专题02 一元二次函数、方程和不等式-2023-2024学年高一数学期末复习重难培优与单元检测（人教A版2019）原卷版

专题02一元二次函数、方程和不等式目录目录【知识梳理】 2【重点保分】 4【重点保分一】作差（商）比较大小 4【重点保分二】利用性质证明简单不等式 7【重点保分三】一元二次不等式解法 10【重点保分四】一元二次方程根的分布 13【重点保分五】基本不等式与最值 16【重点保分六】巧用“1”的代换求最值 19【难点增分】 22【难点增分一】二次函数综合应用 22【难点增分二】含参一元二次不等式 24【难点增分三】利用基本不等式求参数的值（范围） 27【培优满分】 30【培优满分一】三个“二次”之间的关系 30 【培优满分二】不等式恒成立问题 33【技巧总结】 37【单元检测】 40知识梳理知识梳理1、不等关系与不等式(1)在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题.(2)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示不等关系.“a≠b”应包含“a>b”或“a<b”.2、两个实数的大小关系依据a>b⇔a－b>0a＝b⇔a－b＝0a<b⇔a－b<0结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小3、不等式：∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.4、不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bcc的符号5同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正5、基本不等式(1)基本不等式：如果a>0，b>0，则eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立.(2)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.(3)“当且仅当”的含义：①当a＝b时取等号，即a＝b⇒eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；②仅当a＝b时取等号，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)⇒a＝b.(4)基本不等式可变形为a＋b≥2eq\r(ab)，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2).6、最值问题已知x，y都为正数，则：(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2，简记为：积定和最小，和定积最大.7、一元二次不等式(1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.(2)一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.(3)一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点.8、二次函数与一元二次不等式(方程)的关系Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}9、简单的分式不等式的解法10、一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔a>0且Δ<0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是a<0且Δ<0.(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.重点保分重点保分【重点保分一】作差（商）比较大小【典例精讲】（多选）（2023上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）对于实数，，，下列选项正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则， D．若，，则【变式训练】一、单选题1．（2023上·山东青岛·高一青岛三十九中校考期中）下列命题为假命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若且，则 D．若且，则2．（2020上·江苏南通·高一江苏省南通中学校考开学考试）同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（

）A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定二、多选题3．（2023上·江苏淮安·高三金湖中学校联考期中）设，则（

）A． B．C． D．三、填空题4．（2022上·辽宁沈阳·高一校联考期中）若，，，则，的大小关系是.【重点保分二】利用性质证明简单不等式【典例精讲】（2023上·吉林长春·高一长春十一高校联考阶段练习）阅读材料：(1)下侧图片中为初中化学实验试题，请用数学中不等式知识解释题中“氯化钠加得越多，溶液越咸”这句话，用代替溶质，代替溶液，代替添加的溶质并证明.(2)结合（1）中的不等式关系与，，则有的不等式性质.解答问题：已知，，是三角形的三边，求证：.【变式训练】1．（2023上·陕西榆林·高一校考期中）证明下列不等式：(1)已知，求证：；(2)已知，求证：.2．（2023上·安徽·高一校联考阶段练习）（1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小；（2）证明：已知，且，求证：3．（2023·上海·高一专题练习）（1）已知，求证：；（2）已知，求证：（3）已知，求证：4．（2023上·江西·高一江西省余干中学校联考阶段练习）（1）设，，比较，的大小；（2）若，根据性质“如果，，那么”，证明：.【重点保分三】一元二次不等式解法【典例精讲】（多选）（2023上·安徽阜阳·高一阜阳市第三中学校考期中）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（

）A．B．不等式的解集为C．D．的最小值为【变式训练】一、单选题1．（2023上·江苏徐州·高一徐州高级中学校考期中）不等式的解集为（

）A． B．C． D．2．（2023上·江苏徐州·高一徐州高级中学校考期中）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2023上·湖北孝感·高一湖北省孝感市第一高级中学校联考期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．的解集为三、填空题4．（2023上·广西河池·高一校联考阶段练习）若集合，且“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为．【重点保分四】一元二次方程根的分布【典例精讲】（多选）（2023上·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（

）A．当时，方程的两个实数根之和为0B．方程无实数根的一个必要条件是C．方程有两个不相等的正根的充要条件是D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是【变式训练】一、单选题1．（2023上·河北沧州·高一统考期中）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（

）A．当时，方程的两个实数根之和为B．方程无实数根的充分不必要条件是C．方程有两个正根的充要条件是D．方程有一个正根一个负根的充要条件是2．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期中）如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2023上·江苏·高一统考期中）关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（

）A．B．不等式的解集为C．的最大值为D．关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是三、填空题4．（2023上·湖北·高一校联考阶段练习）命题“时，方程有两个不等实数根”是真命题，则实数的取值范围是．【重点保分五】基本不等式与最值【典例精讲】（多选）（2023上·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期中）下列说法正确的是（

）A．若，则的最大值为4B．，则的最小值是4C．当取得最大值D．的最小值为【变式训练】一、单选题1．（2023上·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知，且，则（

）A．有最小值8 B．有最小值C．有最大值8 D．有最大值2．（2023上·广西·高一校联考阶段练习）已知，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7二、多选题3．（2023上·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期中）已知，，则（

）A．的最小值为4 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最小值为三、填空题4．（2023上·重庆·高一重庆一中校考期中）已知，且满足，则的最大值为．【重点保分六】巧用“1”的代换求最值【典例精讲】（多选）（2023上·浙江温州·高一校联考期中）已知a，b为正实数，满足，则下列判断中正确的是（

）A．有最小值B．有最小值C．函数的最小值为1D．有最大值【变式训练】一、单选题1．（2023上·浙江·高一台州市黄岩中学校联考期中）已知，且，则的最小值为（

）A．1 B． C．9 D．2．（2023上·江苏镇江·高一统考期中）已知正实数，满足，则的最小值为（

）A． B．4 C． D．5二、多选题3．（2023上·新疆伊犁·高一校联考期中）已知，且，则（

）A．的最小值是9B．ab的最大值是8C．的最小值是16D．的最小值是4三、填空题4．（2023上·江苏南通·高一统考期中）已知，，，则的最小值为.难点增分难点增分【难点增分一】二次函数综合应用【典例精讲】（2022上·湖北·高一宜昌市夷陵中学校考期中）已知函数在区间上的最小值为9，则a可能的取值为（

）A．2 B．1 C． D．【变式训练】一、单选题1．（2023上·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）已知二次函数，下列结论正确的是（

）A．其图像的开口向上 B．图像的对称轴为直线C．当时，随的增大而减小 D．函数有最小值32．（2021上·浙江宁波·高一校考期中）函数，则恒成立的解集是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2020上·山东济南·高一期末）若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则a的取值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1三、填空题4．（2023上·广东·高一校联考期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是【难点增分二】含参一元二次不等式【典例精讲】（多选）（2023上·湖南株洲·高一株洲市南方中学校考期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．的解集为【变式训练】一、单选题1．（2023上·江苏宿迁·高一统考期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（

）A． B．3 C． D．62．（2023上·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2023上·湖北·高一洪湖市第一中学校联考期中）已知关于的不等式的解集为，则（

）A．函数有最大值B．C．D．的解集为三、填空题4．（2022上·上海黄浦·高一格致中学校考期末）如果关于的不等式的解集为，其中常数，则的最小值是.【难点增分三】利用基本不等式求参数的值（范围）【典例精讲】（多选）（2023下·河北石家庄·高三校联考开学考试）下列说法正确的是（

）A．若，则函数的最小值为B．若实数a，b满足，且，则的最小值是3C．若实数a，b满足，且，则的最大值是4D．若实数a，b满足，且，则的最小值是1【变式训练】一、单选题1．（2023上·山东·高一统考期中）不等式对于，恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023上·全国·高一专题练习）当时，函数的最小值为（

）A． B．C． D．4二、多选题3．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数，点在函数图象上，则下列说法正确的是（

）A．有最小值 B．有最小值2C．有最小值 D．若，则有最小值三、填空题4．（2021·高一课时练习）用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是．培优满分培优满分【培优满分一】三个“二次”之间的关系【典例精讲】（多选）（2023上·陕西咸阳·高一统考期中）下列结论正确的是（

）A．若方程没有根，则不等式的解集为B．若不等式的解集是，则C．若关于的不等式的解集为，则D．不等式的解集为【变式训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（

）A．等价于B．若不等式的解集为，则必有C．不等式的解集为D．若方程没有实数根，则不等式的解集为2．（2020上·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）已知不等式的解集是，则不等式的解集是（

）A． B．或C． D．或二、多选题3．（2023上·福建龙岩·高三校联考期中）若不等式的解集是，则下列结论正确的是（

）A．且B．C．关于的不等式的解集是D．关于的不等式的解集是三、填空题4．（2023·高一课时练习）已知不等式的解集为，则不等式的解集为．【培优满分二】不等式恒成立问题【典例精讲】（多选）（2023上·福建泉州·高三校考期中）下列命题正确的是（

）A．要使关于的方程的一根比大且另一根比小，则的取值范围是B．在上恒成立，则实数的取值范围是C．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是D．若不等式的解集为或，则对于函数有【变式训练】一、单选题1．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数m的取值范围为（

）A．或 B．或C．或 D．或2．（2023上·辽宁铁岭·高三校联考期中）已知，，，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习）关于的不等式，下列说法不正确的是（

）A．若关于的不等式解集为或，则二次函数的零点为，B．若关于的不等式解集为或，则的解集为C．若关于的一元二次不等式解集为，则且D．若关于的不等式的解集与关于的二次不等式的解集相同都是，则三、填空题4．（2023上·上海·高一上海中学东校校考期中）对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是．技巧总结技巧总结1.用不等式(组)表示不等关系的步骤：(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语.(2)适当的设未知数表示变量.(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式(组).2.作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤第一步：作差并变形，通常将差化为完全平方和或多个因式积的形式.第二步：判断差值与零的大小关系.第三步：得出结论.3.对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小.4.比较两数的大小或证明不等式，最基本的方法是作差比较法，其关键是作差变形，判断差的符号.5.a2＋b2≥2ab对于任意实数a，b均成立，当且仅当a＝b时，取“＝”.6.利用不等式的性质判断命题真假的注意点：(1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质.(2)采用特殊值法进行排除，注意取值一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.7.利用不等式的性质对不等式进行证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件，不可省略条件.8.用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件.9.利用不等式的性质求取值范围，要建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.10.同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.11.利用基本不等式比较实数大小的注意事项(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积).(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.12.在利用基本不等式求最值时要注意三点一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备.13.用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②巧用“1”的代换证明不等式；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，创造使用基本不等式的条件再使用.14.“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值.15.利用基本不等式求参数(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而求得参数的值或取值范围.(2)不等式恒成立问题，往往先分离参数，转化为求最值问题.16.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.17.对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论.18.若求出的两根中含有参数，应对两根的大小进行讨论，然后利用不等式的解集与方程根的关系得出结论.19.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0，Δ>0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标.20.给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.21.解决不等式恒成立问题的两种思路(1)转化成含有参数的不等式，借助对应函数图象，找到满足题目要求的条件，构造含参数的不等式(组)，求得参数范围.(2)分离参数，通过求参数的最值，进而确定参数的范围.22.利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；(3)求解所列出的不等式(组)；(4)结合题目的实际意义确定答案.单元检测单元检测一、单选题1．（2022下·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）若，，，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高一专题练习）一辆中型客车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数的变化关系如表所示，要使总利润达到最大值，则该客车的营运年数是（

）x（年）468…7117…A．15 B．10 C．9 D．63．（2021·全国·高三专题练习）下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．4．（2022下·全国·高三校联考阶段练习）函数在（

）单调递增.A． B． C． D．5．（2022上·江苏苏州·高一校考阶段练习）若，则的最小值为（

）A． B．4 C． D．66．（2022上·山西·高一统考阶段练习）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（

）A．或 B．C．或 D．7．（2022上·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）设，则（

）A． B．C． D．8．（2022上·宁夏银川·高三宁夏育才中学校考阶段练习）命题p：，q：，若非p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（

）A． B． C