上海市徐汇区上海师大附中2024届数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

上海市徐汇区上海师大附中2024届数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是()A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2)(4) D．(2)(3)2．某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（）A．40 B．36 C．30 D．203．三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，⊥底面，且，则此三棱锥外接球的半径为（）A． B． C． D．4．已知,是两个不同的平面,是两条不同的直线,下列命题中错误的是（）A．若∥，，，则B．若∥，，，则C．若，，,则⊥D．若⊥，，,,则5．下列角位于第三象限的是（）A． B． C． D．6．设，若，则数列是（）A．递增数列 B．递减数列C．奇数项递增，偶数项递减的数列 D．偶数项递增，奇数项递减的数列7．如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（）A． B． C． D．8．设函数的图象为，则下列结论正确的是（）A．函数的最小正周期是B．图象关于直线对称C．图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到D．函数在区间上是增函数9．若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行，则m的值为（）A．7 B．0或7 C．0 D．410．若平面∥平面，直线∥平面,则直线与平面的关系为()A．∥ B． C．∥或 D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若是三角形的内角，且，则等于_____________．12．若,则____________.13．执行如图所示的程序框图，则输出结果_____.14．设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则__________．15．设a＞0，b＞0，若是与3b的等比中项，则的最小值是__．16．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知圆，点，直线.（1）求与直线l垂直，且与圆C相切的直线方程；（2）在x轴上是否存在定点B（不同于点A），使得对于圆C上任一点P，为常数？若存在，试求这个常数值及所有满足条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由.18．如图，已知四棱锥，底面为菱形，，,平面，分别是的中点．（1）证明：；（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．19．数列满足：．（1）求证：为等比数列；（2）求的通项公式．20．如图扇形的圆心角，半径为2，E为弧AB的中点C､D为弧AB上的动点，且，记，四边形ABCD的面积为.（1）求函数的表达式及定义域；（2）求的最大值及此时的值21．如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

仔细观察图象，寻找散点图间的相互关系，主要观察这些散点是否围绕一条曲线附近排列着，由此能够得到正确答案．【题目详解】散点图（1）中，所有的散点都在曲线上，所以（1）具有函数关系；

散点图（2）中，所有的散点都分布在一条直线的附近，所以（2）具有相关关系；

散点图（3）中，所有的散点都分布在一条曲线的附近，所以（3）具有相关关系，

散点图（4）中，所有的散点杂乱无章，没有分布在一条曲线的附近，所以（4）没有相关关系．

故选D．【题目点拨】本题考查散点图和相关关系，是基础题．2、C【解题分析】试题分析：利用分层抽样的比例关系,设从乙社区抽取户，则，解得.考点：考查分层抽样.3、D【解题分析】

过的中心M作直线,则上任意点到的距离相等，过线段中点作平面，则面上的点到的距离相等，平面与的交点即为球心O，半径，故选D.考点：求解三棱锥外接球问题.点评：此题的关键是找到球心的位置（球心到4个顶点距离相等）.4、A【解题分析】

根据平面和直线关系，依次判断每个选项得到答案.【题目详解】A.若，，，则如图所示情况，两直线为异面直线，错误其它选项正确.故答案选A【题目点拨】本题考查了直线平面的关系，找出反例是解题的关键.5、D【解题分析】

根据第三象限角度的范围，结合选项，进行分析选择.【题目详解】第三象限的角度范围是.对A：，是第二象限的角，故不满足题意；对B：是第二象限的角度，故不满足题意；对C：是第二象限的角度，故不满足题意；对D：，是第三象限的角度，满足题意.故选：D.【题目点拨】本题考查角度范围的判断，属基础题.6、C【解题分析】

根据题意，由三角函数的性质分析可得，进而可得函数为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案。【题目详解】根据题意，，则，指数函数为减函数即即即即，数列是奇数项递增，偶数项递减的数列，故选：C.【题目点拨】本题涉及数列的函数特性，利用函数单调性，通过函数的大小，反推变量的大小，是一道中档题目。7、C【解题分析】

根据向量的定义及运算法则一一分析选项正误即可.【题目详解】在平行四边形中,显然有,,故A,D正确;根据向量的平行四边形法则,可知,故B正确;根据向量的三角形法,,故C错误;故选:C.【题目点拨】本题考查平面向量的基本定义和运算法则,属于基础题.8、B【解题分析】

利用函数的周期判断A的正误；通过x=函数是否取得最值判断B的正误；利用函数的图象的平移判断C的正误,利用函数的单调区间判断D的正误．【题目详解】对于A，f（x）的最小正周期为π,判断A错误；对于B，当x=，函数f（x）=sin（2×+）=1，∴选项B正确；对于C，把的图象向左平移个单位，得到函数sin[2（x+）]=sin(2x+，∴选项C不正确．对于D，由，可得，k∈Z，所以在上不恒为增函数，∴选项D错误；故选B．【题目点拨】本题考查三角函数的基本性质的应用，函数的单调性、周期性及函数图象变换，属于基本知识的考查．9、B【解题分析】

根据直线和直线平行则斜率相等，故m(m-1)=3m×2，求解即可。【题目详解】∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行，∴m(m-1)=3m×2，∴m=0或7，经检验，都符合题意，故选B.【题目点拨】本题属于基础题，利用直线的平行关系，斜率相等求解参数。10、C【解题分析】

利用空间几何体，发挥直观想象，易得直线与平面的位置关系.【题目详解】设平面为长方体的上底面，平面为长方体的下底面，因为直线∥平面，所以直线通过平移后，可能与平面平行，也可能平移到平面内，所以∥或.【题目点拨】空间中点、线、面位置关系问题，常可以借助长方体进行研究，考查直观想象能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】∵是三角形的内角，且，∴故答案为点睛：本题是一道易错题，在上，，分两种情况：若，则；若，则有两种情况锐角或钝角.12、【解题分析】故答案为.13、1【解题分析】

弄清程序框图的算法功能是解题关键．由模拟执行程序，可知，本程序的算法功能是计算的值，依据数列求和方法——并项求和，即可求出．【题目详解】根据程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出，输出的为1．【题目点拨】本题主要考查了含有循环结构的程序框图的算法功能的理解以及数列求和的基本方法——并项求和法的应用．正确得到程序框图的算法功能，选择合适的求和方法是解题的关键．14、【解题分析】

设出数列的首项和公差,根据等差数列通项公式和前项和公式,代入条件化简得和的关系,再代入所求的式子进行化简求值.【题目详解】解：设等差数列的首项为,公差为,由,得,得,.故答案为：【题目点拨】本题考查了等差数列通项公式和前n项和公式的简单应用,属于基础.15、【解题分析】由已知,是与的等比中项，则则，当且仅当时等号成立故答案为2【题目点拨】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．16、【解题分析】

利用长方体的体对角线是长方体外接球的直径,求出球的半径，从而可得结果.【题目详解】本题主要考查空间几何体的表面积与体积．长方体的体对角线是长方体外接球的直径,设球的半径为，则,可得，球的表面积故答案为.【题目点拨】本题主要考查长方体与球的几何性质，以及球的表面积公式，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或（2）存在，，【解题分析】

（1）先设与直线l垂直的直线方程为，再结合点到直线的距离公式求解即可；（2）先设存在，利用都有为常数及在圆上，列出等式，然后利用恒成立求解即可.【题目详解】解：（1）由直线.则可设与直线l垂直的直线方程为，又该直线与圆相切，则，则，故所求直线方程为或；（2）假设存在定点使得对于圆C上任一点P，为常数，则,所以，将代入上式化简整理得：对恒成立，所以，解得或，又，即，所以存在定点使得对于圆C上任一点P，为常数.【题目点拨】本题考查了点到直线的距离公式，重点考查了点与圆的位置关系，属中档题.18、(1)见解析；（2）【解题分析】

（1）证明，利用平面即可证得，问题得证．（2）过点作于点，过点作于点，连接.当与垂直时，与平面所成最大角，利用该最大角的正切值为即可求得，证明就是二面角的一个平面角，解即可．【题目详解】（1）因为底面为菱形，所以为等边三角形，又为中点所以，又所以因为平面，平面所以，又所以平面（2）过点作于点，过点作于点，连接当与垂直时，与平面所成最大角.由（1）得，此时.所以就是与平面所成的角.在中，由题意可得：,又所以.设，在中由等面积法得：解得：，所以因为平面，平面所以平面平面，又平面平面，，平面所以平面，又平面所以，又，所以平面，所以所以就是二面角的一个平面角因为为的中点，且所以，又所以在中，求得：,,由可得：,即：，解得：所以所以所以二面角的余弦值为【题目点拨】本题主要考查了线面垂直的证明，考查了转化能力，还考查了线面角知识，考查了二面角的平面角作法，考查空间思维能力及解三角形，考查了方程思想及计算能力，属于难题．19、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）证明和的比是定值，即得；（2）由（1）的通项公式入手，即得。【题目详解】（1）由题得，，即有，相邻两项之比为定值3，故为公比的等比数列；（2）因为为等比数列，且，则有，整理得的通项公式为.【题目点拨】本题考查等比数列的概念，以及求数列的通项公式，是基础题。20、（1）（2）当时，取最大值.【解题分析】

（1）取OE与DC､AB的交点分别为M､N，在中，分别求出，，再利用梯形的面积公式求解即可；（2）令，则，，再求最值即可.【题目详解】解：（1），OE与DC､AB的交点分别为M､N，由已知可知，在中，.，，梯形ABCD的高，则.（2）设，则，，则，，则.，当时，，此时，即，，，，故.故的最大值为，此时.【题目点拨】本题考查了三角函数的应用，重点考查了运算能力，属中档题21、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解题分析】

（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，AF∥平面PCE；（Ⅱ）由（Ⅰ）得EG∥AF，只需证明AF⊥面PDC，即可得到平面PEC⊥平面PCD．【题目详解】证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，∴FG为△CDP的中位线