四川省泸县二中2024届数学高一下期末质量跟踪监视试题含解析

四川省泸县二中2024届数学高一下期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的图象如图所示，则y的表达式为（）A． B．C． D．2．把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（）A． B．C． D．3．已知向量，，，若，则（）A．1 B．2 C．3 D．44．若a,b,c∈R，且满足a>b>c，则下列不等式成立的是（）A．1a<C．ac25．为数列的前n项和,若,则的值为()A．-7 B．-4 C．-2 D．06．向正方形ABCD内任投一点P，则“的面积大于正方形ABCD面积的”的概率是（）A． B． C． D．7．已知函数，那么下列式子：①；②；③；④；其中恒成立的是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④8．一个圆柱的底面直径与高都等于球的直径，设圆柱的侧面积为，球的表面积为，则()A． B． C． D．19．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，则球的表面积为（）A． B． C． D．10．若数列满足（，为常数）,则称数列为“调和数列”.已知数列为调和数列，且，则的最大值是（）A．50 B．100 C．150 D．200二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．________.12．等差数列，，存在正整数，使得，，若集合有4个不同元素，则的可能取值有______个.13．若直线l1：ax＋3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则a的值为________．14．已知，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则_______________.15．函数的最小正周期是____.16．正方体中，异面直线和所成角的余弦值是________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设a为实数，函数，（1）若，求不等式的解集；（2）是否存在实数a，使得函数在区间上既有最大值又有最小值？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）写出函数在R上的零点个数（不必写出过程）．18．已知数列，.(1)记，证明:是等比数列；(2)当是奇数时，证明:；(3)证明:.19．已知.（1）求；（2）求向量与的夹角的余弦值.20．设常数，函数．（1）若为偶函数，求的值；（2）若，求方程在区间上的解．21．如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点.（1）若，求三棱柱的体积；（2）证明：平面；（3）请问当为何值时，平面，试证明你的结论.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

根据图像最大值和最小值可得，根据最大值和最小值的所对应的的值，可得周期，然后由，得到，代入点，结合的范围，得到答案.【题目详解】根据图像可得，，即，根据，得，所以，代入，得，所以，，所以，又因，所以得，所以得到，故选B.【题目点拨】本题考查根据函数图像求正弦型函数的解析式，属于简单题.2、C【解题分析】

根据左右平移和周期变换原则变换即可得到结果.【题目详解】向左平移个单位得：将横坐标缩短为原来的得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查三角函数的左右平移变换和周期变换的问题，属于基础题.3、A【解题分析】

利用坐标表示出，根据垂直关系可知，解方程求得结果.【题目详解】，，解得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查向量垂直关系的坐标表示，属于基础题.4、C【解题分析】

通过反例可依次排除A,B,D选项；根据不等式的性质可判断出C正确.【题目详解】A选项：若a=1，b=-2，则1a>1B选项：若a=1，b=12，则1aC选项：c2+1>0又a>b∴ac2D选项：当c=0时，ac=bc本题正确选项：C【题目点拨】本题考查不等式性质的应用，解决此类问题通常采用排除法，利用反例来排除错误选项即可，属于基础题.5、A【解题分析】

依次求得的值，进而求得的值.【题目详解】当时，；当时，，；当时，；故.故选：A.【题目点拨】本小题主要考查根据递推关系式求数列每一项，属于基础题.6、C【解题分析】

由题意，求出满足题意的点所在区域的面积，利用面积比求概率.【题目详解】由题意，设正方形的边长为1，则正方形的面积为1，要使的面积大于正方形面积的，需要到的距离大于，即点所在区域面积为，由几何概型得，的面积大于正方形面积的的概率为.故选：C.【题目点拨】本题考查几何概型的概率求法，解题的关键是明确概率模型，属于基础题.7、A【解题分析】

根据正弦函数的周期性及对称性，逐项判断，即可得到本题答案.【题目详解】由，得，所以的最小正周期为，即，故①正确；由，令，得的对称轴为，所以是的对称轴，不是的对称轴，故②正确，③不正确；由，令，得的对称中心为，所以不是的对称中心，故④不正确.故选：A【题目点拨】本题主要考查正弦函数的周期性以及对称性.8、D【解题分析】

由圆柱的侧面积及球的表面积公式求解即可.【题目详解】解：设圆柱的底面半径为，则，则圆柱的侧面积为，球的表面积为，则，故选：D.【题目点拨】本题考查了圆柱的侧面积的求法，重点考查了球的表面积公式，属基础题.9、A【解题分析】设外接圆半径为，三棱锥外接球半径为，∵，∴，∴，∴，∴，由题意知，平面，则将三棱锥补成三棱柱可得，，∴，故选A．点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．10、B【解题分析】

根据调和数列定义知为等差数列，再由前20项的和为200知，最后根据基本不等式可求出的最大值。【题目详解】因为数列为调和数列，所以，即为等差数列又，又大于0所以【题目点拨】本题考查了新定义“调和数列”的性质、等差数列的性质及其前n项公式、基本不等式的性质，属于难题。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

直接利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可得到结果．【题目详解】．故答案为：.【题目点拨】本题考查两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．12、4【解题分析】

由题意得为周期数列，集合有4个不同元素，得，在分别对取值讨论即可.【题目详解】设等差数列的首项为，公差为，则，，由题意，存在正整数，使得，又集合有4个不同元素，得，当时，，即，，或（舍），，取，则，在单位圆上的4个等分点可取到4个不同的正弦值，即集合可取4个不同元素；当，，即，，在单位圆上的5个等分点不可能取到4个不同的正弦值，故舍去；同理可得：当，，，集合可取4个不同元素；当时，，单位圆上至少9个等分点取4个不同的正弦值，必有至少3个相等的正弦值，不符合集合的元素互异性，故不可取应舍去.故答案：4.【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，理解分析问题能力，属于难题.13、-3【解题分析】试题分析：由两直线平行可得：，经检验可知时两直线重合，所以．考点：直线平行的判定．14、5【解题分析】

试题分析：由题意得，为等差数列时，一定为等差中项，即，为等比数列时，-2为等比中项，即，所以.考点：等差，等比数列的性质15、【解题分析】

将三角函数化简为标准形式，再利用周期公式得到答案.【题目详解】由于所以【题目点拨】本题考查了三角函数的化简，周期公式，属于简单题.16、【解题分析】

由，可得异面直线和所成的角，利用直角三角形的性质可得结果.【题目详解】因为，所以异面直线和所成角，设正方体的棱长为，则直角三角形中，，，故答案为.【题目点拨】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角，先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）不存在这样的实数,理由见解析（3）见解析【解题分析】

（1）代入的值,通过讨论的范围,求出不等式的解集即可；（2）通过讨论的范围,求出函数的单调区间,再求出函数的最值,得到关于的不等式组,解出并判断即可；（3）通过讨论的范围,判断函数的零点个数即可【题目详解】（1）当时,,则当时,,解得或,故；当时,,解集为,综上,的解集为（2）,显然,,①当时,则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,因为函数在上既有最大值又有最小值,所以,,则,即,解得,故不存在这样的实数；②当时,则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,因为函数在上既有最大值又有最小值,故,,则,即,解得,故不存在这样的实数；③当时,则为上的递增函数,故函数在上不存在最大值和最小值,综上,不存在这样的实数（3）当或时,函数的零点个数为1；当或时,函数的零点个数为2；当时,函数的零点个数为3【题目点拨】本题考查分段函数的应用,考查利用函数的单调性求最值,考查函数的零点个数,着重考查分类讨论思想18、(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【解题分析】

（1）对递推关系进行变形得，从而证明是等比数列；（2）由(1)得，代入所证式子，再利用放缩法进行证明；（3）由(2)可知，对分偶数和奇数计论，放缩法和等比数列求和，即可证明结论.【题目详解】(1)∵，∴，且所以，数列是首项为，公比为3的等比数列.(2)由(1)可知当k是奇数时，(3)由(2)可知，当为偶数时，当为奇数时，所以.【题目点拨】本题考查等比数列的定义证明、等比数列前项和、不等式的放缩法证明，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意讨论的突破口.19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）根据题意求出，即可求解；（2）向量与的夹角的余弦值为：代入求值即可得解.【题目详解】（1）由题：，解得：（2）向量与的夹角的余弦值为：【题目点拨】此题考查平面向量数量积的运算，根据运算法则求解数量积和模长，求解向量夹角的余弦值.20、(1);(2)或或.【解题分析】

（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【题目详解】（1）∵，∴，∵为偶函数，∴，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，或，∴，或，∵，∴或或【题目点拨】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．21、（1）4；（2）证明见解析；（3）时，平面，证明见解析.【解题分析】

（1）直接根据三棱柱体积计算公式求解即可；（2）利用中位线证明面面平行，再根据面面平行的