电能质量2第二章

第二章电能质量的数学分析方法

第一节概述

电能质量主要的分析方法可以分为时域、频域和基于数学变换的分析方法三种。时域仿真方法在电能质量分析中应用最为广泛。频域分析方法主要用于电能质量中谐波问题。基于数学变换的方法主要指傅立叶变换方法、短时傅立叶变换方法、矢量变换方法以及小波变换方法和人工神经网络分析方法。第二节傅立叶变换与波形的数学分析方法一、非正弦周期信号分解为傅立叶三角级数

周期性电压和电流等信号都可用一个周期函数表示为

f（t）=f（t+kT）（k=0，1，2……）（2-1）其中：T——基本周期非正弦周期函数满足狄里赫利条件时可分解为傅立叶级数，而在电气工程中所处理的光滑函数通常都能满足这个条件。狄里赫利条件傅里叶在提出傅里叶级数时坚持认为，任何一个周期信号都可以展开成傅里叶级数，虽然这个结论在当时引起许多争议，但持异议者却不能给出有力的不同论据。直到20年后(1829年)狄里赫利才对这个问题作出了令人信服的回答，狄里赫利认为，只有在满足一定条件时，周期信号才能展开成傅里叶级数。这个条件被称为狄里赫利条件，其内容为(1)函数在任意有限区间内连续，或只有有限个第一类间断点（当t从左或右趋于这个间断点时，函数有有限的左极限和右极限）（2）在一个周期内，函数有有限个极大值或极小值。傅立叶的三角级数形式为也可写成式中——周期函数的角频率，

h——谐波次数。（2-2）（2-3）

比较式（2-2）和式（2-3），对h次谐波可得出下列关系利用三角函数的正交性，可求得为：

从上面分析可知，傅立叶级数展开结果是离散的傅氏系数组合。

电力系统的非正弦量往往有某种对称性，对称性可使傅立叶级数简化。奇对称偶对称镜对称双对称如，表2-1中的方波为奇函数，只含正弦项，将其坐标原点变为如图2-1（a）示，则其傅立叶级数为：

（2-4）但无论如何选择计时起点，总是有

把各次谐波的有名值或对于基波的相对值作成以谐波次数或谐波频率为横坐标的直线图，称为幅频谱图或简称频谱图。图2－1（b）为方波的幅频特性，第h次谐波的幅值与1/h成正比。傅立叶级数具有无穷项，但在实际工程中只截取有限项。表2－1中列出了常见的几种波形的傅立叶级数和表征畸变波形的系数。傅里叶三角级数的复数形式将三角函数写成复指数函数的形式为：

其中则可将式（2-3）写为

（2-3）二、连续傅立叶变换设f（t）为以连续非周期时间信号，若f（t）满足狄里赫利条件及那么，f（t）的傅立叶变换存在，并定义为其反变换为（2－5）（2－6）（2－7）

是的连续函数，称为信号f（t）的频谱密度函数，或简称为频谱，它又可进一步分成实部和虚部，幅度谱和相位谱，即

式中称为幅度值，称为相位谱。显然，傅立叶变换的结果是连续谱。（2－8）（2－9）（2－10）三、离散傅立叶变化为了计算傅立叶变换，需要用到数值积分，即取f（t）在R上的离散点的值来计算这个积分。在实际应用中，我们希望在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工作，对信号的要求是：在时域和频域应是离散的，且都是有限长。由此，给出DFT的定义。

给定实的或复的离散时间序列，设该序列绝对可和，即满足，则被称为序列的离散傅立叶变换。被称为序列的逆离散傅立叶变换。式（2－12）中，n相当于对时间域的离散化，k相当于频率域的离散化，且它们都是以N点为周期的。而离散傅立叶序列是以为周期的，且具有共轭对称性。离散傅里叶变换的定义（n＝0，1，…,N-1）（2－11）（n＝0，1，…,N-1）（2－12）式（2－11）和式（2－12）又可表示为由此，对于离散傅立叶序列，我们可以用矩阵的形式进行表述

(2-14)

(2-13)离散傅立叶变换(DFT)是数字信号处理中最基本也是最常用的运算之一，它涉及到信号与系统的分析和综合这一广泛的信号处理领域，实际上其他许多算法，如相关、滤波、谐估计等也都可化为DFT来实现。由公式(2-13)可知，求出N点需要次复数乘法，N(N-1)次复数加法。DFT的应用众所周知，实现1次复数乘法需要4次实数相乘及2次实数相加，实现1次复数加法则需要2次实数相加。当N很大时，其计算量是相当可观的。例如，若N=1024，则需要1048576次复数实数相乘。所需时间过长，难以“实时”计算。DFT的缺点四、内奎斯特定理和频谱混叠现象由离散傅立叶变换式(2-13)系数的共轭对称性，可以看出幅频特性是与纵坐标轴对称的，所以其幅频特性是周期性的偶函数(见图2-2)。当采样点数为N时，由式(2-13)仅给出N/2个频谱分量的数值。例如选取每周期128个采样点时，只能得到64个及以下的谐波幅值。

由此可以对采样定理作这样的解释：采样频率至少是原信号最高频率的2倍以上，采样才能正确地表述原信号的信息。通常将最高频率的2倍频率称为内奎斯特频率。由图2-3可见，当采样频率低于内奎斯特频率时，原信号中高于的频谱分量将会低于的频率中再现，即会出现频谱的混叠，会使频谱分析出现误差。

为了防止出现频谱的混叠，可先使原信号提供带宽低于采样频率一半的低通滤波器，滤去高于采样频率一半的分量。对这样的信号采样并作离散傅立叶变换，所得频谱不发生混叠。这样原信号中低于采样频率一半的频率分量能够得到准确的表述，但是在滤波的过程中将会失掉高于采样频率一半的频率分量。频谱混叠的解决方法例如对于方波信号，如果不经过低通滤波而对其采样作离散傅立叶变换，则会出现频率混叠而引入误差；如果经过低通滤波，比如使其只包含7次以下的谐波分量，则再对其采样作16点以上的离散傅立叶变换的频谱分析，使不会出现混叠。但这样已预先在方波中舍去了高于7次的谐波分量。

滤波举例五、快速傅立叶变换

快速傅立叶变换(FFT)最早由J.W.Cooley和J.W.Tukey于1965年提出，他们巧妙地利用W因子的周期性和对称性，导出了高效的快速算法，即快速傅立叶变换算法(FFT)。FFT使N点DFT的乘法计算量降低了很多。以N=1024为例，计算量将为5120次，仅为原来的4.88%。因此人们公认，FFT的问世是数字信号处理发展史上的一个转折点，也可以称之为一个里程碑。

自J.W.Cooley和J.W.Tukey的快速傅立叶变换算法提出之后，围绕这一算法的新算法不断涌现。迄今为止，快速傅立叶变换的发展方向主要有两个：一个是针对N等于2的整数次幂的算法，如基2算法、基4算法和分裂基算法等。另一个是N不等于2的整数次幂的算法，它是以Winograd为代表的一类算法，如素因子算法和Winograd算法等。下面介绍经典的Cooley-Tukey时间抽取(DIT)基2FFT算法。时间抽取基2FFT算法时间抽取(DIT)基2FFT算法

对于式(2-12)，令，M为正整数。我们可将按奇、偶分成两组，即令及，于是

(2-15)

(2-16)

由于式中，故式(2-15)又可表示为令

(2-17)(2-18)

那么

都是N/2点的DFT，是N点的DFT，因此单用式(2-19)表示并不完全。但由于

(2-19b)(2-19a)这样用就可完整表示(前N/2点用式(2-19a)表示，后N/2点用式(2-19b)表示)。时，及的关系如图2-4所示。由以上分析可见，只要求出区间内各个整数k值对应的值，即可求出区间内的全部值，这一点恰恰是FFT能大量节省计算的关键所在。由此，一个N点的DFT分解为两个N/2点，就可使计算量差不多节省了一半。既然这样分解是有效的，由于，N/2仍然是偶数，所以可以进一步把每个N/2点子序列[即]再按奇偶部分分解为两个N/4点子序列。我们可按上述方法继续加以分解，则可分别表示为

(2-20a)(2-20b)同理可得

(2-21a)(2-21b)若N=8，这时都是2点的DFT，无需再分，即上述过程可用图2-5表示。其基本运算单元如图2-6表示。

推广到点的DFT的一般情况，不难看出，第m次分解的结果是由点的DFT两两组成共个点的DFT。由于，通过次分解后，最终达到了N/2个两点DFT的运算，从而构成了由x(n)到X(k)的M级运算过程。其迭代过程如图2-7所示。

六、傅立叶变换的特点及其应用

1.傅立叶变换的特点傅立叶变换是时域到频域相互转换的工具。从物理意义上讲，傅立叶变换的实质是把这个波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加和。这样我们就可以把对原函数的研究转化为其权系数即傅立叶变换的研究。从傅立叶变换式中可以看出，这些标准基是由正弦波及其高次谐波组成的，因此它在频域内是局部化的。虽然傅里叶谱变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从时域和频域对信号进行观察，但不能把二者有机结合起来。这时因为信号的时域波形中不包括任任何频域信息，而其傅里叶谱是信号的功能，完全不具备时域信息。也就是说，对于傅里叶谱中某一频率，不知道这个频率是什么时候产生的。这样，在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。

在电能质量分析领域中，傅里叶变换得到了广泛应用。但是，在运用FFT时，必须满足以下条件：①满足采样定理的要求，即采样频率必须是最高信号频率的2倍以上；②被分析的波形必须是稳态的、随时间周期变化的。当采样频率或信号不能满足上述条件时，利用FFT分析就会产生“频谱混叠”和“频谱泄露”现象，给分析带来误差。此外，对于一些非平稳信号，例如电能质量领域中的电压暂降等问题，由于信号在任一时刻附近的频域特征都很重要，且信号在局部有突变，对它们仅从时域或频域上分析是不够的，因此它们不适合用傅里叶变换来进行分析。这是由于FFT变换是对整个时间段的积分，时间信息得不到充分利用，且信号若有任何突变量，其频谱将散布于整个频带。这些问题，可采用后面介绍的小波变换来进行分析。2.快速傅里叶变换的应用

在谐波分析仪中，一般都是对电压及电流两个时间信号同时进行采样，同时作频谱分析，以便快速给出它们的谐波幅值、相角以及谐波功率等。设有两个离散时间序列，它们的频谱序列分别为，由于两者均为实序列，故可作成复序列一起进行FFT计算。设

(2-22)

频谱算式为

(2-23)对按FFT方法计算，得

(2-24)(2-25)从而得(2-26)由于系数故由式(2-24)及式(2-26)解得

(2-27)

所以，可以用两个实序列构成一个复序列，求其傅立叶变换，然后用式(2-27)求取两个实序列的傅立叶变换。谐波分析仪可以通过及时测定电网电压和电流中各次谐波的含有率和相角，从而掌握电网谐波潮流分布、谐波阻抗和谐波放大等情况；另外，还可以用作电网谐波的实时监控。谐波分析仪主要由完善的数据采集系统和很强处理能力的FFT程序、统计分析程序以及实现各项功能的监控程序组成。其工作原理框图如图2-8所示。谐波分析仪的软件主要由实时数据采集子程序、FFT处理与统计子程序、功能操作子程序和显示与输出打印子程序四部分组成，其中FFT处理与统计子程序是软件的核心部分。谐波分析仪的基本工作流程如图2-9所示。

谐波分析仪的软件七、短时傅立叶变换

为了弥补傅里叶变换不能同时进行时域和频域局部分析的缺陷，DennisGabor于1946年提出了短时傅立叶变换(Short-timeFourierTransform，也称窗口傅立叶变换)。

短时傅立叶变换的基本思想是：在傅立叶变换的框架中，把非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加，而短时性则是通过一个参数的平移来覆盖整个时域，也就是说采用一个窗函数对信号作乘积运算来实现在附近的开窗和平移，然后再进行傅里叶变换。其表达式为

(2-28)

式中——积分核，；

——的复共轭。由短时傅立叶变换公式得知，表示的是的以为中心、左右为的局部时间内的频谱特性。窗口宽度的大小决定了时间域的分辨率。式(2-28)中实际是[即加窗后的]的傅氏变换。设为窗口函