2024届湖南省长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学数学高一下期末预测试题含解析

2024届湖南省长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学数学高一下期末预测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．为了了解某次数学竞赛中1000名学生的成绩,从中抽取一个容量为100的样本,则每名学生成绩入样的机会是()A． B． C． D．2．为研究需要，统计了两个变量x，y的数据·情况如下表:其中数据x1、x2、x3…xn，和数据y1、y2、y3，…yn的平均数分别为和，并且计算相关系数r＝-1.8，回归方程为，有如下几个结论：①点(，)必在回归直线上，即＝b+；②变量x，y的相关性强；③当x＝x1，则必有；④b＜1．其中正确的结论个数为A．1 B．2 C．3 D．43．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．4．直线被圆截得的劣弧与优弧的长之比是（）A． B． C． D．5．若，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．6．在空间四边形中，，，，分别是，的中点，，则异面直线与所成角的大小为（）A． B． C． D．7．若实数，满足约束条件则的取值范围为()A． B． C． D．8．若向量与向量不相等，则与一定（）A．不共线 B．长度不相等 C．不都是单位向量 D．不都是零向量9．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A． B． C． D．10．已知直线，平面，且，下列条件中能推出的是（）A． B． C． D．与相交二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设函数，则________.12．利用数学归纳法证明不等式“”的过程中，由“”变到“”时，左边增加了_____项．13．已知数列满足，，则_______；_______.14．设为实数，为不超过实数的最大整数，如，.记，则的取值范围为，现定义无穷数列如下：，当时，；当时，，若，则________.15．已知函数那么的值为．16．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.18．如图，是平行四边形，平面，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19．已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直.（1）求直线的方程；（2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程.20．设有关于的一元二次方程．（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．21．已知函数(1)求的最值、单调递减区间；（2）先把的图象向左平移个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

因为随机抽样是等可能抽样，每名学生成绩被抽到的机会相等,都是.故选A.2、C【解题分析】

根据回归方程的性质和相关系数的性质求解.【题目详解】回归直线经过样本中心点，故①正确；变量的相关系数的绝对值越接近与1，则两个变量的相关性越强，故②正确；根据回归方程的性质，当时，不一定有，故③错误；由相关系数知负相关，所以，故④正确；故选C.【题目点拨】本题考查回归直线和相关系数，注意根据回归方程得出的是估计值不是准确值.3、B【解题分析】由题意不妨令棱长为，如图在底面内的射影为的中心，故由勾股定理得过作平面，则为与底面所成角，且如图作于中点与底面所成角的正弦值故答案选点睛：本题考查直线与平面所成的角，要先过点作垂线构造出线面角，然后计算出各边长度，在直角三角形中解三角形．4、A【解题分析】

计算出圆心到直线的距离，根据垂径定理，结合锐角三角函数关系，可以求出劣弧所对的圆心角的度数，根据弧度制的定义，这样就可以求出劣弧与优弧的长之比.【题目详解】圆心O到直线的距离为：，直线被圆截得的弦为AB,弦AB所对的圆心角为，弦AB的中点为C，由垂径定理可知：，所以，劣弧与优弧的长之比为：，故本题选A.【题目点拨】本题考查了圆的垂径定理、点到直线距离公式、弧长公式，考查了数学运算能力.5、D【解题分析】

取特殊值检验，利用排除法得答案。【题目详解】因为，则当时，故A错；当时，故B错；当时，，故C错；因为且，所以故选D.【题目点拨】本题考查不等式的基本性质，属于简单题。6、D【解题分析】

平移两条异面直线到相交，根据余弦定理求解.【题目详解】如图所示：设的中点为，连接，所以，则是所成的角或其补角，又根据余弦定理得：，所以，异面直线与所成角的为，故选D.【题目点拨】本题考查异面直线所成的角和余弦定理.注意异面直线所成的角的取值范围是.7、A【解题分析】

的几何意义为点与点所在直线的斜率，根据不等式表示的可行域，可得出取值范围.【题目详解】的几何意义为点与点所在直线的斜率．画出如图的可行域，当直线经过点时，；当直线经过点时，．的取值范围为,故选A.【题目点拨】本题考查了不等式表示的可行域的画法，以及目标函数为分式时求取值范围的方法.8、D【解题分析】

由方向相同且模相等的向量为相等向量，再逐一判断即可得解.【题目详解】解：向量与向量不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即选项A、B、C错误，D正确.故选：D.【题目点拨】本题考查了相等向量的定义，属基础题.9、C【解题分析】选取两支彩笔的方法有种，含有红色彩笔的选法为种，由古典概型公式，满足题意的概率值为.本题选择C选项.考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.10、C【解题分析】

根据线面垂直的性质，逐项判断即可得出结果.【题目详解】A中，若，由，可得；故A不满足题意；B中，若，由，可得；故B不满足题意；C中，若，由，可得；故C正确；D中，若与相交，由，可得异面或平，故D不满足题意.故选C【题目点拨】本题主要考查线面垂直的性质，熟记线面垂直的性质定理即可，属于常考题型.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

利用反三角函数的定义，解方程即可．【题目详解】因为函数，由反三角函数的定义，解方程，得，所以.故答案为：【题目点拨】本题考查了反三角函数的定义，属于基础题．12、.【解题分析】

分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到时，不等式左边的表示式是解答该题的突破口，当时，左边，由此将其对时的式子进行对比，得到结果.【题目详解】当时，左边，当时，左边，观察可知，增加的项数是，故答案是.【题目点拨】该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果.13、【解题分析】

令代入可求得；方程两边取倒数，构造出等差数列，即可得答案.【题目详解】令，则；∵，∴数列为等差数列，∴，∴.故答案为：；.【题目点拨】本题考查数列的递推关系求通项，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意两边取倒数，构造新等差数列的方法.14、【解题分析】

根据已知条件，计算数列的前几项，观察得出无穷数列呈周期性变化，即可求出的值。【题目详解】当时，，，，，……，无穷数列周期性变化，周期为2，所以。【题目点拨】本题主要考查学生的数学抽象能力，通过取整函数得到数列，观察数列的特征，求数列中的某项值。15、【解题分析】试题分析：因为函数所以==．考点：本题主要考查分段函数的概念，计算三角函数值．点评：基础题，理解分段函数的概念，代入计算．16、【解题分析】试题分析：∵从7人中选2人共有C72=21种选法，从4个男生中选2人共有C42=6种选法∴没有女生的概率是=，∴至少有1名女生当选的概率1-=．考点：本题主要考查古典概型及其概率计算公式．点评：在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）见解析【解题分析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得平面，则，再由AB⊥AD及线面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC．试题解析：证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以.又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.（2）因为平面ABD⊥平面BCD，平面平面BCD=BD，平面BCD，，所以平面.因为平面，所以.又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因为AC平面ABC，所以AD⊥AC.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．18、（1）见解析；（2）.【解题分析】

（1）证明平面平面，然后利用平面与平面平行的性质得出平面；（2）作于点，连接，证明出平面，可得出直线与平面所成的角为，并计算出三边边长，并利用锐角三角函数计算出的正弦值，即可得出答案.【题目详解】（1）证明：，平面，平面，平面.同理可证平面.，平面平面.平面，平面；（2）作于点，连接，平面，平面，.又，，平面.则为与平面所成角，在中，，，，，，，，，，因此，直线与平面所成角的正弦值为.【题目点拨】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了直线与平面所成角的计算，在计算空间角时要遵循“一作、二证、三计算”的原则来求解，考查逻辑推理能力，属于中等题.19、（1）；（2）.【解题分析】试题分析：（1）求出两直线交点，直线的斜率，即可求直线的方程；（2）利用待定系数法求圆的标准方程.试题解析：（1）由已知得:,解得两直线交点为，设直线的斜率为∵与垂直∴∵过点∴的方程为，即（2）设圆的半径为，依题意，圆心到直线的距离为，则由垂径定理得∴∴圆的标准方程为.20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】

（1）本题是一个古典概型，可知基本事件共12个，方程当时有实根的充要条件为，满足条件的事件中包含9个基本事件，由古典概型公式得到事件发生的概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部约束所构成的区域为，．构成事件的区域为，，．根据几何概型公式得到结果．【题目详解】解：设事件为“方程有实数根”．当时，方程有实数根的充要条件为．（Ⅰ）基本事件共12个：．其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．（Ⅱ）实验的全部结果所构成的区域为．构成事件的区域为，所求的概率为【题目点拨】本