2s1s1sinn2s2ssdssin221ssin2n12dss2212n12 0

sindn所以supS,从而由共鸣定理，必存在某个周期为2的连续函数xC，n02nx,0不存在，这意味着xt的Fourier级数在t=0使极限limS点发散。同理，nn0对每一固定点t，也必存在xC，其Fourier级数在tt点发散。证毕。0t0203.10（Lagrange插值公式的发散性定理）给定区间[0，1]内插入点感谢阅读n构成三角矩阵H为t1kn,n1,2,3,kt(1)1t1(2)t(n)1

000t(2)002t(n)t(n)02n**那么必存在xtC[0,1]，使其与插值点相应的n次插值Lagrange多项式感谢阅读xtnxtnCnt谢谢阅读k k1其中Cknttt1ttnttnttn1k1kntntntntntntntntnk1kk1kk1kn当n时，不一致收敛于xt。证明：在C[0,1]上定义算子序列T:C[0,1]C[0,1]为谢谢阅读n[Tnnnx]txtCtnkkk1通过计算得出nnn1,2,3,TmaxCtnt0,1kk1从而T时有界线性算子序列，在函数逼近论中已经知道nTlgnn1,2,3,n8因此，supT,于是由共鸣定理必存在xC[0,1]，使Tx不收敛于x，nn0n00即Tx。证毕。t不一致收敛于xtn003.11(机械求积公式的收敛性)在积分近似计算中，通常我们考虑形如感谢阅读bxtdtnAxtatttbakk01nk0的求积公式，例如矩形公式，梯形公式就是类似的公式，由于只用一个公式不能谢谢阅读保证足够的精确度，故需考虑机械求积公式系列bnAnxn（3.4）xtdttakkk0**其中atntntnb,n0,1,2,01n需讨论的使在什么条件下，当n时，式（3.4）误差趋向于0，这就是机械感谢阅读求积公式的收敛性问题。现证明，机械求积公式（3.4）对于每一个连续函数xC[0,1]都收敛，即精品文档放心下载ntnbxtdtn（3.5）Anxkkak0当且仅当以下两个条件成立：（1）存在常数M>0，使nnAMn0,1,2,;k0（2） 公式（3.5）对于每个多项式函数都是收敛的。谢谢阅读证明：考虑Banach空间C[a,b]上的线性泛函精品文档放心下载fntn,(n0,1,2,)xAnxnkk0对于每个xC[a,b]，fxAnxtnAnxnnnkkk0kk0因此，fnAn。nkk0另一方面，对于每个nn1,2,，取[a,b]上连续函数xt，使得x1且n0nn,nxtsgnAk1,2,nkk于是nffxAnnnnkk0所以n(n1,2,)fAnnkk0**由条件（2）若xt是多项式函数结论成立，又由于多项式全体是C[0,1]的稠谢谢阅读密子集，由定理3.10，对每一个xC[0,1]，公式（3.5）成立。精品文档放心下载注：本例中条件（2），多项式集合可用C[0,1]中稠密子集来代替，如果逐段感谢阅读线性函数集合来代替，结论仍然成立。习题3.21.设X是Banach空间，Y是赋范线性空间，TLX,Yn1,2,3,,若nsupT，证明：存在xX，使得supTx。nnn0nn2.设X是Banach空间，Y是赋范线性空间，TLX,Yn1,2,3,,如果nxX,Tx是Y中的Cauchy列，则T是有界的。nn3.设X为多项式全体构成的集合，按通常的函数加法与数乘运算成为一个线性空间，又对任意xtaatatnX,定义01nxmaxa,a,a01n(1)证明X是一个赋范线性空间；(2)证明X不完备；(3)取YR,定义算子列Txaaa(k1,2,)K01n证明T是有界线性算子，且对任意xX，成立supTx,但是supTxkkkkk4．给定数列，若满足对任意收敛数列，级数收敛，证明：级精品文档放心下载n n n nn1。n15．给定数列，若对任意xt,t,收敛，证明：sup。l1，级数tn12nnnn1n3.3Hahn-Banach定理**已知X是n维赋范线性空间，在X中取一组基e,a是一ee，设aa1,2,n1,2,nnn，易知，f是X上的线性泛函，记组数，当xxeX，定义f(x)xeiiiii1i1af(e),i1,2,,n，ii当xnxe时，由f的线i ii1性可得nnf(x)xf(e)axiiiii1i1这告诉我们n维赋范线性空间上的线性泛函与数组aa,a一一对应，而且1,2,n有具体的泛函表达式，本章3.1节例3.1告诉我们，有限维赋范线性空间上的任精品文档放心下载何线性泛函都是连续的，因此，对于有限维赋范线性空间上的连续线性泛函的情感谢阅读况，我们已经有了一个基本了解。那么，我们自然要问：任何一个无限维赋范线精品文档放心下载性空间上是否一定有非零连续线性泛函呢？如果有，是否足够多？本节将从线性谢谢阅读泛函的延拓入手，讨论这个问题。【定义3.6】若X是实线性空间，称p:XR为次可加正齐次泛函，如果感谢阅读满足：（1）p(xy)p(x)p(y);谢谢阅读（2）p(x)p(x)(0,x,yX).谢谢阅读注：这里所给出的“次可加，正齐次泛函”对我们并不陌生，实际上，在精品文档放心下载赋范线性空间中，元x的范数x就是这种泛函，一般说来，它未必是“加法”谢谢阅读的或“齐次”的。【定理3.12】（Hahn-Banach 定理）设X是实线性空间，p:XR是次可精品文档放心下载加正齐次泛函。**MX是一子空间，f是M上定义的一个实线性泛函，且谢谢阅读(m)p(m)(mM)，那么存在X上的实线性泛函F，满足：（1）F(m)f(m)(mM);精品文档放心下载（2）F(x)p(x)(xX).谢谢阅读证明：我们仅来证明一种特殊情况，当X比M仅多一维，此时，感谢阅读X可表示为Xxmx0:mM,R感谢阅读这里xXM。0定义X上的线性泛函F为F(x)F(mx)f(m)C感谢阅读0是一个待选择的常数。由于f是M上的线性泛函，那么F是X上的线性泛函，且显然满足（1）.为满足（2），我们来确定常数C，若满足（2），则对一切(mM)感谢阅读及R成立不等式f(m)Cp(mx)0这个不等式又等价于下面两个不等式：mm0（1）f()Cp(x)0f(m)Cp(xm)00因为对任何m,mM有(m)f(m)f(mm)谢谢阅读p(mm)p(mx)p(mx)精品文档放心下载0 0即（2）f(m)p(mx)p(mx)f(m)00于是，令**sup{f(m)p(mx):mM}精品文档放心下载1 0inf{p(mx)f(m):mM}感谢阅读2 0据（2）式，KK，从而选取C[K,K2],则这样的C满足（1）式，感谢阅读1 2 1于是F(x)在X上满足F(x)p(x)。证毕。感谢阅读对于一般情况，由于涉及到超限归纳法，这里略去其证明。感谢阅读由定理3.12，我们可得出下面的有界线性泛函的存在定理和连续线性泛函感谢阅读的“保范延拓”定理。【定理3.13】设X是实赋范线性空间，如果X，则在X上必存在非感谢阅读零的连续线性泛函。证明：因X{}，故X{}，任取xX{}，令M{x:R},又00取cx，作M上的泛函0:xc,(f(x)c)谢谢阅读0 0 0 0显然，f0便可知f0

M上的非零有界线性泛函，只要将定理3.12中p取为p(x)x，感谢阅读必可延拓成X上的有界线性泛函f，显然f不是零泛函。证毕。谢谢阅读【定理3.14】（Banach保范延拓定理）设X是实赋泛线性空间，M是X的谢谢阅读子空间，f是M上的有界线性泛函，则存在X上的有界线性泛函F满足：精品文档放心下载（1）F(m)f(m),mM；（2）Ff 。M证明：由于f是M上的有界线性泛函，那么f(x)f xM这里fsupf(m):mM是f在M上的范数。令p(x)fx，则p是XMm1M上定义的次可加正齐次泛函，由式（3.6）对mM，有f(m)p(m)。根据定理3.12，存在X上连续线性泛函F满足结论（1），且F(m)p(m)。又谢谢阅读**F(x)p(x)f xf x感谢阅读M M所以F(x)fxM可见，F式X上有界线性泛函，且Ff，又F是f的延拓，所以MFsupF(x):xXsupF(m):mMx1x1supf(m):mMfMm1即Ff 。证毕。M注：从定理3.12证明过程中，我们知道多讨论的延拓并不惟一，由此可知，精品文档放心下载赋范线性空间的子空间上连续线性泛函的保范延拓一般也不惟一。精品文档放心下载例3.12设XR2，对x(x,x)，规定xxx,X按此范数成为赋1212范线性空间。又设M{(x,0):xR}，设f是定义在M上的连续线性泛函，110f((x,0))x，即f01。然而，对任何数,X上的连续线性泛函011Mf((x,x))xx,(x,x)X都是f的延拓，由于1212120f((x,x))xxxx121212max(1,)(x,x)12并且ff1，所以，只要1,f都是f的保范延拓。0M0【推论3.1】设X是实赋范线性空间，M是X的一个真闭子空间，xXM，令1inf{xm:mM}1则存在X上有界线性泛函F满足11xxF,且F(x)1d0xM证明：首先证d0。若d0，由下确界定义，存在mM，满足谢谢阅读n**xm d0(n)，即mx(n)。而M是闭的，所以xM，这与谢谢阅读1 n n 1 1XM矛盾。1记由M及x张成的子空间为M，则M可表示成精品文档放心下载1 1 1M{mx:mM,R}感谢阅读1 1在M上定义泛函f(mx)，显然，f是M上有界线性泛函，且谢谢阅读1 1 1(m)0(mM),f(x)1谢谢阅读1下面来计算f在M上的范数。对于0，由于感谢阅读1所以，fM1

mxmxf(mx)11mx11mxx(m)d1111。d另一方面，取mM，使xmd(n)，而n1nfM1f(xm)11n1n1n在上式中令n，得f1，故f1。M1dM1d最后，由定理3.12，存在X上有界线性泛函F，满足F(m)f(m)(mM)，1且Ff，根据f得构造，F显然满足M11 xxF(x) 10 xM证毕。注：推论3.1说明有界线性泛函可分离一点和一个闭子空间。精品文档放心下载【推论3.2】设X式实赋范线性空间，xX且x，则存在X上有界线00性泛函F满足F(x)x，且F1。00证明：取X得一维子空间M{x:R}，在M上定义有界线性泛函f为精品文档放心下载0**f(x)x，则f式M上线性泛函，且f(x)x，又0000f(x)xx000所以fsup{f(x):x1}1M00由定理3.12，存在X上有界线性泛函F，它是f得保范延拓，因此，F仍然满精品文档放心下载足 F(x)x,且F1。证毕。0 0推论3.2表明，只要X，则X上必存在不为零的连续线性泛函。谢谢阅读【推论3.3】设X是实赋范线性空间，xX，若对于X上任意连续线性泛谢谢阅读0函f，都有f(x)0，则x。00证明：用反证法，由定理3.13易得。推论3.3表明，当X式无限维实赋范线性空间时，在c上必存在无限多个谢谢阅读连续线性泛函。当X时复线性空间时，上述定理和推论同样成立。习题3.31.设X是实线性空间，M是X的子空间，xXM，证明：谢谢阅读0{mx:mM,R}是X的子空间。谢谢阅读1 02.设X是实赋范线性空间，x,yX，且xy，证明：存在X上有界线性泛函F感谢阅读满足F(x)F(y)。3.设X是实赋范线性空间，证明：xX，必有谢谢阅读0**xsupf(x)00fX*,f1X*为X上全体连续线性泛函组成的集合）。4.在C[a,b]上定义泛函谢谢阅读F(x)bx(t)dt,xC[a,b]谢谢阅读a证明：F是有界线性泛函，且Fba。谢谢阅读5.设X是实赋范线性空间，xX，若对任意X上的有界线性泛函f，且f1，精品文档放心下载0f(x)，证明：x 。0 06.设f是线性空间X上的非零线性泛函，取xXker(f)，证明：精品文档放心下载0{yx:yker(f),F}。谢谢阅读07.设f,f是线性空间X上的两个线性泛函，且ker(f)ker(f)，证明：存在常1212数，使得ff。123.4共轭空间与共轭算子本章第3.1节我们介绍了有界线性算子空间L(X,Y)，特别地当YR时，我精品文档放心下载们便得到X上有界线性汉化地全体L(X,R)，称L(X,R)为X的共轭空间，记为感谢阅读X*。本节我们将研究X*空间的有关问题。3.4.1共轭空间一般来说，对于赋范线性空间，即使是Banach空间，其上连续线性汉化谢谢阅读的具体形式仍然相当复杂。下面我们用Hahn-Banach定理，给出几个具体的感谢阅读Banach空间上所有连续线性泛函的具体形式。为此，我们将引入下面等距同构谢谢阅读概念。【定义3.7】设X,Y是赋范线性空间，称X是Y的嵌入子空间，如果存在精品文档放心下载线性算子T:XY满足Txx(xX)；称X与Y是等距同构精品文档放心下载**的，如果存在线性算子T:XY是满射，且Txx(xX)。精品文档放心下载注：当X是Y的嵌入子空间时,X是Y的子空间TX结构完全相同，因此，感谢阅读可记为XY；当X与Y等距同构时，这两个空间结构也完全相同，可记为谢谢阅读XY。例3.13c{x:x{a},lima0,aR}，在c中赋予范数xsupa，则0iii0iii，则c是赋范线性空间。l1{x:x{b},b,bR}，赋予范数xb0iiiii1i1l1也是赋范线性空间，我们有(c)*l1。0证明：对于任一{b}l1，定义c上线性泛函F为：i0(x)F({a})ab于是精品文档放心下载 i i i1F(x)xF({a})absupa(b)iiiiii1ii1所以，F,即F(c)*。0第i个另一方面，对F(c)*，令bF(e(i))，这里e(i)(0,0,,0,1,0,)。记0in0n，而F是{b}，对每个x{a}c，由于ae(i){a}supaii0iiii1in连续线性泛函，因此，F(x)nnF({a})limF(ae(i))limaF(e(i))ini1iini1limnabnabniiiii1i1下面证明l1。令(N){(N)}，其中谢谢阅读nsgnbnN(N)nnNn0**这里sgnx是符号函数，则lim(N)0，即(N)c，且(N)1，由式（3.7）nn0知NNbbsgn(b)F({(N)})F(N)Fnnnnn1n1由N的任意性，Nb ，又是得到F。根据上述两步，定义谢谢阅读n1:l1(c)*为T()F,l1，则T是线性算子，是满射，而且T()（因精品文档放心下载0 而是一一映射）。这说明l1与(c)*是等距同构的，即(c)*l1。感谢阅读00例3.14(l1)*l。证明：令e是l1中第k项为1，其它项为0的数列，任取f(l1)*，令kcf(e),Mspan{e}kkkk1M上nf(x)cxeMkk,kkk1k1且f(x)supcx，而M在l1中稠密，由Hahn-Banach定理可得kkf(x)supcx,xl1kk故f(x)supc，令c，因为cf(e)，所以kkkkkcf(e)fefkkk因此，l，且f。反之，对任意l，c，定义f(l1)*如下ixl1f(x)ckk,kk1则f(x)cxkk1所以，f。**再由上述论证可得，f，从而(l1)*与l等距同构，即(l1)*=l。证毕。例3.15(lp)*lq，其中111,p,q1。pq证明：对每个{b}lq，由级数形式的Holder不等式，对{a}lp，有ii11（3.8）ab(ap)p(bq)qiiiii1i1i1因此，定义lp上的线性泛函F为F({a})ab，那么由式（3.8）得iiii1F({a}){a}，即Fiqipq另一方面，设F(l1)*，记e(0,0,1,0,)（第i个坐标为1，其余为0），i对每个{a}lp，由于inn1ae{a}(ap)p0,(n)iiiii1pin1是连续线性泛函，所以nn（3.9）F({a})limF(ae)limaF(e)aF(e)iiiiiiini1ni1i1记bF(e),{b}，下面证lq。对自然数N，记iiibq1sgnb,nN且b0nnnNn0nN或b0n则N {N}lp，由式（3.9）得感谢阅读nNFNN1bqF(N)F(bp(q1))pnPnn1n11F(bq)pn1于是N1(bq)pFn1**1bq)pF，即F。令N，则(nq1由上述两方面证明，定义线性算子qp*为T()F，则T是满射，且T()，故(l)l。证毕。p*qq例3.16p[,]{f:fp[,]}Lab是ab上Lebesgue可积函数（p>1），定义范数：f(bfpdt)1p，则F(Lp[a,b])*的充要条件是存在gLp[a,b]（其中pa111），满足Fg，及F(x)bx(t)g(t)dt,xLp[a,b]。即pqa(Lp[a,b])*Lq[a,b]。感谢阅读由于证明比较复杂，这里略去。下面讨论一类很重要的赋范线性空间—自反空间。X是赋范线性空间，X*是它的共轭空间，因为X*也是赋范线性空间，它谢谢阅读也有共轭空间(X*)*，把它记为X**，称为X的二次共轭空间，如此继续下去，就有X的三次共轭空间谢谢阅读X***(X**)*这些空间之间自然是有联系的，我们只考察X与X**的关系。谢谢阅读对每个xX，做X*上的泛函X**如下：对fX*，令X**(f)f(x)，显然，这谢谢阅读样做的X**是X*上的线性泛函，而且由于精品文档放心下载X**(f)fx（3.10）所以，X**是有界线性泛函，并且X**x，称此泛函是由x生成的，又称精品文档放心下载X**的算子xx**为嵌入算子。【定理3.15】设X是赋范线性空间，嵌入算子xx**(xX)是X到X**的谢谢阅读**保范线性算子，即：（1）xy**x**y**；感谢阅读（2）x**x。证明：（1）由定义可知，对任意fX*，有精品文档放心下载(xy)**(f)f(xy)f(x)f(y)精品文档放心下载f(x)f(y)x**(f)y**(f)谢谢阅读2）由式（3.10）知x**x,故只需证x**x。对任何x0，由精品文档放心下载Hahn-Banach定理推论知，必有fX*，f1而且f(x)x，因此xxxx**x**(f)f(x)x精品文档放心下载x x证毕。由定理3.15易得如下推论：【推论3.4】设X是赋范线性空间，则X是X**的嵌入子空间，即xX**。谢谢阅读【定义3.8】设X是赋范线性空间，如果X＝X**，即X与X**等距同构，谢谢阅读则称X为自反空间。从上面的例子可见，(c)*l1,(l1)*l，因此，(c)**l，而cl，所以000不是自反的；而(lp)*lq,(lq)*lp,所以lp(p1)是自反的；同样，Lp[a,b](p1)谢谢阅读0也是自反的。自反空间有着极为重要的性质，自反空间上算子的结构也是特别整齐的。感谢阅读【定义3.9】设X是赋范线性空间，,xXxX，称x弱收敛于x，nn若对*，有limf(x)f(x)，记为xfXx(n)。nnn弱收敛点列具有下列性质：(1)若x()xn，则xx(n)；n n**(2)若x(n)，且xxy(n)，则xy;nn(3)若(n)xx，则x有界；nn(4)若X是有限性的，则有xx可推得xx(n)。nn证明：（1）对每个fX*，由于f(x)f(x)fxx0(n)nn所以(n)；xxn（2）对每个fX*，由x，得x及xy(n)nnf(x)limf(x)f(y)nn于是f(xy)0，由本章3.3节推论3.2知，存在fX*，且f1，00f(xy)xy，故xy0，即xy。0（3）对每个fX*，由于limf(x)f(x)，因此，f(x)有界，即nnnsupf(x)。定义X*上有界线性泛函列J(f)f(x),n1,2,,则由上面定nnnn理3.12，Jx，再由共鸣定理知nnsupJsupxnn故x有界。nnn（4）取X的一组基,e，x在这组基下可展e,e,12dn成xd1,2,),xda(n)e(naenjjjjj1j1取特殊的坐标泛函fX*，使if(e)1ij(i,j1,2,d)ijij0ij因此，**xddx(a(n)a)ea(n)ae0(n)niiiiiii1i1xx(n)。n注：在无穷维空间中，x()并不能推出xx(n)。例如，xnnn设Xl2,e(0,0,0,1，0，)，n1,2,,则e1，故e不强收敛于0，但对任nnn第n项何2，我们有()02*2,),e12innn1于0。【定义3.10】设赋范线性空间X的共轭空间为X*，在X*上有如下三种收精品文档放心下载敛：(1)按范数收敛（一致收敛），记为f f(n)，即ff0(n)；谢谢阅读n n(2)弱收敛，记为f(n)，即对每个fnx**X**,x**(f)x**(f)(n)；n(3)弱*收敛，记为*ff(n)，即对每个xX,f(x)f(x)(n)。nn这三种收敛的关系是：若f*f，则ff；若ff，则ff。nnnn当X是自反Banach空间时，f*f等价于ff。nn【定义3.11】设X,Y是赋范线性空间，L(X,Y)中点列T及TL(X,Y)满n足：对任意xX和任意的fY*,f(Tx)f(Tx)(n)，则称T弱收敛于T。nn我们已经知道，算子列的一致收敛可导出强收敛不一定一致收敛。由定义感谢阅读3.11可证得，算子列强收敛，一定弱收敛，但反之不成立。感谢阅读例3.17令2,x(,,)l2，定义12Tx(0,0,0,)，(n1,2,3,)n1,2第n项**这是一个平移算子，T显然是线性算子，并且Txx，所以T1，对任意nnnf(,,)l2(l2)*,f(Tx)12nkknk1由Hlder不等式有of(Tx)nkknk11x(2)2kn1

2121)2)2((kknk1k10,(n)即{T}弱收敛于0.但是{T}不强收敛。这里只要取xe(1,0,0,)，则当nmnn1时，就有TeTeee2n1m1n1m1故{Te}不收敛。1【定理3.16】设X是赋范线性空间，如果X*可分，则X是可分的。谢谢阅读证明：由于X*是可分的，所以在X*中由一列f，它在X*的单位球面上稠精品文档放心下载n密，对每个f，由于nsupf(x)f1nn2x1xX在X的单位球面上必有一串x，满足f(x)1，这时，把x张成的X的线nnn2n性闭子空间记为M，如果X不可分，那么必然由MX，从而在X*中存在点精品文档放心下载,f1，而且当xX时，f(x)0，然而谢谢阅读0 0 0fff(x)f(x)f(x)1n0nn0nnn2这与f在X*的单位球面上稠密的假设矛盾。所以，X是可分的。精品文档放心下载n定理3.16启发我们用共轭空间X*的性质可以来研究原来的赋范线性空间感谢阅读的性质。这个方向的进一步发展，就是局部凸拓扑线性空间理论中的对偶理谢谢阅读**论，它对于研究空间的拓扑结构是很有用的。3.4.2共轭算子我们知道，矩阵是有限维空间算子的表示形式，矩阵的转置在矩阵理论中起谢谢阅读着十分重要的作用。这种矩阵转置概念在无穷维空间的推广就是共轭算子。有了感谢阅读共轭空间的概念，就可以引出共轭算子的定义。【定义3.12】设T是从赋范线性空间X到赋范线性空间Y上的有界线性算子，对fY*，由fxfTxxX定义了X上的有界线性泛函f，显然对每个fY*，对应惟一的fX*，用T记这个对应关系，即Tff，f是Y谢谢阅读X的算子，称为T的共轭算子。共轭算子具有下列性质：谢谢阅读（1）T的共轭算子T是有界线性算子，且TT；谢谢阅读（2）TT，这里是实数；精品文档放心下载（3）TT，这里T,T；TTLX,Y121212（4）TT，这里TTTLX,Y,TX,Y；122112（5）设TLX,Y存在有界逆算子,则T也存在有界逆算子,且精品文档放心下载T1T1;（6）T的共轭算子T也有共轭算子 T，我们将他简记为T，则精品文档放心下载TT，若X看成X的子空间，则T是T的延拓。感谢阅读性质（2），性质（3）和性质（4）由定义易证，现证性质（1）、性质（5）精品文档放心下载和性质（6）。证明：性质（1）中T的线性显然。现证明T的有界性。感谢阅读由定义易知：**TfxfTxxX,yY故TfxfTxfTx于是TffT，故T有界，且TT。感谢阅读由Hahn-Banach定理推论3.2知，对任意xX,x，有fY使得感谢阅读0f0TxTx,f1故TxfxTfxTfxTx0000xX是任意的，即TT，故TT，即性质（1）成立。谢谢阅读性质（5）：由于T1是从Y到X的有界线性算子，T1是从X到Y的有界精品文档放心下载线性算子，任取xX，fX*，则感谢阅读TT1fxT1fTxfT1Txfx感谢阅读因xX是故意的，故TT1ff，又因为fX*是任意的，故TT1I（3.11）X这里I是X*中的恒同算子（单位算子）。X再任取yY,gY，有T1*T*gyT*gT1ygTT1ygy因yY,gY都是任取的，故T1*T*I*（3.12）Y这里I*是Y中的恒同算子。Y由式（3.11）和式（3.12）可知，T*以T1*为它的有界逆算子。感谢阅读性质（6）：T**T，由性质（1）立即导出。现证明T**是T的延拓。任精品文档放心下载取xX，设x**是x在X**中的对应元，则对任意fX*，有感谢阅读**x**ffx故**T**X**fX**T*fT*fxfTxTxf因fX*是任意的，所以T**x**Tx（3.13）**若将X视为****X的子空间，则x与x可视为同一，Tx**与Tx可视为同一，于是式（3.13）可改写成T**x**Tx，故T*是T的延拓。精品文档放心下载在很多情况下，需要求出给定的有界线性算子的共轭算子的具体形式。精品文档放心下载3.18设Aa是mn阶矩阵，由A定义了一个由Rn空间到Rm空间谢谢阅读ij的算子TyTx,nai1,2,,miiji1其中x,,n，y,m，容易证明T是有界线性算子。12n12n由于欧几里得空间的共轭空间就是它本身，故由共轭算子的定义可以知T*是由精品文档放心下载Rm到Rn中的有界线性算子。现在我们求出T*的具体形式。精品文档放心下载我们知道Rm上的每个有界线性泛函f可表示成mcRfyciiii1于是T*fxmcmmacmmaci1iii1i1ijiii1i1ijii故T*fd,d,,d,dmj1,2,,n（3.14）ac12njijii1**这表明T*由A的转置矩阵定义。3.19设K(s,t)是变量s及tatb,asb的实可测函数，满足谢谢阅读bbKs,tqdtdsaT是以K(s,t)为核心的积分算子，即TxtbKt,sxsds,xsLpa,b谢谢阅读是将pa可以证明T,qp与Lab映入La,b的有界算子。由于La,b11互为共轭空间，故由共轭算子的定义可知T是由Lqa,b1,p,q1pqLpa,b到Lqa,b的有界线性算子。现求出T的具体表达形式。感谢阅读对每个fLqa,b，存在Lpa,b中元y，使对任何zLqa,b，有谢谢阅读fzbztytdta（这里Lqa,b是上有界线性泛函的具体表达形式）谢谢阅读故TfxfTxbytdtbKt,sxsds谢谢阅读a abxsdsbKt,sytdt精品文档放心下载a a由于xLpa,b是任意的，故TfbKt,sytdt精品文档放心下载a因为f与y可视为同一，故形式上又可写为TysbKt,sytdt精品文档放心下载a故TytbKs,tysds,a可见，T是pq以K(s,t)为核的积分算子。Lab映入La,b**习题3.41．证明有限维赋范线性空间的共轭空间是有限维的。无穷维赋范线性空间谢谢阅读的共轭空间是无穷维的。2．证明任何有限维空间皆自反。3．在p中作出一个点列x及x，使x，其中lxnnnn1。4．设X是赋范线性空间，MX是闭线性子空间，若xM，有xxnn0n，证明xM且limxx。0nn05．设X是Banach空间，X是共轭空间，若xx，且f，fnnn证明：fx。fxnnn6．X,Y，证明Tx。xx，TLTxnnn7．设XCa,b，且x,n0n0证明：limxtxt。nn08．证明：若X是自反的，则X也是自反的。感谢阅读3．5开映射、逆算子及闭图像定理在许多实际问题中，我们常常遇到通过已知条件求出未知元的问题。例如解精品文档放心下载代数方程、微分方程、积分方程等。如果把它们抽象统一起来，则可得到一般算精品文档放心下载子方