线性代数-中国铁道出版社

十四五普通高等院校公共课程类系列教材

“”

线性代数

黄顺发华颖唐莉主编

◎

李珍真蔡永副主编

◎

内容简介

本书遵循普通高等学校基础理论教学以应用为目的以必需够用为度的原

“,”

则结合编者多年讲授线性代数课程的教学经验精心编写而成

,,。

全书共七章内容包括行列式矩阵向量及向量空间线性方程组特征值

,、、、、

与特征向量二次型线性空间与线性变换

、、。

本书适合作为普通高等学校各专业线性代数课程的教材

。

图书在版编目CIP数据

()

线性代数黄顺发华颖唐莉主编北京中国铁道出版社

/,,.—:

有限公司

,2022.9

十四五普通高等院校公共课程类系列教材

“”

ISBN978-7-113-29491-5

线黄华唐线性代数高等

Ⅰ.①…Ⅱ.①…②…③…Ⅲ.①-

学校教材

-Ⅳ.①O151.2

中国版本图书馆数据核字第号

CIP(2022)136261

书名:线性代数

作者:黄顺发华颖唐莉

策划:潘星泉编辑部电话:

(010)51873090

责任编辑:潘星泉徐盼欣

封面设计:高博越

责任校对:孙玫

责任印制:樊启鹏

出版发行:中国铁道出版社有限公司北京市西城区右安门西街号

(100054,8)

网址:

/51eds/

印刷:三河市兴达印务有限公司

版次:年月第版年月第次印刷

202291202291

开本:印张:字数:千

710mm×1000mm1/1610.75204

书号:

ISBN978-7-113-29491-5

定价:元

30.00

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,,。:(010)63550836

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:(010)63549461

前言

线性代数是普通高等院校各专业的一门重要的数学基础课程,在自

然科学、工程技术和经济管理等诸多领域有着广泛的应用。本书基于编

者多年从事线性代数课程教学体会而精心编写。在编写过程中,遵循

“强基础,重应用”的原则,在保证数学科学性的基础上,减少了复杂的理

论求证,注重培养学生的基本运算能力和解决实际应用问题能力,力求

在有限的教学学时内拓展学生的知识面。

本书语言叙述自然简洁,理论证明严密流畅,例题选择通用经典。

每章附有小结,对本章介绍的主要内容进行了归纳和总结,便于读者自

学;每章附有习题,便于读者巩固基本知识和必要的基本运算技能,提升

运用数学方法分析问题和解决问题的能力。通过对本书的学习,学生可

以提高数学素养和创新意识,从而为学习后续课程打下必要的数学

基础。

本书由黄顺发、华颖、唐莉任主编,由李珍真、蔡永任副主编。具体

编写分工如下:第、章由黄顺发编写,第、章由唐莉编写,第、章

123456

由华颖编写,第章由李珍真编写,各章习题由蔡永编写,全书由黄顺发

7

统稿定稿。

由于编者水平有限,书中不妥及疏漏之处在所难免,敬请广大读者

批评指正。

编者

年月

20225

目录

第1章行列式………………………

1

排列及其逆序数…………

1.11

二阶行列式与三阶行列式………………

1.23

n阶行列式的定义………

1.36

行列式的性质……………

1.410

行列式按行列展开……………………

1.5()15

克拉默法则………………

1.621

小结……………

24

习题…………

125

第2章矩阵………………………

30

矩阵的概念………………

2.130

矩阵的运算………………

2.233

逆矩阵……………………

2.339

矩阵的分块………………

2.443

矩阵的初等变换及初等矩阵……………

2.548

矩阵的秩…………………

2.655

小结……………

58

习题…………

260

第3章向量及向量空间…………

64

向量组及其线性组合……………………

3.164

向量组的线性相关性……………………

3.266

向量组的秩………………

3.372

向量空间…………………

3.474

小结……………

77

习题…………

378

第4章线性方程组………………

80

消元法……………………

4.180

线性代数

·Ⅱ·

线性方程组有解的判别定理……………

4.283

线性方程组的解的结构…………………

4.387

小结……………

100

习题…………

4101

第5章特征值与特征向量………

105

方阵的特征值和特征向量……………

5.1105

向量的内积……………

5.2112

相似矩阵与矩阵的对角化……………

5.3116

实对称矩阵的相似对角形……………

5.4120

小结……………

126

习题…………

5128

第6章二次型……………………

131

二次型及其矩阵表示…………………

6.1131

化二次型为标准型……………………

6.2133

正定二次型……………

6.3142

小结……………

146

习题…………

6148

第7章线性空间与线性变换……………………

150

线性空间的定义与性质………………

7.1150

维数基与坐标…………

7.2、153

基变换与坐标变换……………………

7.3155

线性变换………………

7.4157

线性变换的矩阵表示式………………

7.5160

小结……………

164

习题…………

7165

参考文献……………

166

第1章

行列式

行列式是线性代数中最基本的概念之一也是线性代数主要研究对象方

,———

阵的重要数值特征它是伴随着线性方程组的求解而逐步发展起来的本章主要

..

介绍行列式的定义行列式的性质行列式的计算以及克拉默法则

、、.

1.1排列及其逆序数

为了定义n阶行列式首先引入排列和逆序数的概念

,.

定义1由n个整数n组成的一个有序数组iiin称为一个n

1,2,…,1,2,…,

元全排列简称全排列其中ikkn为整数n中的某一个数且互

().,(1≤≤)1,2,…,,

不相同k称为数ik的下标表示该数在n元全排列iiin中的第k个位置上

;,1,2,…,.

例如由这两个数组成的二元全排列为和二元全排列的总数共有

,1,21221,

个有序数组是个三元全排列三元全排列的总数共有个

2!=2();312,3!=6();

为四元全排列四元排列的总数共有个n级排列的总数是nn

3412,4!=24();(-

nn记为n读为n阶乘

1)(-2)…3·2·1=!,!,.

显然n也是一个n级排列这个排列具有自然顺序就是按自然数

,12…,,1,

n递增的顺序排起来的自然数n的其他排列都破坏了自然顺序

2,…,,1,2,…,.

接下来给出逆序及逆序数的概念

.

定义2在一个排列iiilimin中任取两个数ilim称为数

1,2,…,,…,,…,,<,>(

对若ilim那么称它们构成一个逆序反序一个排列中逆序的总数称为这个

),>,().

排列的逆序数

.

一个排列iiin的逆序数一般记为τiiin

12…,(1,2,…,).

在n级排列n中没有逆序规定τn

1,2,…,,(12…)=0.

例如排列的逆序数为排列的逆序数为排列中均排

,120;211;3421,3,4,2

在的前面均排在的前面共有个逆序所以τ

1,3,42,5,(3421)=5.

定义3一个排列中逆序数为偶数的排列称为偶排列逆序数为奇数的排列

;

称为奇排列

.

例如二元排列为偶排列为奇排列四元排列为奇排列n

,12,21;3421,123…

2线性代数

··

为偶排列

.

例计算以下各排列的逆序数并指出它们的奇偶性

,.

nn

(1)6742531;(2)135…(2-1)246…(2).

解对于所给排列排在首位逆序数为的前面有个比它大的数

(1),6,0;70,

逆序数为的前面有个比它大的数逆序数为的前面有个比它大的数

0;42,2;23,

逆序数为的前面有个比它大的数逆序数为的前面有个比它大的数

3;52,2;34,

逆序数为的前面有个比它大的数逆序数为把这些数加起来即

4;16,6.,

++++++=

002324617,

故排列的逆序数为即τ因而是奇排列

674253117,(6742531)=17,.

同理可得

(2)

nn+

τn-n=+n-+n-+++=(1)

[135…(21)246…(2)]0(1)(2)…21.

2

所给排列当nk或k时为偶排列当nk或k时为奇排列

=44+3,=4+14+2.

定义4在一个排列中将某两个数对调其余的数不动这种对排列的变换

,,,

称为对换将相邻两数对换称为相邻对换邻换

,,().

定理1一个排列中的任意两个数对换改变排列的奇偶性

,.

证先证相邻对换的情形

.

设排列为ppipipipipn对换pi与pi排列变为ppipi

1…-1+1+2…,+1,1…-1+1

pipipn显然仅pi与pi两数的逆序数改变当pipi时经对换后pipi

+2…,+1:<+1,,+1

是逆序新排列的逆序数增加当pipi时pipi不是逆序新排列的逆序数

,1;>+1,+1,

减少所以排列ppipipipipn与排列ppipipipipn的逆序

1,1…-1+1+2…1…-1+1+2…

数相差奇偶性改变

1,.

下证一般对换的情形

.

设排列为ppipipipimpimpimpn对换pi与pim把pi往

1…-1+1…+++1++2…,++1,

后连续作m次相邻对换排列变为ppipipimpipimpimpn再把

,1…-1+1…+++1++2…,

pim往前连续作m次相邻对换排列变为ppipimpipimpipim

++1+1,1…-1++1+1…+++2…

pn从而实现了pi与pim的对换它是经m次相邻对换而成排列也就改变

,++1,2+1,

了m次奇偶性所以两个排列的奇偶性相反

2+1,.

由于数的乘法是可交换的所以行列式各项中的元素的顺序也可任意交换

,.

例如四阶行列式中乘积aaaa可以写成aaaa一般n阶行列式中乘

,1122334422114433.

积可以写成其中与都是级

ajajanjnapqapqapnqnpppnqqqnn

1122…1122…,12…12…

排列

.

n

定理2在全部nn元排列集合中奇偶排列数各占一半即各为!个

(≥2),,.

2

第1章行列式3

··

证n个整数n组成的全部排列为n设奇排列数为t个偶排列数为s

1,2,…,!,,

个对这t个奇排列施得同一个对换ij那么由定理可以得到t个偶排列由于

,(,),1.

对这t个偶排列施得同样的对换i又回到了原来的t个奇排列所以这个偶排列

(,j),,

各不相等但一共只有s个偶排列所以ts同样可得到st故ts

,,≤,≤.=.

推论任意一个排列都可以经过一定次数的对换变成自然排列且奇排列变

,

成自然排列的对换次数为奇数偶排列变成自然排列的对换次数为偶数

,.

1.2二阶行列式与三阶行列式

本节主要介绍二阶行列式三阶行列式的定义以及计算二阶行列式三阶行列

、、

式的对角线法则

.

1.2.1二阶行列式

利用消元法解二元一次线性方程组

ax+ax=b.

1111221(11)

ax+ax=b,.

2112222(12)

.a.a消去x得

(11)×22-(12)×122,

aa-aax=ba-ba

(11221221)1122212,

.a.a消去x得

(12)×11-(11)×211,

aa-aax=ba-ba

(11221221)2211121.

若aaaa即两方程的未知数系数成比例则方程组表示两条平行

1122-1221=0,,

或重合的直线此时方程组无解或有无限多个解

,;

若aaaa时则方程组的解为

1122-1221≠0,

ba-baba-ba

x=122212x=211121.

1aaaa,2aaaa

1122-12211122-1221

注意到此时方程组的解由它的系数和常数项所完全决定并且解的分子分

,,、

aa

母具有一定的规律为了便于记忆引入符号D1112aaaa

.,,=aa=1122-1221.

2122

aa

1112

定义1由四个数aijij排成两行两列的符号称为二阶行

(,=1,2)aa

2122

列式它表示代数和aaaa即

,1122-1221,

aa

1112=aa-aa

aa11221221.

2122

式中aijij称为二阶行列式中位于第i行第j列的元素i称为行坐标j

,(,=1,2);,

称为列坐标将a到a的实连线称为主对角线主对角线上的元素称为主对角

;1122,

元将a到a的连线称为副对角线二阶行列式等于主对角线上两元素之积减

;1221.

4线性代数

··

去副对角线上两元素之积这称为二阶行列式的对角线法则

,

→.

aa

1112=aa-aa

a→a11221221.

2122

利用二阶行列式的定义若记

,

ba

D=112=ba-ba

1ba122211,

222

ab

D=111=ba-ba

2ab211121,

212

则二元一次线性方程组的解可表示为

DD

x=1x=2

1D,2D.

aa

式中分母D1112称为二元一次线性方程组的系数行列式可以注意到

,=aa.,

2122

二元线性方程组的解xx的分母由系数行列式构成而分子DD由常数项分

1,2,1,2

别替换系数行列式的一二列构成

、.

k

例1设D1问当k为何值时D

=k3,=0.

4

解由行列式的定义得Dkk3kk2解得k或kk

,=4-=(4-)=0,=0,=2,=-2.

例2解二元一次线性方程组

xx

1+2=

37.

x-x=

2123

解因为

D=31=-

-5,

21

D=71=-

1-10,

31

D=37=-

25,

23

DD

所以x1-10x2-5

1=D==2,2=D==1.

-5-5

1.2.2三阶行列式

可以类似讨论三元一次线性方程组的求解

.

ઁ

ઁax+ax+ax=b

஠1111221331

ઁ

ઁax+ax+ax=b

஡2112222332.

ax+ax+ax=b

஢3113223333

第1章行列式5

··

从方程组的前两个方程消去x后两个方程也消去x再从所得到的两个方

3,3,

程中消去x就得到

2,

aaa+aaa+aaa-aaa-aaa-aaax

(112233122331132132132231122133112332)1

=baa+baa+baa-baa-baa-baa

122332133231223123322123331322.

注意到上式中x的系数是由三元一次线性方程组中未知数的个系数aiji

19(,

j按照一定的规律组成由此给出以下定义

=1,2,3),.

定义2由个数aijij排成三行三列的式子或符号

9(,=1,2,3)

aaa

111213

aaa称为三阶行列式它表示代数和aaaaaaaaa

212223,112233+122331+132132-

aaa

313233

aaaaaaaaa即

132231-122133-112332,

aaa

111213

aaa=aaa+aaa+aaa-aaa-aaa-aaa

212223112233122331132132132231122133112332.

aaa

313233

三阶行列式也可用对角线法则记忆如图所示

,1.1.

图

1.1

即平行于主对角线图中实线连接的三个元素乘积是代数和的正项

(1.1),

平行于副对角线图中虚线连接的三个元素乘积是代数和的负项又称沙

(1.1)(

路法则

).

aaa

111213

根据三阶行列式的定义当aaa时引入

,212223≠0,

aaa

313233

aaabaa

11121311213

D=aaaD=baa

212223,122223,

aaabaa

31323333233

abaaab

1111311121

D=abaD=aab

221223,321222,

abaaab

3133331323

6线性代数

··

则三元一次线性方程组的解可表示为

DDD

x=1x=2x=3

1D,2D,3D,

aaa

111213

式中分母Daaa称为三元一次线性方程组的系数行列式