专题6.1 平行四边形的性质（学生版）

专题6.1平行四边形的性质1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理；2．会应用平行四边形的性质定理解决相关的几何证明和计算问题。知识点01平行四边形的性质【知识点】1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。3）两条平行线之间的距离：一条直线上任一点到另一直线的距离。平行线间距离处处相等。4）平行四边形的性质，讨论：边、角、对角线，有时会涉及对称性。如下图，四边形ABCD是平行四边形：性质1（边）：=1\*GB3①对边相等；=2\*GB3②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD注：=1\*GB3①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD（矩形的对角线才相等）；=2\*GB3②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO（菱形对角线才平分角）5）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。【知识拓展1】平行线间距离的应用例1．（2023春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期中）如图，若直线，A，D在直线m上，B，E在直线n上，，，，的面积为6，则直线m与n之间的距离为______．【即学即练】1．（2022·广东广州市·九年级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC，AC＝24，BE＝5，AD＝8，则两平行线AD与BC间的距离是_____．【知识拓展2】平行四边形的性质例2．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）下列性质中，平行四边形不一定具备的是（）A．对边相等 B．邻角互补 C．对角线互相平分 D．对角互补【即学即练】1．（2021·四川宜宾·中考真题）下列说法正确的是（）A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分【知识拓展3】平行四边形的面积问题例3．（2023春·浙江·八年级阶段练习）如图，在中，M是的中点，且，则的面积为（

）A．20 B．40 C．62 D．72【即学即练】1．（2022·浙江八年级期中）如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，则S为______．2．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校联考期中）如图，，对角线、交于点，过点的直线与、交于点、，若的面积是3，的面积是5，则四边形的面积是（

）A．13 B．16 C．24 D．32【知识拓展4】利用平行四边形的性质求角度例4．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）如图，点E是平行四边形的边上一点，连结，并延长与的延长线交于点F，若，，则______．【即学即练】1．（2022·常熟市八年级月考）如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F是DB上两点且AE∥CF，若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，则∠BCF＝（）A．150° B．40° C．80° D．90°【知识拓展5】利用平行四边形的性质求长度例5．（2023春·北京大兴·八年级统考期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长是（

）A．6 B．8 C．9 D．10【即学即练】1．（2023春·湖南邵阳·八年级校联考期中）如图，在平行四边形中，，，，则的周长是（

）A． B． C． D．2．（2022·黑龙江·大庆市八年级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC的长为_____．【知识拓展6】利用平行四边形的性质求坐标例6．（2023春·山西大同·八年级统考期中）如图，位于第一象限中，已知顶点、的坐标分别为，，则顶点的坐标为（

）A． B． C． D．【即学即练】1．（2023春·辽宁铁岭·七年级校考阶段练习）如图，平行四边形在坐标系中的坐标分别为，，，则D点的坐标为（

）A． B． C． D．2．（2022·广东·深圳八年级期中）平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝OC＝，则点B的坐标为（）A．(，1) B．(1，) C．(＋1，1) D．(1，＋1)【知识拓展7】平行四边形性质的综合（多结论问题）例7．（2022·山东泰安市·九年级期末）如图，的对角线交于点平分交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（）A．个B．个C．个D．个【即学即练】1．（2022·山东济南市·八年级期末）如图，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：①；②：③；④.其中，正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【知识拓展8】平行四边形中的翻折问题例8．（2022·安徽阜阳市·九年级期末）如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点E、F分别是边AB、CD上的动点，将该四边形沿折痕EF翻折，使点A落在边BC的三等分点处，则AE的长为．【即学即练】1．（2022·绵阳市·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的度数为（）

A．40° B．36° C．50° D．45°【知识拓展9】利用平行四边形的性质证明相关问题例9．（2022·湖北·浠水县八年级期中）已知：在□ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1=∠2．（1）求证：G是CD的中点；（2）若CF=2，AE=3，求BE的长．【即学即练】9．（2022·江苏·九年级期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．点E恰是CD的中点．求证：（1）△ADE≌△FCE；（2）BE⊥AF．【知识拓展10】平行四边形中的动态问题例10．（2022·湖南邵阳市·九年级期末）如图，在▱ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，∠A=60°，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间（0≤t≤6）．（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形？（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形？【即学即练4】（2022·陕西榆林市·八年级期末）如图，的对角线相交于点，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，连接，并延长交于点．设点的运动时间为秒．（1）求的长（用含的代数式表示）；（2）当四边形是平行四边形时，求的值；（3）当时，点是否在线段的垂直平分线上？请说明理由．题组A基础过关练1．（2022·四川乐山·八年级期末）已知是平行四边形，以下说法不正确的是（）A．其对边相等B．其对角线相互平分C．其对角相等D．其对角线互相垂直2.（2022·广西桂林市·七年级期末）如图，若表示三角形的面积，表示三角形的面积，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．3．（2022·广西·八年级期中）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是（）A．（7，3） B．（8，2） C．（3，7） D．（5，3）4．（2022·广西三江·八年级期中）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，那么∠B与∠A的度数之比为（）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：15．（2022·黑龙江·大庆市北湖学校八年级期末）在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，则m的取值范围是（）A．24<m<39 B．14<m<62 C．7<m<31 D．7<m<126．（2022·山东烟台市·八年级期末）已知平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝110°，则∠B的度数为（）A．125° B．135° C．145° D．155°7．（2022·广东清远市·八年级期末）在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（）A．对边相等 B．对边平行 C．对角相等 D．对角线相等8．（2022·山东淄博市·八年级期末）如图，是的对角线，点在上，，，则的度数是______．9．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）如图，点O是平行四边形对角线的中点，过点O分别与相交于点E、F，若平行四边形的周长为24，，那么四边形的周长为_______．10．（2023春·福建泉州·八年级福建省永春第一中学校考期中）如图，已知的对角线，交于点，且，，则的周长比的周长多_____．11．（2023·新疆喀什·统考二模）如图，在中，过点C作的垂线，交的延长线于点E，若，则的度数是_______．12．（2022上海九年级专题练习）如图，中，、是直线上两点，且．求证：（1）；（2）．题组B能力提升练1．（2022·贵州铜仁市·八年级期末）如图，点在直线上移动，是直线上的两个定点，且直线.对于下列各值：①点到直线的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点的移动而变化的是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④2．（2022·明水县八年级期中）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（）A．红花，白花种植面积一定相等B．红花，蓝花种植面积一定相等C．蓝花，黄花种植面积一定相等D．紫花，橙花种植面积一定相等3．（2022·山东青岛市·八年级期末）如图，在平行四边形中，为上一点，，且，，则下列选项正确的为（）A．B．C．D．4．（2022·浙江杭州市·八年级期末）如图，在平行四边形中，，．作于点E，于点F，记的度数为，，．则以下选项错误的是（）A．B．的度数为C．若，则四边形的面积为平行四边形面积的一半D．若，则平行四边形的周长为5．（2022·浙江杭州市·八年级月考）如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至，与交于点F，若，则的大小为（）A． B． C． D．6．（2022·山东烟台市·八年级期末）如图1，平行四边形纸片的面积为120，．今沿两对角线将四边形剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（、重合）形成一轴对称图形（戊），如图2所示，则图形戊的两对角线长度和为（）A．26 B．29 C． D．7．（2022·山东潍坊市·八年级期末）如图，在平行四边形中，平分，则平行四边形的周长是（）A． B． C． D．8．（2022·四川成都市·八年级期末）如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．9．（2023春·浙江杭州·八年级期中）如图，在，点F是上的一点，连接，平分，交于中点E，连接．若，，，则______．10．（2022·天津八年级期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G，且DG与CF交于点E．（Ⅰ）求证：AF＝GB；（Ⅱ）求证：△EFG是直角三角形；（Ⅲ）在▱ABCD中，添上一个什么条件，使△EFG是等腰直角三角形．题组C培优拔尖练1．（2022·辽宁锦州市·九年级期末）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；②分别以点，为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（）

A．3 B． C．4 D．2．（2022·山东泰安市·九年级期末）如图，已知的面积为点在线段上，点在线段的延长线上，且四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．3．（2022·四川南充市·九年级一模）如图，与的周长相等，且，则的度数为（）A． B． C． D．4．（2022·湖南长沙·九年级期末）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，的面积为48，OA＝3，则BC的长为（）A．6 B．8 C．12 D．135．（2022·广东·深圳市九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB＝8，连接BD，分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧交于点E和点F，作直线EF交AD于点I，交BC于点H，点H恰为BC的中点，连接AH，则AH的长为（）A． B．6 C．7 D．46．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在▱ABCD中，AD=2AB，