2023年上海高中自主招生数学全真模拟试卷六

高中自主招生数学全真模拟试卷(六)

填空题

1.设、=犬+4/+8/+8%+7,其中x为任意实数，则y的取值范围是

2.如图，从直角△ABC的直角顶点C作斜边AB的三等分点的连线CE、CF,已知CE=sina,CF=cosa

(a为锐角)，则AB=.

3.如图，已知PA、PB分别切。0于点A、B,PC^S：ABPB-ACPC=ABPC-ACPB,

且APEJPC,ZPAB=2ZBPC,则NACB=

DC1

4.如图，在梯形ABCD中，DC||AB,——=-,MN为中位线，EF||AB且过AC与BD的交点，点E、F

AB3

分别在AD、BC上，则梯形CDEF、梯形FEMN、梯形NMAB面积的边比等于.

5.设为,々，••…/均为正整数，且它们之间满足关系4=2288,

X"+3=X"+2(X"+l+2x“)(〃=1,2,3)，则%+%+七=

6.在直角坐标系中，以原点0为圆心作。0,设。。与x轴正半轴交于点P,D(6,8)在。。上，点E、F在

线段0P上(与点O和P不重合)，连接DE、DF并延长与。。分别交于B、C,直线BC与x轴交于点G,若

DE=DF,贝Usin/CG0=.

7.如图，将1,2,3,…9这9个数字全部填入3X3的方格表内，每个方格填一个数.其中中心方格内填入

的数字为4,且使得每行中从左到右的数字，每列中自下而上的数字都按照从小到大的顺序排列的不同填法

有种.

8.己知a是方程V+3x-l=0的一个解，则直线y=ax+l—a一定不经过第象限.

解答题

9.如图，AB是00的直径，C是半圆AB的中点，点D在00内，且DC=1,DA=4,DB=V14,求00

的面积.

4

10.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，AO=8,AB=AC,sinZABC=y,AD

在AB上，CD与)，轴交于点E,且满足SAC°E=SAADE，求经过点B、C、E的抛物线的解析式.

11.如图，OOi与外切于点P，OOi>OO2的半径分别为2,1,OiA为002的切线，AB为002的直

径，OiB分别为。0k002于点C、D,求CD+3PD的值.

B

12.不等式/+尸+。3-1«3abe,求满足条件的非负整数解数组(a,6,c)

参考答案

1.解：原式可化为丁=［。+1）2+1『+324.

2.如图所示，设AC=b,BC=a,分别过点E、F作EMLAC,FNJ_AC,垂足分别是点M、N,因此BE=EF=FA,

211,2,.…

则EM=-a,FN=—a,CM=—b,CN=-Z?,在RtZkCEM中,

3333

6产+（初=sin2a.在RtACFN中,

所以，-a2+-b2=l^a2+h2^-,故AB=^

9955

3.如图，由ABPB-ACPC=ABPC-ACPB得(AB+AC)(AB-AC)=O,故PB=PC,又

PA=PB,则PA=PB=PC；从而点A、B、C在以P为圆心，PA为半径的圆上，不

妨设/ACB=a,ZAPB=2a,ZBPC=90°-2a,又NPAB=2NPBA=180°-4a,

ZPAB=ZPBA=90°-a,贝U180°-4a=90°-a,于是a=3(T=/ACB

4.易证梯形CDEF~梯形NMAB,梯形CDMN~梯形FEAB,设DC=1,则AB=3,

MN=2,EF=1.5,设梯形CDEF的面积为1,则梯形NMAB的面积为4,再设梯

1+r47

形EFMN的面积为x,注意到MN:AB=2：3,由结论I得------=解得广一，故所求的连比为5：7：

x+495

20

5.依次将〃=1,2,3代入关系式X“+3=X“+3（X“+I+2X“），得/=£（々+2内），

X2又

x5=x4(x3+2X2)=3(X2+2xt)(x3+2X2),X6=x3(x2+2x,)(x3+2x2)(x2+2xt+2)

4=2288=24x11x13且龙3都是正整数，则七+2%2+2玉23,由于％+2玉+2比々+2西

大2,而且24x11x13中只有13与11差为2且自身是不小于3的因数，于是％+2%+2=13则々+2%=11；

因此，只能是/3（马+2%）=24,所以工3=1或2,当七=1时，Z不是整数；当七=2时，%2=1,芭=5

符合条件，故用+/+工3=8

6.如图，过点D作DMUEF于点M,延长DM与O交于点N,连接ON与BC交于

点Q,则DM平分NEDF,从而CN=BN,所以ON_LBC,易知G、M、Q、N共

圆，所以/CGO=NONM,又MN=DM=8,OM=6,则ON=10,故sin/CGO=sin/ONM=

3

5

7.a的最小值为l,h最大值为9,所以,b、d互换共有2种可能.{c,e,7,g}={5,6,7,8},

这组共3种可能，再互换位置共有2种可能，所以12种.

8.当》40/3+3》一1<0,又a是方程V+3x—1=0的一个解，则a>0,得

12='一3所以工一3＞0,&＜工,0＜。＜!，故直线y=ax+l—e一定不经过第四象限.

aa33

9.如图，连接AC、BC,则NACB=90。，AOBC,将△BDC绕点C顺时针旋转90。得AD'C连接DDL

则AAD'C也△BDC,故D'C=DC=1,AD'=BD=J7,ZDCD'=90°,由勾股定理得DD'=近，在△AD

D中,因为D'A2+D'D?=16,,所以/AD'D=90。，易知NCD'D=45。,故NAD'C=NAD'D+NCD'D=135°,

过点A作AE_LCD'交CD'的延长线于点E,则/AD'E=18()o-NAD'C=45。，在RtAAED'中，ED'=AE=AD

'sinNAD'E=近，由勾股定理得AC=BC=加+2币,AB=4(15+2)),所以，S=(£+J7)%

10.由sin/ABC=,AO=8得AB=10,由勾股定理得BO=6,易知△ABO丝△ACO,因此CO=BO=6,于是A(0,-8)、

B(6,0)、C(-6,0),设点D(,”,〃),由SA.=S^DE^CBD=S^OB则；•BC|〃|=g•A。♦6。得n=-4；故点D为

Q

AB的中点，即D(3,-4),从而CD、AO为4ABC的两条中线，故E为4ABC的重心，即E(0,一一)，设过点B、

3

n7R

C、E的抛物线解析式为y=a(x—6)(x+6)则可得a=点,故抛物线的解析式为＞'=点/一］

11.如图，连接01。2，则0|。2过点P，连接AP并延长交O|B于点E,因为O|P：02P=2：1,且02为AB

的中点，所以点P为AOiAB的重心，又AE过点P,则EP：AE=1：3,且

E为OiB的中点，由NOiAB=90°,知EA=EB=OE,即NEAB=NEBA,又四

边形APDB为圆内接四边形，则NEAB=NPDE,故NPDE=NABE,从而PD||AB,

一B

EPPDPD12

所以△EPD-AEAB,从而有——=——=——=一,/7)=一贝1]PD||AB得

AEAB2