2021考研数学一考试历年真题及答案详解

2021考研数学一考试历年真题及答案详解一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上)C.可导且导数为0D.可导且导数不为0【答案】D【解析】2.设函数f(x,y)可微，且f(x+1,ex)=x(x+1)2,f(xC【考点】【解析】记af/3y=f2’,则题给两式对x求导得将将分别代入(1)(2)式有f2′(1,1)=1,df(1,1)=f1′(联立可得f1'(1,1)=0,(1,1)dy=dy,故选3.设函数在x=0处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3,则C.a=-1,b=-1,c=-7/6【答案】A【考点】【解析】根据麦克劳林公式有与题给多项式相比较，得a=1,b=0,c=-7/6,故选A项。4.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，则【答案】B【考点】【解析】由定积分的定义知，将(0,1)分成n份，取中间点的函数值，则故选B项。5.二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2的正惯性指数和负惯性指数依次为()。【答案】B【考点】【解析】f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2所以故特征多项式为令上式等于0,得特征值为-1,3,0,故该二次型的正惯性指数为1,负惯性指数为1,选B项。Cα3-11β1-12β2,若β1,β2,β3两两正交，则11,12依次为()。【答案】A【考点】斯密特正交化；【解析】利用斯密特正交化方法知β1=α1,故故选A项。7.设A,B为n阶实矩阵，下列不成立的是()。【答案】【考点】【解析】性表示，故一定能由A的列线性表示；D项，BA的行向量可由A的行线性表示故本题选C项。8.设A,B为随机事件，且0<P(B)<1,下列命题中不成立的是()。【答案】D【考点】【解析】由条件概率公式以及和事件的运算公式得因为P(A|AUB)>P(A|AUB),故有P(A)>P(B)-P(AB是来自总体N(μ1,A.0是0的无偏估计，B.θ不是0的无偏估计，C.0是θ的无偏估计，D.θ不是0的无偏估计，【答案】C【考点】【解析】因为X,Y是二维正态分布，所以X与Y也服从二维正态分布，则X-Y也服从二维正态分布，即E(θ)=E(X-P)=E(X)-E(Y)=L₁-μ₂=θ又由方差公式得D(Ô)=D(X-F)=D(X)+D(F)-故选C项。是来自总体N(μ,4)的简单随机样本，考虑假设检μ>10,φ(x)表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W{X≥11},其中二类错误的概率为()。,则μ=11.5时，该检验犯第【答案】B犯第二类错误的概率：【解析】故故二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案写在答题纸指定位置上)【答案】【考点】定积分的计算；【解析】2.设参数y=y(x)由参数方程确定，则【答案】【考点】【解析】3.微分方程x2y+xy′-4y=0满足条件y(1)=1,y′(1)=2,得解为y【答案】【考点】【解析】令x=et,则原方程化为,特征方程为λ2-4=0,特征根为λ1=2,λ2=-2,则通解为y=Cle2t+C2e-2t=C1x2+C2x-2,y′=2C1x-2C2x-3,将初始条件y(1)=1,y′(1)=2代入得C1=1,C2=0,故满足初始条件的解为y=x2。4.设之为空间区域表面的外侧，则曲面表面的外侧，则曲面【答案】【考点】【解析】5.设A=aij为3阶矩阵，Aij为代数余子式，若A的每行元素之和均为2,且根据协方差的定义式计算得Cov根据协方差的定义式计算得Cov(X,Y)=E(XY)【答案】【考点】【解析】由于A的每行元素之和均为2,所以AX=2X,其中X=(1,1,1)T,因此λ=2为A的特征值，属于此特征值的特征向量为α=(1,1,1)T。Aa=2a→A*Aa值且对应的特征向量为α=(1,1,1)T,因此6.甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球。令X,Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数为。【答案】【考点】二维离散随机变量的相关系数；【解析】X,Y的联合分布律为PX01PY01P又DX=1/4,DY=1/4,由三、解答题(本题共6小题，共70分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1.(本题满分10分)求极限【答案】又因为将上式代入得【考点】利用泰勒展开式求极限；2.(本题满分12分)设【答案】,求级数的收敛域及,因此收敛半径R=1/p=1,收敛域为[-1,1]。综上级数的收敛域为(0,1),将S(x)分成两部分讨论，综上，将两式求和可得【考点】级数的收敛域以及和函数；3.(本题满分12分)已知曲线C:,求C上的点到xoy坐标面距离的最大值。【答案】构建拉格朗日函数L(x,y,z,λ,μ)=z²+λ(x²+2y²-z-6)+μ(4x求【考点】拉格朗日乘数法求条件极值；4.(本题满分12分)设DCR2是有界连通闭区域，分区域记为D1,取得最大值的积【答案】(1)由二重积分的几何意义知，当且仅当4-x2-y2在D上大于0时，I(D)达到最大，故D1:x2+y2≤4,则【考点】5.(本题满分12分)(1)求正交矩阵P,使得PTAP为对角矩阵；(2)求正交矩阵C,使得C2=(a+3)E-A。【答案】当λ1=a+2时，当λ2=λ3=a-1得的特征向量为的特征向量为令故【考点】正交矩阵及相似对角化；6.(本题满分12分)在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X,较长的一段长度记为Y,令Z=Y/X【答案】(1