现代控制理论第4章2

4.3.3线性系统与非线性系统的稳定性分析

线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含义完全不同。在线性定常系统中，假设平衡状态是局部渐近稳定的，那么它是大范围渐近稳定的。然而在非线性系统中，不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定的。对于非线性系统的分析，基于Lyapunov第一法的分析方法永远不够，基于Lyapunov第二法的方法非线性系统的分析方法——克拉索夫斯基法、Schultz-Gibson变量梯度法、鲁里叶(Lure’)法以及波波夫法等。编辑ppt下面主要讨论非线性系统稳定性分析的两种方法

1、克拉索夫斯基法2、变量梯度法定理4.7非线性系统方程为已知系统平衡状态为坐标原点xe=0，即f(xe)=0,且f(x

)对xi处是可微的，系统的雅可比矩阵为编辑ppt那么系统在xe=0处是渐近稳定的充分条件是：以下矩阵在所有x下都是负定的，而且是一个李亚普诺夫〔Lyapunov〕函数。对任意n维状态向量x，有对任意n维状态向量x，有标量标量编辑ppt编辑ppt编辑ppt例：设系统的状态方程为试用克拉索夫基法确定系统在平衡状态的

xe=0稳定性.解：编辑ppt由塞尔维斯特准那么有编辑ppt关于定理的几点说明：（1）该定理对非线性系统的一个平衡状态只给出了稳定的充分条件，若不是负定的，则不能给出任何结论。（2）使为负定的必要条件是，F(x)主对角线上的所有元素不为零，即：编辑ppt〔3〕线性系统是非线性系统的特例，该定理也适应于线性定常系统。若A为非奇异，则当为负定时，系统的平衡状态稳定。(4)克拉索夫斯基方法主要适用于针对可线性化表示的函数，即〔a〕非线性特性可用解析表达式表示的单值函数；（b）非线性函数对是可微的；（c）编辑ppt变量梯度法1〕梯度的概念一个多元函数v(x1,x2,…,xn)存在对n个变量xi的偏导数。在控制问题中，偏导数是指n维空间中的运动质点运动到达某一位置时沿各个坐标方向的变化率。把反映运动质点沿各个坐标方向的变化率的各偏导数作为分量，构成一个n维向量，称该向量为函数v(x1,x2,…,xn)的梯度。习惯上用符号“V〞表示。编辑ppt2〕向量的曲线积分

变力做功问题：变力F沿着给定路径L所做的功可用曲线积分来计算。积分的结果与积分路径的选择无关。编辑ppt3〕旋度方程如果一个向量的曲线积分与积分路径选择无关，那么向量的旋度必为零。由向量的旋度为零可得出由所组成的雅可比矩阵必为对称矩阵。编辑ppt4〕变量梯度法求李氏函数式中为维状态向量，是变量,,…,和t的n维向量函数。设非线性系统方程为设系统的平衡状态是状态空间的原点，即xe=0,假设要寻找的李氏函数为v(x)=v(x1,x2,…,xn)编辑ppt李氏函数的求取变成求一个适宜的梯度向量V。求取V利用了以下两个条件：1）由于

V是一个向量，则n维广义旋度为0，故

V必须满足以下旋度方程：2）由

V计算出来的v

(x)和必须满足李氏函数稳定性的要求。编辑ppt总结上述分析，如果非线性系统的平衡状态xe是渐近稳定，变量梯度法确定李氏函数的步骤概括如下：1〕假定V是一个任意列向量，即：式中：aij(i,j=1,2,…,n)为待定系数,可以是常数，也可以是时间t的函数或状态变量的函数，通常aij选为常数或t的函数。2）由V写出，即：编辑ppt3）限定是负定的或至少是负半定的，并用n(n-1)/2个旋度方程确定待定系数aij。4）将得出的重新校验负定性，因为旋度方程确定系数可能会使它改变。5）由

V的线积分求出，积分路径按式（4-44）给出。6〕确定在平衡点处的渐近稳定性范围。注意：用这种方法不能构造出一个适宜的李氏函数时，并不意味着平衡状态是不稳定的。编辑ppt例：设非线性系统方程为利用变量梯度法构造李氏函数，并分析系统的稳定性。解：〔1〕假定v(x)的梯度为（2）写出

的形式编辑ppt编辑ppt〔4〕求出李氏函数满足旋度方程条件，于是有可见，李氏函数是正定的。编辑ppt式中P为正定Hermite矩阵（如果是实向量，且A是实矩阵，则P可取为正定的实对称矩阵）。对于式(4.3)的系统，选取如下二次型Lyapunov函数，即4.4线性定常系统的Lyapunov稳定性分析假设A为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态，其平衡状态的稳定性很容易通Lyapunov第二法进行研究。考虑如下线性定常自治系统(4.3)式中。编辑ppt沿任一轨迹的时间导数为为正定矩阵。式中由于取为正定，对于渐近稳定性，要求为负定的，因此必须有：编辑ppt因此，对于式(4.3〕的系统，其渐近稳定的充分条件是Q正定。这可归纳为如下定理。为了判断nn维矩阵的正定性，可采用赛尔维斯特准那么，即矩阵为正定的充要条件是矩阵的所有主子行列式均为正值。然后检查由在判别时，方便的方法，不是先指定一个正定矩阵P，然后检查Q是否也是正定的，而是先指定一个正定的矩阵Q，确定的P是否也是正定的。编辑ppt定理4.9线性定常系统在平衡点处渐近稳定的充要条件是：特别地，当时，可取(正半定)。此时，Lyapunov函数为这里P、Q均为Hermite矩阵或实对称矩阵。对于，，满足如下Lyapunov方程编辑ppt现对该定理作以下几点说明：(1)如果系统只包含实状态向量和实系统矩阵A，则Lyapunov函数变为，且Lyapunov方程为(2)如果沿任一条轨迹不恒等于零，则Q可取正半定矩阵。

(3)如果取任意的正定矩阵Q，或如果沿任一轨迹不恒等于零时取任意的正半定矩阵Q，并求解矩阵方程以确定P，则对于在平衡点处的渐近稳定性，P为正定是充要条件。编辑ppt则沿任意轨迹不恒等于零。注意，如果正半定矩阵Q满足下列秩的条件(4)只要选择的矩阵Q为正定的〔或根据情况选为正半定的〕，那么最终的判定结果将与矩阵Q的不同选择无关。编辑ppt(5)为了确定矩阵P的各元素，可使矩阵和矩阵–Q

的各元素对应相等。为了确定矩阵P的各元素将导致n(n-1)/2个线性方程。如果用表示矩阵A的特征值，则每个特征值的重数与特征方程根的重数是一致的，并且如果每两个根的和

则P的元素将唯一地被确定。注意，如果矩阵A表示一个稳定系统，那么的和总不等于零。(6)在确定是否存在一个正定的Hermite或实对称矩阵P时，为方便起见，通常取，I为单位矩阵。从而，P的各元素可按下式确定然后再检验P是否正定。编辑ppt上式可写为此时实对称矩阵P可由下式确定[解]不妨取Lyapunov函数显然，平衡状态是原点。试确定该系统的稳定性。[例4.5]设二阶线性定常系统的状态方程为编辑ppt从方程组中解出、、，可得为了检验P的正定性，可校核各主子行列式将矩阵方程展开，可得联立方程组为编辑ppt

显然，P是正定的。因此，在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的，且Lyapunov函数为

此时编辑ppt[例4.6]试确定如图4.3所示系统的增益K的稳定范围。图4.3控制系统编辑ppt[解]容易确定系统的状态方程为在确定K的稳定范围时，假设输入u为零。于是上式可写为 (4.4) (4.5) (4.6)编辑ppt如果恒等于零，也必恒等于零，因为由式(4.6）可得取恒等于零，意味着也恒等于零。为了证实这一点，注意由于除原点外不恒等于零，因此可选上式的Q。假设取正半定的实对称矩阵Q为 (4.7)由式(4.4〕到〔5.6〕可发现，原点是平衡状态编辑ppt于是只在原点处才恒等于零。因此，为了分析稳定性，可采用由式(4.7）定义的矩阵Q。也可检验下列矩阵的秩如果恒等于零，也恒等于零。因为由式(4.4）可得编辑ppt显然，对于，其秩为3。因此可选择这样的Q用于Lyapunov方程。求解如下Lyapunov方程为它可重写为编辑ppt编辑ppt

对P的各元素求解

为使P成为正定矩阵，其充要条件为和或因此，当时，系统在Lyapunov意义下是稳定的，也就是说，原点是大范围渐近稳定的。编辑ppt对于线性定常系统，利用李亚普诺夫判据不但可以判断其原点平衡状态是否为渐近稳定，而且还可以对其自由运动趋向原点平衡状态的收敛快慢作出估计。4.5线性定常系统的稳定自由运动的衰减率性能估计编辑ppt考察线性定常自治系统，，(4.8）显然，越小，相应地自由运动衰减的越慢。来表征系统自由运动的衰减性能，称为衰减系数。(4.9)当系统为渐近稳定时，正定，而为负定，因此引入如下定义的一个正实数4.5.1衰减系数系统的李雅普诺夫函数是系统状态的正定函数，是系统某种“能量”的度量，而则为“能量”随时间的变化速率。编辑ppt(4.12)一般来说，直接由(4.11)难以直接进行估计，一般取(4.11)由此得出对(4.9)式两边积分得到(4.10)编辑ppt对线性定常系统，可以定出随时间的衰减上界。一旦定出，则可定出随时间衰减上界。将(4.12)代入(4.11)，得到(4.13)编辑ppt4.5.2计算的关系式

的解阵P存在唯一且为正定。(4.14)对系统(4.8)式，当系统为渐近稳定时，对任意给定正定对称阵Q，李雅普诺夫方程(4.15)编辑ppt证明〔略〕。几何含义为，为状态空间的超平面上极小点处的标量值。其中表示的最小特征值。

结论：对线性定常系统(4.8),设正定对称矩阵成立：(4.16)编辑ppt[例4.6]设二阶线性定常系统的状态方程为求系统的Lyapunov函数，并求从封闭曲线v(x)=100边界上的一点到封闭曲线v(x)

=0.05内一点的响应时间上限。[解]:显然，平衡状态是原点。不妨取Lyapunov函数实对称矩阵P可由下式确定上式可写为编辑ppt将矩阵方程展开，可得联立方程组为从方程组中解出、、，可得各主子行列式均大于零,P是正定性的。编辑ppt编辑ppt4.6离散时间系统运动状态稳定性及其判据类似于连续时间系统，给出如下主要结论：考虑定常离散时间系统（4.17）且设即为平衡状态

。结论1[离散系统的大范围淅近稳定判据]对于离散系统（4.17），如果存在一个相对的标量函数且对任意满足:为正定;(i)(ii)编辑ppt

(iii)

当时，有;则原点平衡状态即x=0为大范围渐近稳定。在实际运用结论1时发现，由于条件(ii)偏于保守，以致对相当一些问题导致判断失败。因此，可相应对其放宽，而得到较少保守性的李亚普诺夫稳定性定理。编辑ppt那么原点平衡状态即x=0为大范围渐近稳定。(iv)

当时，有;(ii)为负半定；(i)

为正定；结论2[离散系统的大范围渐近稳定判据]对于离散时间系统（4.17），如果存在一个相对于的标量函数，且对任意满足:(iii)

对由任意初态x(0)所确定的(4.17)的解的轨线，不恒为零；编辑ppt由结论1，结论3得证。这样负定。且当时，。证明：设结论3：对离散时间系统(4.17)，且设，则当收敛，即对所有有 时，系统的原点平衡状态即为大范围渐近稳定。(4.18)编辑ppt线性定常离散系统李亚普诺夫稳定性分析定理4-10：设线性定常离散系统为x(k+1)=Gx(k),xe=0式中：x——n维状态向量G——n*n常系数非奇异矩阵那么系统在平衡点处xe=0大范围渐近稳定的充要条件是：对任意给定的正定对称矩阵Q，存在一个正定对称矩阵P，且满足如下矩阵方程：GTPG–P=-Q并且v(x)=xT(k)Px(k)是这个系统的李氏函数。编辑ppt证明：设所选李氏函数为

v[x(k)]=xT

(k)

Px(k)式中：P为正定实对称矩阵。

v[x(k)]=v[x(k+1)]

–

v[x(k)]

=xT

(k+1)

Px(k+1)–xT

(k)

Px(k)=[Gx(k)]TP

Gx(k)–xT

(k)

Px(k)=[xT

(k)GT

]P

Gx(k)–xT

(k)

Px(k)=xT

(k)[

GT

P

G–P]x(k)=xT

(k)[–

Q]x(k)李氏函数v(x)=xT

(k)

P

x(k)选为正定，系统渐近稳定条件是

v[x(k)]=–xT

(k)Qx(k)负定即Q

=–

(GTPG–P)正定编辑ppt因此，对于选定正定对称矩阵P，系统渐近稳定的充分条件是：Q为正定对称矩阵。反之对于选定正定对称矩阵Q

，由矩阵方程

Q

=–

(GTPG–P)解出P阵，P为正定对称矩阵是系统渐近稳定的必要条件。证毕。注意：与线性定常系统类似，假设v[x(k)]=–xT(k)Qx(k)沿任意解的轨迹不恒等于零，那么Q可取正半定矩阵。编辑ppt李氏方法判断系统稳定