福建省莆田九中2024届高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

福建省莆田九中2024届高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在等差数列中，，则等于()A．5 B．6 C．7 D．82．已知直三棱柱的所有顶点都在球0的表面上,,,则=()A．1 B．2 C． D．43．如图，已知四面体为正四面体，分别是中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（）.A． B． C． D．4．一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积为（）A． B． C． D．5．已知直线，，则与之间的距离为（）A． B． C．7 D．6．已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（）A． B． C． D．7．如图，已知矩形中，，，该矩形所在的平面内一点满足，记，，，则（）A．存在点，使得 B．存在点，使得C．对任意的点，有 D．对任意的点，有8．计算的值为（）A． B． C． D．9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则B为（）A． B．或 C． D．或10．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则角_______.12．已知函数，该函数零点的个数为_____________13．已知不等式的解集为，则________.14．若圆与圆的公共弦长为，则________.15．数列中，若，，则______；16．已知某中学高三学生共有800人参加了数学与英语水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人的成绩进行统计，先将800人按001，002，…，800进行编号．如果从第8行第7列的数开始从左向右读，（下面是随机数表的第7行至第9行）844217533157245506887704744767217633502683925316591692753562982150717512867363015807443913263321134278641607825207443815则最先抽取的2个人的编号依次为_____．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．2016年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017年起，在今后的若干年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长．记2016年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为该项目赢利．（1）试求的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．18．如图，在中，，点在边上，（1）求的度数；（2）求的长度.19．的内角、、的对边分别为、、,且．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，且边上的中线的长为,求边的值．20．（2012年苏州17）如图，在中，已知为线段上的一点，且．（1）若，求的值；（2）若，且，求的最大值．21．已知不等式的解集为或.（1）求实数a，b的值；（2）解不等式.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

由数列为等差数列，当时，有，代入求解即可.【题目详解】解：因为数列为等差数列，又，则，又，则，故选：C.【题目点拨】本题考查了等差数列的性质，属基础题.2、B【解题分析】

由题得在底面的投影为的外心，故为的中点，再利用数量积计算得解.【题目详解】依题意，在底面的投影为的外心，因为，故为的中点，，故选B．【题目点拨】本题主要考查平面向量的运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.3、A【解题分析】

通过补体，在正方体内利用截面为平行四边形,有，进而利用基本不等式可得解.【题目详解】补成正方体，如图.∴截面为平行四边形,可得，又且可得当且仅当时取等号，选A.【题目点拨】本题主要考查了线面的位置关系，截面问题，考查了空间想象力及基本不等式的应用，属于难题.4、A【解题分析】

数形结合，还原出该几何体的直观图，计算出各面的面积，可得结果.【题目详解】如图为等腰直角三角形，平面根据三视图，可知点到的距离为点到的距离为所以，故该棱锥的全面积为故选：A【题目点拨】本题考查三视图还原，并求表面积，难点在于还原几何体，对于一些常见的几何体要熟悉其三视图，对解题有很大帮助，属中档题.5、D【解题分析】

化简的方程，再根据两平行直线的距离公式，求得两条平行直线间的距离.【题目详解】，由于平行，故有两条平行直线间的距离公式得距离为，故选D.【题目点拨】本小题主要考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题.6、D【解题分析】

根据两个球的表面积之比求出半径之比，利用半径之比求出球的体积比.【题目详解】由题知，则.故选：D.【题目点拨】本题主要考查了球体的表面积公式和体积公式，属于基础题.7、C【解题分析】以为原点，以所在直线为轴、轴建立坐标系，则，，且在矩形内，可设，，，，，，错误，正确，，，错误，错误，故选C.【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积公式的坐标表示，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是几何形式，，二是坐标形式，（求最值问题与求范围问题往往运用坐标形式），主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.8、D【解题分析】

直接由二倍角的余弦公式，即可得解.【题目详解】由二倍角公式得：，故选D.【题目点拨】本题考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.9、C【解题分析】

根据正弦定理得到，再根据知，得到答案.【题目详解】根据正弦定理：，即，根据知，故.故选：.【题目点拨】本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.10、A【解题分析】，，，故选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据三角形面积公式和余弦定理可得，从而求得；由角的范围可确定角的取值.【题目详解】故答案为：【题目点拨】本题考查余弦定理和三角形面积公式的应用问题，关键是能够配凑出符合余弦定理的形式，进而得到所求角的三角函数值.12、3【解题分析】

令，可得或；当时，可解得为函数一个零点；当时，可知，根据的范围可求得零点；综合两种情况可得零点总个数.【题目详解】令，可得：或当时，或（舍）为函数的一个零点当时，，，为函数的零点综上所述，该函数的零点个数为：个本题正确结果：【题目点拨】本题考查函数零点个数的求解，关键是能够将问题转化为方程根的个数的求解，涉及到余弦函数零点的求解.13、-7【解题分析】

结合一元二次不等式和一元二次方程的性质，列出方程组，求得的值，即可得到答案.【题目详解】由不等式的解集为，可得，解得，所以.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的性质，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14、【解题分析】将两个方程两边相减可得，即代入可得，则公共弦长为，所以，解之得，应填．15、【解题分析】

先分组求和得，再根据极限定义得结果.【题目详解】因为，，……，，所以则.【题目点拨】本题考查分组求和法、等比数列求和、以及数列极限，考查基本求解能力.16、165；535【解题分析】

按照题设要求读取随机数表得到结果，注意不符合要求的数据要舍去.【题目详解】读取的第一个数：满足；读取的第二个数：不满足；读取的第三个数：不满足；读取的第三个数：满足.【题目点拨】随机数表的读取规则：从指定位置开始，按照指定位数读取，一次读取一组，若读取的数不符合规定（不在范围之内），则舍去，重新读取.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；（2）.【解题分析】试题分析：（1）由题意知，第一年至此后第年的累计投入为（千万元），第年至此后第年的累计净收入为，利用等比数列数列的求和公式可得；（2）由，利用指数函数的单调性即可得出.试题解析：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣2]，∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜1，故当n≤2时，f（n）递减；当n≥2时，f（n+1）﹣f（n）＞1，故当n≥2时，f（n）递增．又f（1）=﹣＜1，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜1，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞1．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2123年开始并持续赢利；方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，令f'（x）=1，得=≈=5，∴x≈2．从而当x∈[1，2）时，f'（x）＜1，f（x）递减；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞1，f（x）递增．又f（1）=﹣＜1，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜1，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞1．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2123年开始并持续赢利．18、（1）（2）【解题分析】

（1）中直接由余弦定理可得，然后得到的度数；（2）由（1）知，在中，由正弦定理可直接得到的值．【题目详解】解：（1）在中，，，由余弦定理，有，在中，；（2）由（1）知，在中，由正弦定理，有，．【题目点拨】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解题分析】

（Ⅰ）利用正弦定理和三角恒等变换的公式化简即得；（Ⅱ）设，则，，由余弦定理得关于x的方程，解方程即得解.【题目详解】（Ⅰ）由题意，∴，∴，则，∵，∴，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又∵，∴，设，则，，在中，由余弦定理得：，即，解得，即．【题目点拨】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20、（1）；（2）．【解题分析】试题分析：(1)利用平面向量基本定理可得．(2)利用题意可得，则的最大值为．试题解析：（1）