常州市2017年中考模拟优化卷

常州市2017年中考模拟优化卷一、选择题1.的相反数是（）A.-2B．C．2D．0答案：B解析：由实数a的相反数为-a可知选项B正确，故选B．2．下列计算正确的是（）A.B．C.D.答案：C解析：．故选项A错误；，故选项B错误；，故选项D错误，故选C.3．下列图形中，是中心对称图形的是（）A.平行四边形B.直角三角形C．等边三角形D．角答案：A解析：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，题中所给图形中只有平行四边形符合条件．故选A.4．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD=1，DB=2，则△ADE的面积与△ABC的面积之比为（）A.B.C．D．答案：D解析：因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以.选D.5.在平面直角坐标系中，以点(2，3)为圆心，2为半径的圆必定（）A．与x轴相离、与y轴相切B．与x轴、y轴都相离C．与x轴相切、与y轴相离D．与x轴、y轴都相切答案：A解析：由题意可知，该圆到y轴的距离等于半径2，到x轴的距离为3>2，所以该圆与x轴相离、与y轴相切．故选A.6．已知方程的较小根为a．下面对a的估算正确的是（）A.-5<a<-4B．-4<a<-3C．-3<a<-2D．-l<a<0答案：B解析：解法l由公式法，得，所以．因为7<<8，所以．故选B.解法2设．当x=-4时，y=-3；当x=-3时，y=4，所以结合该函数的图像（图略）可知方程的较小根a满足-4<a<-3．故选B.7．如图，BC是的直径，AB=4BC=l，点M在上，AM交于另一点N，如果MO⊥CN，那么的值为()A.B．C．D.答案：C解析：连接MC．因为，所以AC=5,A0=3，BO=2．因为OM⊥CN，OM=OC，所以MN=CM，所以．因为，所以△AMO∽△ACM，所以，即，所以，，所以，过点O作OD⊥MN于点D．则由垂径定理，得，所以．故选C．8．如图，已知意M,N的坐标分别是(0，1)，（0，-1），P是抛物线上的一个动点，连接PM，PN，并延长PM交抛物线于点Q，连接NQ，现给出下列结论：①；②；③以点P为圆心，PM为半径的圆与经过点N且平行于x轴的直线相切．其中结论正确的有（）A.①②B．①③C．②③D．①②③答案：B解析：设点P()，Q()，其中>0，．则，因为点P到点M的距离，又因为点P到直线的距离也为，所以结论③正确.设直线PQ的解析式为y=kx+l，与联立，得，所以.因为所以结论②错误．因为,而，所以,所以①正确.故选B.二、填空题9．因式分解：____．答案：解析：.10.某市某一周的每一天的最高气温统计如下表：则这组数据的中位数是；众数是.答案：1717解析：将题表中数据由小到大排列得15,16,16,17,17,17，18，所以这组数据的中位数是17，众数是17.11.已知一次函数y=kx+b（k，b为常数且k≠O）的图像经过点A（O，-1）和点B(2,O)，则k=____,b=____.答案：-1解析：根据题意，得解得12.已知扇形的半径为6cm，圆心角为120°,则此扇形的弧长为____cm，面积为（结果保留π）.答案：解析：该扇形的弧长，面积.13．某工厂2014年缴税20万元，2016年缴税24万元，设这两年该工厂缴税的年平均增长率为x，根据题意，可得方程为.答案：解析：14.如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么实数k的值为_________．答案：解析：根据题意，得，解得.15．已知在△ABC中，，sinA=，BC=6，则AB的长为．答案：8解析：由,得,所以AB=8.16．已知一次函数y=-x+1与反比例函数，其x与y的部分对应值如下表：则不等式-x+1>的解集为．答案：x<-1或0<x<2解析：根据题表中数据，在平面直角坐标系中作出一次函数y=-x+l与反比例函数的图像（图略），观察图像可知，当x<-l或O<x<2时，.17．如图，AB是半径为4的的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，的平分线交于点C，连接AC，BC，△ABC的中位线所在的直线与相交于点E，F，则EF的长为．答案：解析：连接OC，交EF于点D，连接OE.因为，所以，所以OC⊥AB.因为EF是△ABC的中位线，所以OD⊥EF，且OD=2．所以由垂径定理可知.18．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图像上，第二象限的点B在反比例函数的图像上，且OA⊥OB,cosA=，则k的值为．答案：-8解析：过点A作⊥x轴于点，过点B作⊥x轴于点B．因为OA⊥OB,所以易证△∽△．因为，所以，所以在Rt△AOB中，易得．所以.因为点A在反比例函数的图像上，所以，所以，所以k=-8．三、解答题19.化简：（1）；（2）.答案：（1）原式=.（2）原式=.解析：20.解方程和不等式组：（1）（2）答案：(l)原方程可化为x（x-2）=x-2，即，解得.(2)解不等式2x-l≥x，得x≥1．解不等式，得x<3．所以原不等式组的解集为1≤x<3.解析：21.为保证中学生每天锻炼一小时，某中学开展了形式多样的体育活动项目，小明对本班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的统计图l和图2．(1)请根据所给信息在图l中将表示“乒乓球”项目的图形补充完整；(2)求出扇形统计图中表示“足球”项目扇形的圆心角．答案：(1)根椐题意，得全班共有20÷40%=50（人），所以打乒乓球的有50-20-15-10=5（人），补全条形统计图略．(2)“足球”项目扇形的圆心角的度数为．解析：22．某综艺节目共有5名节目主持人，其中3名男性，2名女性．(1)从这五位主持人中任选一位，刚好是男性的概率是多少？(2)从这五位主持人中任选两位，求选择的两位主持人刚好是一男一女的概率，并画出树状图或列表格．答案：(1)从这五位主持人中任选一位，刚好是男性的概率为．(2)用Bl，B2，B3分别表示三位男性主持人．G1．G2分别表示两位女性主持人，列表如下：所以由表可知，选择的两位主持人刚好是一男一女的概率为．解析：23.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，E是线段AD上的点，且AD=BD，DE=DC.(1)求证：；(2)若AC=13，DC=5，求AE的长．答案：(1)证明：在Rt△EBD和Rt△CAD中，因为所以Rt△EBD≌Rt△CAD，所以.(2)解：在Rt△CAD中，由勾股定理，得.因为DE=DC，所以AE=AD-DE=AD-DC=7．解析：24．某旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金是x元．发现每天的运营规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少l辆，已知所有观光车每天的管理费是1100元．当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入会最多（注：净收入=租车收入-管理费）?答案：设每天的净收入为y元，当O<x≤100时，．因为随x的增大丽增大，所以当x=lOO时，有最大值，为50×100-1100=3900．当x>100时,.当x=175时，有最大值，为5025.因为5025>3900，所以当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多，为5025元．解析：25．(1)如图1，线段AB=2n，P是线段AB上的动点（不包括端点）．分别以AP，BP为斜边，在线段AB的两侧作等腰直角三角形ACP和等腰直角三角形BDP，则C，D两点之间的距离为（用含n的代数式表示）．(2)如图2，线段AB=2n，P是线段AB上的动点（不包括端点）．分别以AP，BP为底边，在线段AB的两侧作等腰三角形ACP和等腰三角形BDP，且，则C，D两点之间的距离为（用含n和的代数式表示）．(3)如图3，线段AB=12，以AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，P是x轴上的动点，此时，过点A的直线的解析式为，过点B的直线与y轴交于点C(0，4).E，F分别是直线上的动点，则PE+PF的最小值是，此时，.答案：(l)解析：因为△ACP与△BDP都是等腰直角三角形，所以，所以.(2)解析：过点C作CF⊥AB于点F．因为AC=PC,，所以．同埋可得．所以．(3)解析：易知点A的坐标为（-4,0）．因为AB=12，所以点B的坐标为(8，O)．设直线交y轴于点D，则点D的坐标为(0，2)．所以，所以△AOD∽△BOC，所以.设直线交直线于点G，则△GAB为等腰三角形，要使PE+PF最小，只要满足PE，PF分别垂直于直线和直线即可．过点B作BH⊥于点H，则由,得PE+PF=BH．因为，所以.由对称性可知点G的横坐标为2，所以点G(2，3),所以.易证,所以.解析：26．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边AD，AB的中点，P是BC延长线上一点，且EP⊥EB.过点F作FH∥BP，分别交EB，EP于G，H两点．将△EGH绕点E逆时针旋转()，得到△EMN(M，N分别是G，H的对应点)，使直线MN恰好经过点B．(1)求BP的长．(2)△EBM与△EPN相似吗？请说明理由．(3)求旋转角的大小（只要求出的某一个三角函数值即可）．答案：(1)因为EP⊥EB,所以.因为AD∥BP,所以.所以△ABE∽△EPB,所以,所以.（2）△EBM∽△EPN.理由如下：易知，所以.又因为,所以△EBM∽△EPN.(3)如图是旋转后的图形.易知,且EN⊥EM.过点B作BK⊥NE,交NE的延长线于点K,设BK=x(x>0),则有,得.所以.在Rt△EBK中，由勾股定理，得，解得或x=0(舍去).所以.因为BK∥EM,所以,所以解析：27．(1)阅读理解我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角w（且w≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系．如图1，经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN交z轴和y轴于点M，N，点M，N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做点P的x坐标和y坐标．如图2，w=30°，直角三角形的顶点A在坐标原点0，点B，C分别在x轴和y轴上，AB=，则点B，C在此斜坐标系内的坐标分别为B____，C____．(2)尝试应用如图3，w=45°，0为坐标原点，边长为1的正方形OABC的边OA在x轴上，设点G(x，y)在经过A，C两点的直线上，求y与x之间满足的关系式.(3)深入探究如图4，w=60°，O为坐标原点，点M(2,2),的半径为．有一个内角为60°的菱形，菱形的一边在x轴上，另有两边所在直线恰好与OM相切，求此菱形的边长．答案：(1)()(0,2)(2)如图，作CD∥y轴，FG∥y轴，分别交x轴于点D,F.易知点A（1，0），F(x,0),因为,所以，所以.(3)画出大致的草图如图所示.如图1，图2，可得菱形的边长为.因为点M(2，2)，所以点M到x轴的距离为.如图3，可得菱形的边长为.如图4，可得菱形的边长为.解析：28．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A,B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8,P是直线AB上方的抛物线上的一动点（不与点A，B重合）．(1)求该抛物线的函数关系式．(2)连接PA，PB，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使△PAB恰好是一个以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．(3)过点P作PD∥y轴，交直线AB于点D，以PD为直径作，求在直线AB上截得的线段的最大长度.答案：(1)因为点A在x轴上，点B的横坐标为-8，且在直线上，所以点A(2，0)，B（-8，-5）．因为点A，B在抛物线上，所以所以所以该抛物线的函数关系式为.(2)不存在．理由如下：假设存在这样的点P，使△PAB