考点03 配方法、根的判别式以及根与系数关系的9考点归类-原卷版

考点03配方法、根的判别式以及根与系数关系的9考点归类1，配方法的应用的方法技巧（1）比较大小：配方法不但可以解一元二次方程，而且能求代数式的最值，还能用于比较代数式的大小.用配方法比较代数式的大小，主要是用作差法将代数式作差后得到的新代数式配方，根据新代数式与0的关系确定代数式的大小（2）求最值：用配方法求代数式的最值是将代数式配方为完全平方式与常数的和的形式，根据完全平方式的非负性确定代数式的最值；（3）未知系数的取值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．（4）用配方法构造“非负数之和”解决问题：通过配完全平方式，利用“非负性”解决问题。2，根的判别式的应用的方法【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．（1）判断根的情况：式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.（2）求字母的值或取值范围：根据判别式，确定与0的关系，直接代入解不等式即可。（3）与三角形结合：一般会把根与三角形的边进行结合考察，考虑到三角形的三边关系能否构成三角形即可，有时候还会与等腰三角形结合。（4）与一次函数结合：通过一次函数与方程和不等式的关系，观察图像即可。3，根与系数的关系方法根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba考点1比较大小考点2求最值考点3未知系数的取值考点4用配方法构造“非负数之和”解决问题考点5判断根的情况考点6求字母的值或取值范围考点7与三角形结合考点8与一次函数结合考点9根与系数的关系求变形式子考点1利用配方法比较大小1．（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．试利用“配方法”解决下列问题：(1)填空：因为＋______，所以当______时，代数式有最______（填“大”或“小”）值，这个最值为______；(2)比较代数式与的大小．2．（2022秋·七年级单元测试）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．例如，求的最小值问题．解：∵，又∵，∴，∴的最小值为．请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)探究：；(2)求的最小值．(3)比较代数式：与的大小．3．（2022春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，，，．试利用“配方法”解决下列问题：(1)填空：因为+；所以当_______时，代数式有最（填“大”或“小”）值，这个最值为；(2)比较代数式与的大小．4．（2023春·吉林长春·八年级校联考阶段练习）我们知道，对于任意一个实数a，具有非负性，即“”．这个结论在数学中非常有用．很多情况下我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用“”来解决问题．例如：∵∴∴(1)填空：

_______；(2)请用作差法比较与的大小，并写出解答过程；(3)填空：的最大值为_______．考点2利用配方法求最值5．（2023春·安徽六安·八年级统考期末）利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法．我们已学习了用配方法解一元二次方程，除此之外，利用配方法还能解决二次三项式的最值问题．阅读如下材料，完成下列问题：材料：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：．因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2．完成问题：(1)求的最小值；(2)若实数满足．求的最大值．6．（2023·全国·九年级假期作业）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．即：的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题：(1)求代数式最值；(2)已知，求的值；(3)比较代数式与的大小．7．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：．解：原式：②，利用配方法求M的最小值．解：∴当时，M有最小值4．请根据上述材料解决下列问题：(1)用配方法因式分解；(2)若，求M的最小值．8．（2023春·四川达州·八年级统考期末）根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，即：对于任何数a，都成立，据此请回答下列问题．应用：代数式有值(填“最大”或“最小”)这个值是．探究：求代数式的最小值，小明是这样做的：∴当时，代数式有最小值，最小值为1请你按照小明的方法，求代数式的最小值，并求此时x的值，拓展：求多项式的最小值及此时x，y的值考点3利用配方法未知系数的取值9．（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）用配方法将方程化成的形式，则的值是（

）A． B． C． D．10．（2023春·山东威海·八年级统考期末）用配方法解方程，若配方后结果为，则n的值为（

）A． B．10 C． D．911．（2023秋·全国·九年级专题练习）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（

）A． B． C．0 D．212．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知关于x的多项式的最大值为7，则m的值可能是（）A．2 B．4 C．3 D．5考点4用配方法构造“非负数之和”解决问题13．（2023春·安徽宿州·九年级校考开学考试）已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（

）A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜1314．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，那么（

）A．－16 B．16 C．－8 D．815．（2023春·山东淄博·八年级统考期中）不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+9的值（

）A．总不小于4 B．总不小于9C．可为任何实数 D．可能为负数16．（2021秋·湖北恩施·九年级校考阶段练习）已知、、是的三边且满足，则的面积是（）A．60 B．30 C．65 D．32.5考点5利用根的判别式判断根的情况17．（2023春·北京昌平·八年级统考期末）下列方程中有两个不相等的实数根的方程是（

）A． B． C． D．18．（2023春·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期末）下列方程中，有实数根的方程是（）A． B． C． D．19．（2020秋·广东清远·九年级期末）一元二次方程根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．无实数根20．（2023·全国·九年级假期作业）若是一元二次方程的一个根，那么方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有一个根是C．没有实数根 D．有两个相等的实数根考点6利用根的判别式求字母的值或取值范围21．（2023·辽宁阜新·校联考一模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（

）．A． B．且 C． D．且22．（2023·河南周口·校联考二模）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且23．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且24．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．考点7利用根的判别式与三角形结合25．（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）已知关于的方程(1)求证：无论取何值，该方程总有实数根；(2)若等腰的一边长，另两边、恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长．26．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）若方程（c2＋a2）x＋2（b2-c2）x＋c2-b2=0有两个相等的实数根，且a，b，c是三角形ABC的三边，证明此三角形是等腰三角形．27．（2023秋·四川达州·九年级统考期末）已知：设三角形的三边a，b，c为方程有两个相等的实数根，且a，b，c满足(1)求证：是等边三角形．(2)若a，b为方程的两根，求k的值．28．（2011秋·江苏无锡·九年级统考期中）已知关于x的方程有两个相等的实数根,试证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形．考点8利用根的判别式与一次函数结合29．（2023·安徽六安·统考二模）关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限30．（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）一元二次方程有两个实数根a，b，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限31．（2020秋·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）若关于的一元二次方程没有实数根，则一次函数的大致图象可能是（

）A．B．C．D．32．（2023·安徽合肥·统考二模）关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图像不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点9利用根与系数的关系求变形式子33．（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）．(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根，满足，求的值．34．（2023春·江西宜春·八年级江西省丰城