课时验收评价(五十四) 直线与圆、圆与圆的位置关系

PAGE第2页共5页课时验收评价(五十四)直线与圆、圆与圆的位置关系一、点全面广强基训练1．若曲线x2＋y2－6x＝0(y>0)与直线y＝k(x＋2)有公共点，则k的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(3,4)))解析：选C∵x2＋y2－6x＝0(y>0)可化为(x－3)2＋y2＝9(y>0)，∴曲线表示圆心为(3,0)，半径为3的上半圆(不包括圆与x轴的交点)，它与直线y＝k(x＋2)有公共点的充要条件是圆心(3,0)到直线y＝k(x＋2)的距离d≤3，且k>0，∴eq\f(|3k－0＋2k|,\r(k2＋1))≤3，且k>0，解得0<k≤eq\f(3,4).故选C.2．过直线y＝2x＋3上的点作圆C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切线，则切线长的最小值为()A.eq\r(19) B．2eq\r(5)C.eq\r(21) D.eq\f(\r(55),5)解析：选A圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y＝2x＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y＝2x＋3的距离d，d＝eq\f(|2×2＋3＋3|,\r(5))＝2eq\r(5)，故切线长的最小值为eq\r(d2－r2)＝eq\r(19).3．(2021·郑州二模)若直线x＋ay－a－1＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝4交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧的长为()A.eq\f(π,2) B．πC．2π D．3π解析：选B直线x＋ay－a－1＝0可化为(x－1)＋a(y－1)＝0，所以直线恒过定点M(1,1)，由圆的圆心为C(2,0)，半径r＝2，当MC⊥直线AB时，|AB|取得最小值，且最小值为2eq\r(r2－|MC|2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2)，此时弦长AB对的圆心角为eq\f(π,2)，所以劣弧长为eq\f(π,2)×2＝π，故选B.4．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为()A．(－3eq\r(2)，3eq\r(2))B．(－∞，－3eq\r(2))∪(3eq\r(2)，＋∞)C．(－2eq\r(2)，2eq\r(2))D．(－∞，－2eq\r(2))∪(2eq\r(2)，＋∞)解析：选A由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r＋1＝3，即d＝eq\f(|－a|,\r(2))＜3，解得－3eq\r(2)＜a＜3eq\r(2).5．在平面直角坐标系内，过点P(0,3)的直线与圆心为C的圆x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B两点，则△ABC面积的最大值是()A．2B．4C.eq\r(3)D．2eq\r(3)6．(2021·天津高考)若斜率为eq\r(3)的直线与y轴交于点A，与圆x2＋(y－1)2＝1相切于点B，则|AB|＝____________.解析：设直线AB的方程为y＝eq\r(3)x＋b，则点A(0，b)，由于直线AB与圆x2＋(y－1)2＝1相切，且圆心为C(0,1)，半径为1，则eq\f(|b－1|,2)＝1，解得b＝－1或b＝3，所以|AC|＝2，因为|BC|＝1，故|AB|＝eq\r(|AC|2－|BC|2)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)7．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．解析：圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，所以|C1C2|＝5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，所以线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r答案：88．已知直线l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则m＝________，|CD|＝________.解析：设圆心到直线l的距离为d，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2⇒3＋d2＝12⇒d＝3，∴eq\f(|3m－\r(3)|,\r(m2＋1))＝3，化简得eq\r(3)m＋1＝0，解得m＝－eq\f(\r(3),3).可得直线l的方程为y＝eq\f(\r(3),3)x＋2eq\r(3)，其倾斜角为30°.如图所示，作CE⊥BD于E，则CE∥AB，∴∠ECD＝30°，又知在Rt△CDE中，CE＝2eq\r(3)，∴|CD|＝eq\f(|CE|,cos30°)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4.答案：－eq\f(\r(3),3)49．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a(1)当a为何值时，直线l与圆C相切？(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2eq\r(2)时，求直线l的方程．解：(1)根据题意，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0可化为x2＋(y－4)2＝4，其圆心为(0,4)，半径r＝2.若直线l与圆C相切，则有eq\f(|4＋2a|,\r(1＋a2))＝2，解得a＝－eq\f(3,4).(2)设圆心C到直线l的距离为d，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2，即2＋d2＝4，解得d＝eq\r(2).又d＝eq\f(|4＋2a|,\r(1＋a2))＝eq\r(2)，解得a＝－1或－7，则直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.10．已知圆O：x2＋y2＝2，直线l：y＝kx－2.(1)若直线l与圆O相切，求k的值；(2)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；(3)若k＝eq\f(1,2)，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点．解：(1)∵直线l与圆O相切，∴圆心O(0,0)到直线l的距离等于半径r＝eq\r(2)，即d＝eq\f(|－2|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，解得k＝±1.(2)∵直线l与圆C相交，∴d＝eq\f(|－2|,\r(k2＋1))＜eq\r(2)，解得k＞1或k＜－1.又θ＝∠AOB为锐角，∴coseq\f(θ,2)＞eq\f(\r(2),2)，即eq\f(d,r)＞eq\f(\r(2),2)，解得－eq\r(3)＜k＜eq\r(3).综上，k的取值范围为(－eq\r(3)，－1)∪(1，eq\r(3))．(3)由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上．设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(1,2)t－2))，以OP为直径的圆的方程为x(x－t)＋yeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)t＋2))＝0，即x2－tx＋y2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)t－2))y＝0，又C，D在圆O：x2＋y2＝2上，两圆的方程作差得lCD：tx＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)t－2))y－2＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)))t－2y－2＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)＝0，,2y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝－1，))∴直线CD过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1)).二、重点难点培优训练1．设P为直线3x－4y＋4＝0上的动点，PA，PB为圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，A，B为切点，则四边形APBC面积的最小值为()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C.eq\r(5) D．2eq\r(5)解析：选A如图，连接AC，BC，PC.易知圆C的圆心坐标为(2,0)，|AC|＝|BC|＝r＝1，CA⊥PA，CB⊥PB.设P(x0，y0)，则3x0－4y0＋4＝0，所以y0＝eq\f(3,4)x0＋1.由勾股定理知|AP|＝eq\r(|CP|2－|AC|2)＝eq\r(x0－22＋y\o\al(2,0)－1)，所以S四边形APBC＝2SRt△ACP＝|AC||AP|＝|AP|＝eq\r(x0－22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x0＋1))2－1)＝eq\f(5,4)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(4,5)))2＋\f(48,25))，当x0＝eq\f(4,5)时，所求面积最小为eq\f(5,4)×eq\r(\f(48,25))＝eq\r(3).2．若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是()A．3 B．4C．2eq\r(3) D．8解析：选B如图，连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以O1Oeq\o\al(2,2)＝O1A2＋O2A2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝eq\f(\r(5),5)，所以在Rt△ACO2中，AC＝AO2·sin∠AO2O1＝2eq\r(5)×eq\f(\r(5),5)＝2，所以AB＝2AC＝4.故选B.3．已知直线l：x＋y－1＝0截圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)所得的弦长为eq\r(14)，点M，N在圆O上，且直线l′：(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0过定点P，若PM⊥PN，则|MN|的取值范围为()A．[2－eq\r(2)，2＋eq\r(3)] B．[2－eq\r(2)，2＋eq\r(2)]C．[eq\r(6)－eq\r(2)，eq\r(6)＋eq\r(3)] D．[eq\r(6)－eq\r(2)，eq\r(6)＋eq\r(2)]解析：选D由题意：2eq\r(r2－\f(1,2))＝eq\r(14)，解得r＝2，因为直线l′：(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0过定点P，故P(1,1)；设MN的中点为Q(x，y)，则|OM|2＝|OQ|2＋|MQ|2＝|OQ|2＋|PQ|2，即4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，化简可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(3,2)，所以点Q的轨迹是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))为圆心，eq\f(\r(6),2)为半径的圆，所以|PQ|的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－\r(2),2)，\f(\r(6)＋\r(2),2)))，|MN|的取值范围为[eq\r(6)－eq\r(2)，eq\r(6)＋eq\r(2)]．故选D.4．(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2,0)，且⊙M与l相切．(1)求C，⊙M的方程．(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与解：(1)因为直线x＝1与抛物线C相交于P，Q两点，且OP⊥OQ，所以P(1,1)，Q(1，－1)，所以抛物线C的方程为y2＝x.又⊙M与l相切，则⊙M的半径r＝1，即⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1.(2)设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，则yeq\o\al(2,1)＝x1，yeq\o\al(2,2)＝x2，yeq\o\al(2,3)＝x3.由点A1，A2，A3的坐标及上式可知，直线A1A2：(y1＋y2)(y－y1)＝x－x1即x－(y1＋y2)y＋(y1＋y2)y1－x1＝0.直线A1A3：(y1＋y3)(y－y1)＝x－x1即x－(y1＋y3)y＋(y1＋y3)y1－x1＝0.因为⊙M与直线A1A2所以eq\f(|2＋y1＋y2y1－x1|,\r(1＋y1＋y22))＝1，即eq\f(|2＋y