新高考数学一轮复习 第六章 不等式 课时作业38 一元二次不等式及其解法（含解析）-人教版高三数学试题

课时作业38一元二次不等式及其解法一、选择题1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|(x＋1)(x－5)<0}，则A∩B等于(B)A．[－1,4) B．[0,5)C．[1,4] D．[－4，－1)∪[4,5)解析：由题意得B＝{x|－1<x<5}，故A∩B＝{x|x≥0}∩{x|－1<x<5}＝[0,5)．故选B.2．不等式eq\f(1－x,2＋x)≥1的解集为(B)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))C．(－∞，－2)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))D．(－∞，－2]∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))解析：eq\f(1－x,2＋x)≥1⇔eq\f(1－x,2＋x)－1≥0⇔eq\f(1－x－2－x,2＋x)≥0⇔eq\f(－2x－1,2＋x)≥0⇔eq\f(2x＋1,x＋2)≤0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1x＋2≤0，,x＋2≠0))⇔－2<x≤－eq\f(1,2).故选B.3．使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是(C)A．x≥0 B．x<0或x>2C．x∈{－1,3,5} D．x≤－eq\f(1,2)或x≥3解析：不等式2x2－5x－3≥0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥3或x≤－\f(1,2)))))，由题意，选项中x的范围应该是上述解集的真子集，只有C满足．故选C.4．关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(C)A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B．(1,3)C．(－1,3)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：关于x的不等式ax－b<0即ax<b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b<0，∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，∴所求不等式的解集是(－1,3)．5．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a>0的解集为(A)A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(1,2))))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(1,2)))))C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2或x>1}解析：∵不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，∴ax2＋bx＋2＝0的两根为－1,2，且a<0，即－1＋2＝－eq\f(b,a)，(－1)×2＝eq\f(2,a)，解得a＝－1，b＝1，则所求不等式可化为2x2＋x－1>0，解得x<－1或x>eq\f(1,2)，故选A.6．若一元二次不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(A)A．(－3,0)B．[－3,0]C．[－3,0)D．(－3,0]解析：由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,Δ＝k2－4×2k×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)))<0，))解得－3<k<0.7．若存在实数x∈[2,4]，使x2－2x＋5－m<0成立，则m的取值范围为(B)A．(13，＋∞) B．(5，＋∞)C．(4，＋∞) D．(－∞，13)解析：m>x2－2x＋5，设f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈[2,4]，当x＝2时，f(x)min＝5，∃x∈[2,4]使x2－2x＋5－m<0成立，即m>f(x)min，∴m>5.故选B.8．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是(C)A．(－3,5)B．(－2,4)C．[－1,3]D．[－2,4]解析：因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0，当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}，当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}，当a＝1时，不等式的解集为∅.要使得解集中至多包含1个整数，则a＝1或1<a≤3或1>a≥－1，所以实数a的取值范围是a∈[－1,3]，故选C.二、填空题9．若0<a<1，则不等式(a－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))>0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a<x<\f(1,a))))).解析：原不等式为(x－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))<0，由0<a<1得a<eq\f(1,a)，∴a<x<eq\f(1,a).10．若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围为[－5，＋∞)．解析：由题意，分离参数后得，a≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x))).设f(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))，x∈(0,1]，则只要a≥[f(x)]max即可．由于函数f(x)在区间(0,1]上单调递增，所以[f(x)]max＝f(1)＝－5，故a≥－5.11．已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，则实数a的取值范围是(1,5]．解析：设f(x)＝x2－2(a－2)x＋a，当Δ＝4(a－2)2－4a即1<a<4时，f(x)>0对x∈R恒成立；当a＝1时，f(－1)＝0，不合题意；当a＝4时，f(2)＝0，符合题意；当Δ>0时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,1<a－2<5，,f1≥0，,f5≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<1或a>4，,3<a<7，,a≤5，,a≤5，))即4<a≤5.综上所述，实数a的取值范围是(1,5]．三、解答题12．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．解：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a即a2－6a－3<0，解得3－2eq\r(3)<a<3＋2eq\r(3).∴原不等式的解集为{a|3－2eq\r(3)<a<3＋2eq\r(3)}．(2)∵f(x)>b的解集为(－1,3)，∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋3＝\f(a6－a,3)，,－1×3＝－\f(6－b,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3±\r(3)，,b＝－3.))13．已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．(1)求f(x)的解析式；(2)若对于任意的x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．解：(1)∵f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，∴0和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－eq\f(b,2)＝5，eq\f(c,2)＝0，∴b＝－10，c＝0，f(x)＝2x2－10x.(2)对任意的x∈[－1,1]，f(x)＋t≤2恒成立等价于对任意的x∈[－1,1]，2x2－10x＋t－2≤0恒成立，∴2x2－10x＋t－2的最大值小于或等于0.设g(x)＝2x2－10x＋t－2，则由二次函数的图象可知g(x)＝2x2－10x＋t－2在区间[－1，1]上为减函数，∴g(x)max＝g(－1)＝10＋t，∴10＋t≤0，即t≤－10.∴t的取值范围为(－∞，－10]．14．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为9.解析：由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＋b－eq\f(a2,4).因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以b－eq\f(a2,4)＝0，即b＝eq\f(a2,4).所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2.又f(x)<c，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2<c，即－eq\f(a,2)－eq\r(c)<x<－eq\f(a,2)＋eq\r(c).所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)－\r(c)＝m①，,－\f(a,2)＋\r(c)＝m＋6②.))②－①，得2eq\r(c)＝6，所以c＝9.15．已知函数f(x)＝eq\r(ax2＋2ax＋1)的定义域为R.(1)求a的取值范围；(2)若函数f(x)的最小值为eq\f(\r(2),2)，解关于x的不等式x2－x－a2－a<0.解：(1)∵函数f(x)＝eq\r(ax2＋2ax＋1)的定义域为R，∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立，当a＝0时，1≥0恒成立．当a≠0时，需满足题意，则需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝2a2－4a≤0，))解得0<a≤1，综上可知，a的取值范围是[0,1]．(2)f(x)＝eq\r(ax2＋2ax＋1)＝