闵行区2024届毕业班阶段性测试（一）数学试题试卷

闵行区2024届毕业班阶段性测试（一）数学试题试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，，，则的大小关系是()A． B． C． D．2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线E上的一点，且.若直线与双曲线E的渐近线交于点M，且M为的中点，则双曲线E的渐近线方程为()A． B． C． D．3．已知函数若函数在上零点最多，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知等差数列的前n项和为，且，则（）A．4 B．8 C．16 D．25．已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（）A． B．4 C．2 D．6．已知实数满足，则的最小值为（）A． B． C． D．7．已知函数，若关于的方程恰好有3个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．8．在直三棱柱中，己知，，，则异面直线与所成的角为（）A． B． C． D．9．下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（）A． B． C． D．10．函数的图象的大致形状是（）A． B． C． D．11．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A． B．4 C． D．12．设双曲线的左右焦点分别为，点.已知动点在双曲线的右支上，且点不共线.若的周长的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上任一点，且的最小值为，则该双曲线的离心率是__________.14．已知集合，，则__________．15．已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为___．16．设随机变量服从正态分布,若，则的值是______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过的有30人，不超过的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人.（1）完成下面的列联表，并据此判断是否有的把握认为，家庭轿车平均车速超过与驾驶员的性别有关；平均车速超过的人数平均车速不超过的人数合计男性驾驶员女性驾驶员合计（2）根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过的人数为，假定抽取的结果相互独立，求的分布列和数学期望.参考公式：其中临界值表：0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从五所高校中任选2所．（1）求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率；（2）若已知甲同学特别喜欢高校，他必选校，另在四校中再随机选1所；而同学乙和丙对五所高校没有偏爱，因此他们每人在五所高校中随机选2所．（i）求甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率；（ii）记为甲、乙、丙三名同学中选高校的人数，求随机变量的分布列及数学期望．19．（12分）P是圆上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足．（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）过点的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．20．（12分）2019年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.方案一：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.方案二：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率；（2）若某顾客获得抽奖机会.①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？21．（12分）设不等式的解集为M，.（1）证明：；（2）比较与的大小，并说明理由.22．（10分）已知函数，曲线在点处的切线在y轴上的截距为.（1）求a；（2）讨论函数和的单调性；（3）设，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

选取中间值和，利用对数函数，和指数函数的单调性即可求解.【题目详解】因为对数函数在上单调递增,所以,因为对数函数在上单调递减,所以，因为指数函数在上单调递增,所以,综上可知,.故选:A【题目点拨】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.2、C【解题分析】

由双曲线定义得，，OM是的中位线，可得，在中，利用余弦定理即可建立关系，从而得到渐近线的斜率.【题目详解】根据题意，点P一定在左支上.由及，得，，再结合M为的中点，得，又因为OM是的中位线，又，且，从而直线与双曲线的左支只有一个交点.在中.——①由，得.——②由①②，解得，即，则渐近线方程为.故选：C.【题目点拨】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.3、D【解题分析】

将函数的零点个数问题转化为函数与直线的交点的个数问题，画出函数的图象，易知直线过定点，故与在时的图象必有两个交点，故只需与在时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解.【题目详解】由图知与有个公共点即可，即，当设切点，则，.故选：D.【题目点拨】本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题.4、A【解题分析】

利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得.【题目详解】.故选:.【题目点拨】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易.5、A【解题分析】

由已知得，，由已知比值得，再利用双曲线的定义可用表示出，，用勾股定理得出的等式，从而得离心率．【题目详解】.又，可令，则.设，得，即，解得，∴,,由得，，，该双曲线的离心率.故选：A.【题目点拨】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点到焦点的距离都用表示出来，从而再由勾股定理建立的关系．6、A【解题分析】

所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值.【题目详解】解：因为满足，则，当且仅当时取等号，故选：．【题目点拨】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.7、D【解题分析】

讨论，，三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案.【题目详解】当时，，故，函数在上单调递增，在上单调递减，且；当时，；当时，，，函数单调递减；如图所示画出函数图像，则，故.故选：.【题目点拨】本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.8、C【解题分析】

由条件可看出，则为异面直线与所成的角，可证得三角形中，，解得从而得出异面直线与所成的角．【题目详解】连接，，如图：又，则为异面直线与所成的角.因为且三棱柱为直三棱柱，∴∴面，∴，又，，∴，∴，解得.故选C【题目点拨】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．9、C【解题分析】

分析函数的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.【题目详解】函数的定义域为，在上为减函数.A选项，的定义域为，在上为增函数，不符合.B选项，的定义域为，不符合.C选项，的定义域为，在上为减函数，符合.D选项，的定义域为，不符合.故选：C【题目点拨】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.10、B【解题分析】

根据函数奇偶性，可排除D；求得及，由导函数符号可判断在上单调递增，即可排除AC选项.【题目详解】函数易知为奇函数，故排除D.又，易知当时，；又当时，，故在上单调递增，所以，综上，时，，即单调递增.又为奇函数，所以在上单调递增，故排除A，C.故选：B【题目点拨】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，导函数性质与函数图象关系，属于中档题.11、A【解题分析】

模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当，，退出循环，输出结果.【题目详解】程序运行过程如下：，；，；，；，；，；，；，，退出循环，输出结果为，故选：A.【题目点拨】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目.12、A【解题分析】

依题意可得即可得到，从而求出双曲线的离心率的取值范围；【题目详解】解：依题意可得如下图象，所以则所以所以所以，即故选：A【题目点拨】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据双曲线方程，设及，将代入双曲线方程并化简可得，由题意的最小值为，结合平面向量数量积的坐标运算化简，即可求得的值，进而求得离心率即可.【题目详解】设点，，则，即，∵，，，当时，等号成立，∴，∴，∴.故答案为：.【题目点拨】本题考查了双曲线与向量的综合应用，由平面向量数量积的最值求离心率，属于中档题.14、【解题分析】

解一元二次不等式化简集合，再进行集合的交运算，即可得到答案.【题目详解】，，.故答案为：.【题目点拨】本题考查一元二次不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.15、【解题分析】

由题意，根据数列的通项与前n项和之间的关系，即可求得数列的通项公式．【题目详解】由题意，可知当时，；当时，.又因为不满足，所以.【题目点拨】本题主要考查了利用数列的通项与前n项和之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项与前n项和之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16、1【解题分析】

由题得，解不等式得解.【题目详解】因为，所以，所以c=1.故答案为1【题目点拨】本题主要考查正态分布的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）填表见解析；有的把握认为，平均车速超过与性别有关（2）详见解析【解题分析】

（1）根据题目所给数据填写列联表，计算出的值，由此判断出有的把握认为，平均车速超过与性别有关.（2）利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望.【题目详解】（1）平均车速超过的人数平均车速不超过的人数合计男性驾驶员301040女性驾驶员51520合计352560因为，，所以有的把握认为，平均车速超过与性别有关.（2）服从，即，.所以的分布列如下0123的期望【题目点拨】本小题主要考查列联表独立性检验，考查二项分布分布列和数学期望，属于中档题.18、（1）（2）（i）（ii）分布列见解析，【解题分析】

（1）先计算甲、乙、丙同学分别选择D高校的概率，利用事件的独立性即得解；（2）（i）分别计算每个事件的概率，再利用事件的独立性即得解；（ii），利用事件的独立性，分别计算对应的概率，列出分布列，计算数学期望即得解.【题目详解】（1）甲从五所高校中任选2所，共有共10种情况，甲、乙、丙同学都选高校，共有四种情况，甲同学选高校的概率为，因此乙、丙两同学选高校的概率为,因为每位同学彼此独立，所以甲、乙、丙三名同学都选高校的概率为．（2）（i）甲同学必选校且选高校的概率为，乙未选高校的概率为，丙未选高校的概率为，因为每位同学彼此独立，所以甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率为．（ii），因此，．即的分布列为0123因此数学期望为．【题目点拨】本题考查了事件独立性的应用和随机变量的分布列和期望，考查了学生综合分析，概念理解，实际应用，数学运算的能力，属于中档题.19、（1）点M的轨迹C的方程为，轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆（2）【解题分析】

（1）设，根据可求得，代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆；（2）设，与椭圆方程联立，利用求得；利用韦达定理表示出与，根据平行四边形和向量的坐标运算求得，消去后得到轨迹方程；根据求得的取值范围，进而得到最终结果.【题目详解】（1）设，则由知：点在圆上点的轨迹的方程为：轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆（2）设，由题意知的斜率存在设，代入得：则，解得：设，，则四边形为平行四边形又∴，消去得：顶点的轨迹方程为【题目点拨】本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系建立起动点横纵坐标满足的关系式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略的取值范围.20、(1)(2)①②第一种抽奖方案.【解题分析】

(1)方案一中每一次摸到红球的概率为，每名顾客有放回的抽3次获180元返金劵的概率为，根据相互独立事件的概率可知两顾客都获得180元返金劵的概率(2)①分别计算方案一，方案二顾客获返金卷的期望，方案一列出分布列计算即可，方案二根据二项分布计算期望即可②根据①得出结论.【题目详解】（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为设“每位顾客获得180元返金劵”为事件A，则所以两位顾客均获得180元返金劵的概率（2）①若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.设获得返金劵金额为元，则可能的取值为60，100，140，180.则；；；.所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金劵金额的数学期望为（元）若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，最终获得返金劵的金额为元，则，故所以选择抽奖方案二，该顾客获得返金劵金额的数学期望为（元）.②即，所以该超市应选择第一种抽奖方案【题目点拨】本题主要考查了古典概型，相互独立事件的概率，二项分布，期望，及概率知识在实际问题中的应用，属于中档题.21、(1)证明见解析；(2).【解题分析】试题分析：(1)首先求得集合M，然后结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论；(2)利用平方做差的方法可证得|1-4ab|